2021—2022学年北师大版九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步练习(word解析版)

2.4用因式分解法求解一元二次方程
一．选择题（共6小题）
1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
2．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6
B．12
C．12或
D．6或
3．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．1或3
B．﹣1或﹣3
C．1或﹣1
D．3或﹣3
4．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1
B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1
D．x1＝3；x2＝1
5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（　　）
A．﹣1，0
B．﹣1，1
C．﹣1，﹣1
D．0，1
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形，则点P的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（7，3）
C．（11，6）
D．（11，6）或（3，0）
二．填空题（共5小题）
7．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则x2+bx+c可分解为　
　．
8．已知2x（x+1）＝x+1，则x＝　
　．
9．已知，则ax2+bx+c＝0的根是　
　．
10．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　
　．
11．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为　
　．
三．解答题（共6小题）
12．解方程：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．
13．解方程：（1）（x﹣4）2＝16；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4）．
14．解下列一元二次方程．
（1）x2﹣16＝0；
（2）x2﹣3x＝0；
（3）x2﹣4x﹣5＝0；
（4）3x2+5x﹣2＝0．
15．已知一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0的正实数根也是一元二次方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0的根，求k的值．
16．已知△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解
（1）如果△ABC是直角三角形，求k的值；
（2）如果△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积．
17．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
2.4用因式分解法求解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
2．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6
B．12
C．12或
D．6或
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
3．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．1或3
B．﹣1或﹣3
C．1或﹣1
D．3或﹣3
【解答】解：∵代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，
∴x（x﹣1）+3（1﹣x）＝0，
即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝3或x＝1．
故选：A．
4．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1
B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1
D．x1＝3；x2＝1
【解答】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（　　）
A．﹣1，0
B．﹣1，1
C．﹣1，﹣1
D．0，1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，
∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
方程为﹣2x2+2x＝0，
解得：x＝0或1，
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形，则点P的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（7，3）
C．（11，6）
D．（11，6）或（3，0）
【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝BC＝＝5，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBM+∠OBA＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵CM⊥OB，
∴∠BMC＝90°＝∠AOB，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，点C是BP的中点，设P（x，y），
∴＝7，＝3，
∴x＝11，y＝6，
则P2（11，6）．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
7．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则x2+bx+c可分解为　（x+1）（x﹣2）　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x2+bx+c可分解为（x+1）（x﹣2）．
故答案为（x+1）（x﹣2）．
8．已知2x（x+1）＝x+1，则x＝　﹣1或　．
【解答】解：2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（2x﹣1）＝0，
x+1＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝，
故答案为﹣1或．
9．已知，则ax2+bx+c＝0的根是　3或﹣5　．
【解答】解：∵，
∴a+2＝0，b+4＝0，c﹣30＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣4，c＝30，
∴﹣2x2﹣4x+30＝0，
x2+2x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0，x﹣3＝0，
x1＝3，x2＝﹣5，
故答案为：3或﹣5．
10．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　6　．
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，
故答案为：6．
11．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为　x1＝﹣1，x2＝﹣2　．
【解答】解：由“关联数”定义得一次函数为y＝x+m﹣2，
又∵此一次函数为正比例函数，∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴关于x的方程为x2+3x+2＝0，
因式分解得：（x+1）（x+2）＝0，
∴x+1＝0或x+2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
三．解答题（共6小题）
12．解方程：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．
【解答】解：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0，
（x+1）﹣2（x+1）（x﹣1）＝0，
（x+1）[1﹣2（x﹣1）]＝0，
x+1＝0或1﹣2（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝．
13．解方程：（1）（x﹣4）2＝16；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4）．
【解答】解：（1）（x﹣4）2＝16，
开方，得x﹣4＝±4，
解得：x1＝8，x2＝0；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4），
移项，得x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝2．
14．解下列一元二次方程．
（1）x2﹣16＝0；
（2）x2﹣3x＝0；
（3）x2﹣4x﹣5＝0；
（4）3x2+5x﹣2＝0．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4，
即x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（3）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（4）3x2+5x﹣2＝0，
（3x﹣1）（x+2）＝0，
3x﹣1＝0，x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
15．已知一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0的正实数根也是一元二次方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0的根，求k的值．
【解答】解：∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
则x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣，
根据题意将x＝3代入方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0，得：9﹣3（k﹣2）+3＝0，
解得k＝6．
16．已知△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解
（1）如果△ABC是直角三角形，求k的值；
（2）如果△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0
∴[x﹣（k﹣1）][x﹣（k﹣2）]＝0，
解得，x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
∵△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解，
∴k﹣1＞0，k﹣2＞0，k﹣1＞k﹣2，
∵△ABC是直角三角形，
∴当斜边的长是5时，（k﹣1）2+（k﹣2）2＝52，解得，k1＝5，k2＝﹣2（舍去），
当斜边的长是k﹣1时，（k﹣2）2+52＝（k﹣1）2，解得，k3＝14，
即如果△ABC是直角三角形，k的值是5或14；
（2））∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0
∴[x﹣（k﹣1）][x﹣（k﹣2）]＝0，
解得，x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
∵△ABC是等腰三角形，
∴当k﹣2＝5时，k＝7，则k﹣1＝6，此时△ABC的面积是：，
当k﹣1＝5时，k＝6，则k﹣2＝4，此时△ABC的面积是：＝2．
17．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【解答】解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，
（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（2）x＝＝1+，
由于m为整数，
所以当m﹣1＝1或2时，x＝为正整数，此时m＝2或m＝3，
所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数