(共24张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定（3）
人教版
九年级下册
复习知识
判断两三角形相似
1.定义法:
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
.
对应角相等，对应边的比相等
相似
3.
对应成比例的两个三角形相似.
三边
新知导入
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似于判定三角形全等的
SAS
方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
活动探究
如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A
,=k
，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？
这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
∵小方格的边长都是1
∴=k，B′C′=，BC=3
∴=k
∵
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
∴
∠B=∠B'，∠C=∠C'.
A
B
C
B′
C′
(A′)
活动探究
A(A′)
B
C
B′
C′
探究结果：
如果∠A=∠A
,=k
那么△ABC
∽△A′B′C′.
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
活动探究
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′.
∵
DE∥B′C′
∴
△A′DE
∽△A′B′C′.
∴
又∵
，A′D=AB
∴
A′E=AC
在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC
∴
△A′DE
≌△ABC
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A
B
D
E
新知讲解
利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.
简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．
符号语言：
∵
，∠B=∠B′
∴
△ABC
∽
△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
想
一
想
思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。
A
B
C
A′
B′
B″
C′
归纳总结
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
新知讲解
【例1】根据下列条件，判断
△ABC
和
△A′B′C′
是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7
cm，AC=14
cm，
∠A′=120°，A′B′=3
cm
，A′C′=6
cm．
解：，
=
，
∴
又
∠A=
∠A′
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
例题讲解
小试牛刀
已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'
=40°，A'B'
=16，A'C'
=30
，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
解：
△ABC
∽△A′B′C′.理由如下：
，
=
，
∴
又
∠A′
=
∠A
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
例题讲解
【例2】如图，D，E分别是
△ABC
的边
AC，AB
上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.
证明：∵
AE=1.5，AC=2，
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴
△ADE
∽△ABC，
∴
∴
DE=
BC=
.
A
C
B
E
D
提示：解题时要找准对应边.
小试牛刀
如图，在△ABC
中，AC＞BC，D
是边AC
上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是
;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，
BC=,求CD
的长．
解：（1）CD
:CB＝BC
:AC
.
（2）设CD＝x，则CA＝x＋2．
当△CBD∽△CAB，且AD＝2，BC=,
有，即,
∴x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．
但x２＝－3不符合题意，舍去．
∴CD＝1．
A
B
C
D
例题讲解
【例3】如图，在△ABC
中，CD
是边
AB
上的高，且，求证：∠ACB=90°.
证明：∵CD
是边
AB
上的高，
∴∠ADC
=∠CDB
=90°.
∵
∴△ADC
∽△CDB，
∴∠ACD
=∠B，
∴∠ACB
=∠ACD
+∠BCD
=∠B
+∠BCD
=
90°.
A
B
C
D
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
课堂练习
1.
判断
(1)
两个等边三角形相似.
(
)
(2)
两个直角三角形相似.
(
)
(3)
两个等腰直角三角形相似.
(
)
(4)
有一个角是50°的两个等腰三角形相似.
(
)
×
√
√
×
2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（
）
A.∠A=∠D=40°
，∠B=∠E=60°，AB=DE
B.∠A=∠D=60°
，∠B=
40°
，∠E=80°
C.∠A=∠D=50°
，AB=3，
AC=5，DE=6，DF=10
D.∠B=∠E=70°
，
D
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不是夹角，则它们不一定会相似．
课堂练习
课堂练习
3.
在
△ABC
和
△DEF
中，∠C
=∠F=70°，AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，DF
=2.1
cm，EF
=1.5
cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
证明：∵
AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，
DF
=
2.1
cm，EF
=
1.5
cm，
∴
又
∵∠C
=∠F
=
70°，
∴
△DEF
∽△ABC.
D
F
E
课堂练习
4.
如图，在四边形
ABCD
中，已知
∠B
=∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求
AD
的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴
△ABC∽△DCA，
∴
∴
A
B
C
D
课堂练习
5.如图，已知在△ABC
中，∠C＝90°，D、E
分别是AB、AC
上的点，．
试问:DE
与AB
垂直吗?
为什么?
