内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试
理科数学试卷
考试范围：选修2-1、选修4-4、选修2-2部分；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题(每小题5分，共12小题，总分60分)
1、条件，且是的充分不必要条件，则可以是（ ）
A． B． C． D．
2、曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3、曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4、已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6、设r>0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆 (φ是参数)的位
置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
7、若函数满足，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
8、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9、直线为参数）和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10、设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11、已知函数f(x)在x=x0处的导数为12，则（ ）
A．-4 B．4 C．-36 D．36
12、已知椭圆，过M的右焦点作直线
交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(每空5分，共20分)
13、已知点在椭圆上，则的最大值为 .
14、设函数．若，则a = .
15、三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为 .
16、下列说法正确的是 .
（1）对于命题 ： ，使得 ，则 ： ，均有
（2）“ ”是“ ”的充分不必要条件
（3）命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”
（4）若 为假命题，则 ， 均为假命题
三、解答题(共70分)
17、(10分)设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求的极值.
18、(12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值.
19、(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
20、(12分)定义在实数集上的函数，．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21、(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.
22、(12分)已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。
（1）求椭圆方程；
（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。
乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试
理科数学答案
D 2．B 3．A 4．B 5．B
B 7．C 8．C 9．D 10．A
11．A 12．D
13． 14．1 15．45° 16．（1）（2）（3）
17．（1），
曲线在点处的切线方程为，
所以，
；
（2）由（1）得，
令或，
或，
递增区间是，递减区间是，
的极大值为，极小值为.
18．（1）连，设，连，
因为是的中点，为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.
设为平面的法向量，
则，令，则.
又为平面的一个法向量，
由向量的夹角公式，可得
所以二面角的平面角的余弦值为.
（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；
（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
20．（1）∵，∴，，∴，
∴所求切线方程为，即．
（2）令，
∴，
当时，；当时，；
当时，，要使恒成立，即，
由上知的最大值在或取得，而，，
∵，∴，即．
21．（1）因为曲线C的参数方程为
，（为参数），
所以曲线C的直角坐标方程为，
即，
将，，，
代入上式得.
（2）直线l的参数方程为，（t为参数），
将代入，
整理得，
设点M，N所对应的参数分别为，，
则，，，
因为，异号，
所以.
22．解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为
（2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则，

点到直线的距离
所以
由化简得代入上式得
若直线斜率不存在易算得
综合得，三角形的面积是定值