(共33张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定（1）
人教版
九年级下册
复习知识
1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。
相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
如果∠A
＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
=k
，
即三个角分别相等，三条边成比例
那么△ABC与△A1B1C1相似，相似比为k。
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，
△ABC与△A1B1C1相似记作“△ABC∽△A1B1C1”.
新知讲解
A
B
C
A1
B1
C1
如果△ABC∽△A1B1C1相似，相似比为k。
那么△A1B1C1与△ABC的相似比为。
新知讲解
A
B
C
A1
B1
C1
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系呢？
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
新知导入
活动探究
1.如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线l1，l2
，再画三条与l1，l2
都相交的平行线
l3，
l4，l5
，请分别计算l3
,
l4,
l5在l1
上截得的两条线段AB,
BC和在l2
上截得的两条线段DE,
EF的长度,
相等吗？
l1
l3
l4
l5
A
B
C
D
E
F
l2
由勾股定理计算得：
AB=2，BC=，
DE=，EF=3
=，==
∴
活动探究
2.任意平移l5
,
再计算AB,
BC,
DE,
EF的长度,
还相等吗？
l1
l3
l4
l5
A
B
C
D
E
F
l2
由勾股定理计算得：
AB=2，BC=2，
DE=，EF=2
∴
=
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
由勾股定理得:AC=4，DF=4
∴
，.
活动探究
探究结论：
当l3
//l4//l5时，
有，，
，等。
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
新知讲解
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
平行线分线段成比例
新知讲解
平行线分线段成比例
符号语言：
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
若l3
//l4//l5，则
，（）
，（）
，（）
，（）
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
小试牛刀
如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段。
如果把直线
l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
活动探究
把直线l1
向左平移到D与A重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？
如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A
B
C
l4
l5
l2
D
E
F
l1
l3
A(D)
B
C
E
F
(
)
成比例线段，，，
…
仍然成立。
活动探究
把直线l1
向左平移到E与B重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？
如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A
B
C
l4
l5
l2
D
E
F
l1
l3
A
B
C
（E）
F
D
成比例线段，，，
…
仍然成立。
活动探究
（
）
新知讲解
平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A
B
D
E
C
l3
l4
l5
l1
l2
E
A
B
D
C
l3
l4
l5
l1
l2
【例1】如图，l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．
l1
l2
l3
解：∵l1∥l2∥l3，
∴
.
又∵
，DE＝6，
∴
=，
解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
例题讲解
例题讲解
【例2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
解：∵AC=4，EC=1，
∴AE=3.
∵
DE∥BC，AB=3
∴，即=
∴AD=2.25
∴BD=AB-AD=3-2.25=0.75.
【分析】假设两个三角形相似，那么需要用相似的定义证明△ADE∽△ABC，即三个对应角分别相等，三条对应边分别成比例。
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
①公共角∠A相等；
②根据平行线的性质可以得∠1=
∠B，
∠2=
∠C.
（2）△ADE与△ABC的边长是否对应成比例？
由平行线分线段成比例定理的推论可得
因此，只要证明成立就可以证明两三角形相似。
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
△ADE与△ABC相似吗？
B
C
A
D
E
1
2
活动探究
B
C
A
D
E
1
2
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
证明△ADE与△ABC相似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=
∠A.
∵DE//BC
∴∠1=
∠B，
∠2=
∠C.
过点E作EF//AB，交BC于点F.
∵DE//BC，EF//AB
∴，
∵四边形DBFE是平行四边形
∴DE=BF
∴
∴=
∴
△ADE∽△ABC.
F
活动探究
新知讲解
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定三角形相似的定理
新知讲解
判定三角形相似的定理
三角形相似的两种常见类型：
“A
”型
“X
”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
符号语言：
∵
DE//BC,
∴△ADE∽△ABC．
例题讲解
【例3】已知：如图，AB∥EF
∥CD，图中共有
对相似三角形。
C
D
A
B
E
F
O
3
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
课堂练习
1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若
BC=1，则
EF
的长为（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
B
C
A
E
F
D
B
课堂练习
2.
如图，在
△ABC
中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC
=
4
cm，EF
长（
）
A.
1cm
B.
cm
C.
3cm
D.
2cm
A
B
C
E
F
A
课堂练习
3.如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（1）如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，
FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
EF∥BC
，
AE
=
BE=7，
FC
=
4
∴
又∵
AE
=
BE=7，
FC
=
4
∴
解得
AF
=
4.
∴AF的长是4。
课堂练习
3.如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（2）如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
EF∥BC
，
∴
△AEF
∽△ABC
∴
∵AB
=
10，AE=6，AF
=
5
∴，解得
AC
=
.
∴FC=AC－AF==-5=
.
课堂练习
4.
如图，在
□
ABCD
中，EF∥AB，
DE
:
EA
=
2
:
3，EF
=
4，求
CD
的长．
解：∵
EF∥AB，
∴
△DEF
∽
△DAB，
∴，
又∵DE
:
EA
=
2
:
3，
∴
，解得AB=10
又∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=10.
D
A
C
B
E
F
课堂练习
5.如图，已知菱形
ABCD
内接于△AEF，AE=5cm，
AF
=
4
cm，求菱形的边长.
解：∵
四边形
ABCD
为菱形，
∴CD∥AB，
∴
△FDC
∽
△FAE
∴
设菱形ABCD的边长为x
cm，则
CD=AD=x
cm，DF=（4-x）cm，
∴，
解得x=
∴菱形的边长是cm.