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵AE：AD＝AB：AC,
∴
．
又∠A＝∠A,
∴△ABC∽△AED．
∴∠ADE＝∠C＝90°．
∴DE
与AB
垂直．
A
B
C
D
E
课堂总结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
27.2.1
相似三角形的判定（3）
板书设计
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
27.2.1
相似三角形的判定（3）
作业布置
教材34页练习第1题第（2）小题；
教材34页练习第2题第（2）小题.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
27.2.1相似三角形的判定（3）
教学设计
课题
27.2.1图形的相似（3）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”
的判定定理。
会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。
重点
“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
难点
运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
判定两三角形相似的方法
1.定义法:
对应角相等，对应边的比相等
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
相似
.
3.
三边
对应成比例的两个三角形相似.
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和2来判断两个三角形相似呢？
回答问题，回顾知识。
教师出示问题
师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
讲授新课+
例题讲解
如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A
,=k
，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？
这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
∵小方格边长都是1
∴=k，B′C′=，BC=3
∴=k
∵
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
∴
∠B=∠B'，∠C=∠C′.
探究结果：
如果∠A=∠A
,=k
那么△ABC
∽△A′B′C′.
教师提问：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′.
∵
DE∥B′C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴
又∵
，A′D=AB
∴
A′E=AC
在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC
∴
△A′DE
≌△ABC
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
教师讲授知识：
利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．”
符号语言：
∵,
∠B=∠B′
∴
△
ABC
∽
△A′B′C.
【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。
教师归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【例1】根据下列条件，判断
△ABC
和
△A′B′C′
是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7
cm，AC=14
cm，
∠A′=120°，A′B′=3
cm
，A′C′=6
cm．
解：，=，
∴
又
∠A′
=
∠A
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
【试一试】已知∠A=40°，AB=8，AC=15，
∠A'
=40°，A'B'
=16，A'C'
=30
，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
解：
△ABC
∽△A′B′C′.理由如下：
，=，
∴
又
∠A′
=
∠A
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
【例2】如图，D，E分别是
△ABC
的边
AC，AB
上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE
的长.
证明：∵
AE=1.5，AC=2，
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴
△ADE
∽△ABC，
∴
∴
DE=BC=
.
注意：解题时要找准对应边.
【试一试】如图，在△ABC
中，AC＞BC，D
是边AC
上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是
;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，
BC=,求CD
的长．
解：（1）CD
:CB＝BC
:AC
.
（2）设CD＝x，则CA＝x＋2．
当△CBD∽△CAB，且AD＝2，BC=,
有，即,
∴x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．
但x２＝－3不符合题意，舍去．
∴CD＝1．
【例3】在
△ABC
中，CD
是边
AB
上的高，且，求证
：∠ACB=90°.
证明：
∵
CD
是边
AB
上的高，
∴
∠ADC
=∠CDB
=90°.
∵
∴△ADC
∽△CDB，∴
∠ACD
=∠B，
∴
∠ACB
=∠ACD
+∠BCD
=∠B
+∠BCD
=
90°.
教师出示问题，师生共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。
教师出示问题探究问题，师生共同探究两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。
教师出示例题和例题变式题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。
讲解知识，让学生学习新知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
课题练习
判断
(1)两个等边三角形相似.
（
√）
(2)两个直角三角形相似.
（×）
(3)两个等腰直角三角形相似.
（
√）
(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似.（×）
2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（
D
）
A.∠A=∠D=40°
，∠B=∠E=60°，AB=DE
B.∠A=∠D=60°
，∠B=
40°
，∠E=80°
C.∠A=∠D=50°
，AB=3，
AC=5，DE=6，DF=10
D.∠B=∠E=70°
，
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不是夹角，则它们不一定会相似．
3.在△ABC
和
△DEF
中，∠C
=∠F=70°，AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，DF
=2.1
cm，EF
=1.5
cm.
求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵
AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，
DF
=
2.1
cm，EF
=
1.5
cm，
∴
又
∵∠C
=∠F
=
70°，
∴
△DEF
∽△ABC.
4.
如图，在四边形
ABCD
中，已知
∠B
=∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求
AD
的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴
△ABC
∽
△DCA，
∴
∴
5.如图，已知在△ABC
中，∠C＝90°，D、E
分别是AB、AC
上的点，．
试问:DE
与AB
垂直吗?
为什么?
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵AE：AD＝AB：AC,
∴
．
又∠A＝∠A,
∴△ABC∽△AED．
∴∠ADE＝∠C＝90°．
∴DE
与AB
垂直．
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
.
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.1
相似三角形的判定（3）
作业布置
教材34页练习第1题第（2）小题；
教材34页练习第2题第（2）小题。
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精品试卷·第
2
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（共
2
页）
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