福建省莆田五高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

莆田五高2020-2021下学期高一年段数学期中测试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. // C. D.
3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，若，则角等于（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5. 一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 64
6. 向量，若与共线（其中且，则
A. B. C. －2 D. 2
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 10海里 B. 10海里
C. 20海里 D. 20海里
8. 在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 已知直线和平面，若点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线
10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. ，夹角是钝角
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形.
B. 若，则
C. 若，，，则有两解.
D. 若，，则面积的最大值为
12. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）
A. 与是异面直线； B. 、、相交于一点；
C. ； D. 平面.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
14. 已知，，，，则直线与的位置关系用符号语言表示为___________.
15. 若向量,,则的最大值为________.
16. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的底面半径为___________，此圆锥表面积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数（其中，是虛数单位），.
（1）若是实数，求值；
（2）若是纯虚数，求.
18. 如图所示，在四棱锥，平面，，是中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
19. 如图，在菱形中，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
20. 如图，在四边形ABCD中，，，.
（1）求的大小；
（2）若，，求AD的长.
21. 在三棱柱中，点为中点，点是上的一点.
（1）当等于何值时，平面平面？并证明；
（2）当平面平面时，记几何体，的体积分别为，，求.
22. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
莆田五高2020-2021下学期高一年段数学期中测试卷 答案版
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. // C. D.
【答案】C
3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4. 在中，若，则角等于（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
5. 一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 64
【答案】A
6. 向量，若与共线（其中且，则
A. B. C. －2 D. 2
【答案】A
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 10海里 B. 10海里
C. 20海里 D. 20海里
【答案】A
8. 在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 已知直线和平面，若点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线
【答案】BC
10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. ，夹角是钝角
【答案】ABC
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形.
B. 若，则
C. 若，，，则有两解.
D. 若，，则面积的最大值为
【答案】BCD
12. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）
A. 与是异面直线； B. 、、相交于一点；
C. ； D. 平面.
【答案】BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
【答案】－6－8i
14. 已知，，，，则直线与的位置关系用符号语言表示为___________.
【答案】
15. 若向量,,则的最大值为________.
【答案】3
16. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的底面半径为___________，此圆锥表面积为___________.
【答案】 ①. 1 ②.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数（其中，是虛数单位），.
（1）若是实数，求值；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）；（2）.
18. 如图所示，在四棱锥，平面，，是中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
19. 如图，在菱形中，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
20. 如图，在四边形ABCD中，，，.
（1）求的大小；
（2）若，，求AD的长.
【答案】（1）；（2）
21. 在三棱柱中，点为中点，点是上的一点.
（1）当等于何值时，平面平面？并证明；
（2）当平面平面时，记几何体，的体积分别为，，求.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
22. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
【答案】(1)；(2).