B
C
A
D
E
F
课堂总结
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
基本事实
板书设计
27.2.1
相似三角形的判定（1）
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
基本事实
作业布置
教材31页练习第1、2题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
27.2.1相似三角形的判定（1）
教学设计
课题
27.2.1.图形的相似（1）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
了解相似三角形的概念；
掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似；
应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题；
经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法。
重点
掌握相似三角形的概念质。
掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似。
难点
运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似来解决问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
【复习知识】1.相似多边形的特征是什么？
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
2.怎样判定两个多边形相似？
对应角相等，对应边成比例多边形是相似多边形。
3.什么叫相似比？
相似多边形对应边的比叫做相似比.
回答问题，回顾知识。
教师出示问题
师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
讲授新课+
例题讲解
讲授新课+
例题讲解
讲授新课+
例题讲解
教师讲解知识：
相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
如果∠A
＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
=k
，即三个角分别相等，三条边成比例，那么△ABC与△A1B1C1相似，相似比为k。
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，
△ABC与△A1B1C1相似记作“△ABC∽△A1B1C1”.
如果△ABC∽△A1B1C1相似，相似比为k。
那么△A1B1C1与△ABC的相似比为。
教师：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
【活动探究】1.如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线l1，l2
，再画三条与l1，l2
都相交的平行线
l3，
l4，l5
，请分别计算l3
,
l4,
l5在l1
上截得的两条线段AB,
BC和在l2
上截得的两条线段DE,
EF的长度,
相等吗？
由勾股定理计算得：
AB=2，BC=，
DE=，EF=3。
=，==∴
。
2.任意平移l5
,
再计算AB,
BC,
DE,
EF的长度,
还相等吗？
由勾股定理计算得：
AB=2，BC=2，
DE=，EF=2
∴
=
由勾股定理得:AC=4，DF=4
∴
，.
探究结论：
当l3
//l4//l5时，
有，，
，等。
平行线分线段成比例
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言：
若l3
//l4//l5，则
，（）
，（）
，（）
，（）…
【小试牛刀】
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是
(
D
)
.
【活动探究】如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段。如果把直线
l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
把直线l1
向左平移到D与A重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？
把直线l1
向左平移到B与E重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？
如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
成比例线段:
，，，
…
仍然成立。
教师讲解：平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
【例题讲解】【例1】如图，l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴
.
又∵
，DE＝6，
∴
=，解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
【例2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
解：∵AC=4，EC=1，
∴AE=3.
∵
DE∥BC，AB=3
∴，即=
∴AD=2.25
∴BD=AB-AD=3-2.25=0.75.
【活动探究】如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
△ADE与△ABC相似吗？
【分析】假设两个三角形相似，那么需要用相似的定义证明△ADE∽△ABC，即三个对应角分别相等，三条对应边分别成比例。
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
①公共角∠A相等；
②根据平行线的性质可以得∠1=∠B，
∠2=
∠C.
（2）△ADE与△ABC的边长是否对应成比例？
由平行线分线段成比例定理的推论可得
因此，只要证明成立就可以证明两三角形相似。
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=
∠A.
∵DE//BC∴∠1=
∠B，
∠2=
∠C.
过点E作EF//AB，交BC于点F.
∵DE//BC，EF//AB
∴，
∵四边形DBFE是平行四边形
∴DE=BF
∴
∴=
∴
△ADE∽△ABC.
教师讲授：判定三角形相似的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的两种常见类型：
符号语言：
∵
DE//BC,
∴△ADE∽△ABC．
【例3】如图，AB∥EF∥CD，图中共有
3
对相似三角形。
学生学习关于相似三角形的知识，熟记相似的表示符号。
教师出示问题，师生共同探究关于平行线分线段成比例的基本事实。
教师出示问题探究问题，师生共同探究关于平行线分线段成比例的推论。
教师出示例题，先学生独立思考，学生先尝试作答，再跟着老师一起解答。
教师出示问题探究问题，师生共同探究关于判定三角形相似的定理。
教师出示例题，先学生独立思考，学生先尝试作答，再跟着老师一起解答。
讲解知识，让学生学习新知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握平行线分线段成比例的基本事实。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握平行线分线段成比例的推论。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
课题练习
1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若
BC=1，则
EF
的长为（
B
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.
如图，在
△ABC
中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC
=
4
cm，EF
长（
A
）
A.
1cm
B.
cm
C.
3cm
D.
2cm
3.如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（1）如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，
FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
（2）如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多少？
解：(1)∵
EF∥BC
，
AE
=
BE=7，
FC
=
4
∴
又∵
AE
=
BE=7，
FC
=
4
∴,
解得
AF
=
4.
∴AF的长是4。
(2)∵
EF∥BC
，
∴
△AEF
∽△ABC
∴
∵AB
=
10，AE=6，AF
=
5
∴，解得
AC
=
.
∴FC=AC－AF==-5=
.
4.
如图，在
□
ABCD
中，EF∥AB，
DE
:
EA
=
2
:
3，EF
=
4，求
CD
的长．
解：∵
EF∥AB，
∴
△DEF
∽
△DAB，
∴，
又∵DE:
EA
=2:3，
∴
，
解得AB=10
又∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=10.
5.如图，已知菱形
ABCD
内接于△AEF，AE=5cm，
AF
=
4
cm，求菱形的边长.
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，
∴
△FDC
∽
△FAE
∴
设菱形ABCD的边长为x
cm，则CD=AD=x
cm，DF=（4-x）cm，
∴，解得x=
∴菱形的边长是cm.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
平行线分线段成比例
1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。
3.相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，学生对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.1
相似三角形的判定（1）
作业布置
教材31页练习第1、2题。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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