2021-2022学年 苏科版 九年级数学上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系 优生辅导提升训练（Word版 含解析）

2021年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》
优生辅导提升训练（附答案）
1．已知α，β是方程x2+2019x+1＝0的两个根，则（1+2022α+α2）（1+2022β+β2）的值为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．15
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
4．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
5．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7．若关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，则a，b的值分别为（　　）
A．1，2 B．4，1 C．1，﹣2 D．4，﹣1
8．已知关于x的方程x2﹣6x+k﹣4＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝2，则k的值是（　　）A．3 B．﹣3 C．7 D．1
9．若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，则关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
10．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
11．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
12．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
13．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）
A．9 B．7 C．5 D．3
14．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且++x1x2＝0，则k的值为（　　）A．0 B．2 C．4 D．8
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝10，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为2，求m的值及另一个根．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．
24．非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，求+的值．
25．已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
26．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
27．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
28．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
参考答案
1．解：∵α，β是方程x2+2019x+1＝0的两个根，
∴α2+2019α+1＝0，β2+2019β+1＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝1，
∴（1+2022α+α2）（1+2022β+β2）
＝（1+2019α+α2+3α）（1+2019β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
3．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
4．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
5．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
6．解：由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
7．解：方程（x﹣b）2＝a整理得，x2﹣2bx+b2﹣a＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，
∴x1+x2＝2b＝1+3＝4，x1?x2＝b2﹣a＝1×3＝3，
∴b＝2，a＝1．
故选：A．
8．解：∵x2﹣6x+k﹣4＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k﹣4，
+＝＝＝2，
解得：k＝7，
经检验，k＝7符合题意，
故选：C．
9．解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，
∴关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根满足x+2＝1或x+2＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
10．解：∵m方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2019＝﹣m+3﹣n+2019
＝﹣（m+n）+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2019＝﹣（﹣1）+2022＝2023．
故选：D．
11．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且该方程有两个负整数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m为正整数，且该方程的根都是负整数，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
则3＜m≤7．
又∵是整数，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故选：B．
12．解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，
∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝4+2
＝6，
故选：D．
13．解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，
则x12﹣2x1﹣7＝0，x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1+x1+x2＝7+2＝9，
故选：A．
14．解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1?x2＝2．
则由++x1x2＝0得到：+x1x2＝+2＝0，即+2＝0．
解得k＝4．
故选：C．
15．解：（1）∵方程有两个实数根，
∴Δ＝16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴4﹣m＝1，
∴m＝3．
16．解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，x1+x2+x1x2＝10，
∴2m﹣2+m2﹣2m＝10，
∴m2＝12，
∴m＝﹣2或m＝2．
17．解：（1）Δ＝m2+8＞0，
∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为2，
将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0，
得4﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴方程的另一个解是x＝﹣1．
18．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
19．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
20．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
21．（1）证明：∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝k+2，x1?x2＝2k，
∵，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣5，即2k﹣（k+2）+1＝k2﹣5，
∴k＝，
∴k的值为或．
22．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
23．解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
即﹣（2m+1）＝0或△＝（2m+1）2﹣4m2＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
而m≥﹣，
∴m的值为﹣．
24．解：∵非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，
∴实数a、b是方程x2﹣x﹣2013＝0的两根．
由根与系数的关系可知a+b＝1，ab＝﹣2013．
∴+＝＝＝﹣．
25．解：（1）原方程即为x2﹣2kx+k2+2k+1＝0，
则△＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，
∴k2﹣（k2+2k+1）≥0
∴﹣2k﹣1≥0
∴k≤﹣；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，
∵（2x1+1）（2x2+1）＝21，
∴4x1x2+2（x1+x2）+1＝21．
∴4（k2+2k+1）+4k+1＝21．即k2+3k﹣4＝0．
解得k1＝1，k2＝﹣4，
∵k≤﹣，
∴k的值为﹣4．
26．（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0的解为x＝1或x＝，
∵方程的根都为正整数，
∴为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
27．（Ⅰ）证明：△＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
28．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2
（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．