2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 2.4解直角三角形 同步优生辅导专题提升训练（Word版 含解析）

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步优生辅导专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）
A． B． C．+1 D．﹣1
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么等腰三角形的腰长等于（　　）
A．6或3 B．6或12﹣2 C．12﹣2 D．3或12﹣2
5．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比计算tan22.5°的值为（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
6．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．2
8．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tanA＝　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝　 　．
11．如图，AD为△ABC的角平分线，若∠C＝45°，tan∠B＝，△ABC的面积为4，则AD的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为　 　．
13．如图，△ABC中，sinB＝，tanC＝，AC＝5，则BC＝　 　．
14．在△ABC中，CD为高线，且AD＝3，BD＝12，如果CD＝6，那么∠ACB的平分线CE的长是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为　 　．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则AB＝　 　．
三．解答题
17．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝3，求：AB、AC．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∵CD＝AC，
∴∠D＝22.5°，
设AB＝BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝x，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tanD＝tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：D．
2．解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝BE＝5，AB＝10，
∴∠BCE＝∠EBC，
∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD＝＝＝，
∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．
故选：B．
3．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
4．解：设腰长为a，底边长为b
（1）如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得＝，则b＝a
又∵2a+b＝20，
∴a＝6．
（2）如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高BE，
设AB＝AC＝3x，则AE＝2x，EC＝x，
∴BE＝x，BC＝x，
∴6x+x＝20，
∴x＝，
∴AB＝3x＝12﹣2
故选：B．
5．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
6．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD＝＝2．
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝?BC?AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
7．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
8．解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠CBD+∠BCE＝（180°﹣∠2）+（180°﹣∠1）＝360°﹣（∠1+∠2）＝300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4＝∠BCE+∠CBD＝（∠BCE+∠CBD）＝150°，
∴∠M＝30°，
∴∠M的余弦值是，
故选：D．
二．填空题
9．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵CE＝CD，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，
∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
设CD＝x，则AD＝4x，
∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，
∴tanA＝＝．
故答案为：．
10．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
11．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图．
∵∠C＝45°，
∴AE＝CE．
设AE＝CE＝a，
∵tanB＝，
∴BE＝7a，BC＝BE+CE＝7a+a＝8a，
∵△ABC面积为4，
∴S△ABC＝BC?AE＝4a2＝4，
解得a＝1．
∴AE＝CE＝1，由勾股定理可得：AC＝CE＝1，BE＝8﹣1＝7，
由勾股定理可得AC＝＝，
同理可得AB＝＝，
作BF∥AC交AD的延长线于点F，
∴∠CAF＝∠AFB，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴FB＝AB＝．
由BF∥AC可证得△BFD～△CAD，
∴＝＝5，
∴BD＝5CD，CD+5CD＝6CD＝8，
∴CD＝，DE＝﹣1＝．
∴AD＝＝＝．
故答案为：．
12．解：∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，
∴AD＝CD＝×2＝2，
∵tan∠DFC＝2＝，
∴DF＝AF＝AD＝，
∴FC＝＝5，
∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，
∴cos∠DFC＝＝cos∠AFE＝，
∴＝，
∴EF＝1，
故答案为：1．
13．解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，tanC＝，AC＝5，
∴AD＝3，CD＝4，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝3，
根据勾股定理得：BD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝10，
故答案为10．
14．解解：∵在Rt△ACD中，AC＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝6，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴AE：BE＝AC：BC＝3：6＝1：2，
①如图1，∠A是锐角时，AB＝AD+BD＝3+12＝15，
∴AE＝×15＝5，
DE＝AE﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，
②如图2，∠A是钝角时，AB＝BD﹣AD＝12﹣3＝9，
∴AE＝×9＝3，
DE＝AE+AD＝3+3＝6，
在Rt△CDE中，CE＝＝6，
综上所述，CE的长是2或6．
故答案为：2或6．
15．解：过B作x轴的垂线，交x轴于C，
∵点B坐标为（4，3），
∴tan∠AOB＝＝，
故答案为：．
16．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，
∵AC＝2，∠C＝45°，
∴AD＝AC?sin∠C＝2×＝2，
在Rt△ABD中，
∵∠ABC＝60°，AD＝2，
∴AB＝＝＝4，
故答案为：4．
三．解答题
17．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．
18．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝3，cos∠B＝，
∴BD＝cos∠B×BC＝×3＝3．
∵∠B＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝3．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan∠ACD＝，
∴AD＝tan∠ACD×CD＝×3＝，
∴AB＝AD+BD＝+3．
∵cos∠ACD＝，
∴AC＝＝＝2．
即：AB＝+3，AC＝2．
19．解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE?cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
20．解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC＝＝，
∴BC＝×9＝15，
∵点E是斜边BC的中点，
∴AE＝BC＝；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADC中，∵cosC＝＝，
∴CD＝×9＝，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝，
∴DE＝CE﹣CD＝﹣＝，
在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．