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27.2.1相似三角形的判定（4）
教学设计
课题
27.2.1图形的相似（4）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。
掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理。
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
通在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。
重点
1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。
2.判定两个直角三角形相似的方法。
难点
运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
判定两三角形相似的方法
1.定义法:
对应角相等，对应边的比相等
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
相似
.
3.
三边
对应成比例的两个三角形相似.
4.
两边
对应成比例且
夹角
相等的两个三角形相似.
教师：观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．
教师提问：一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
回答问题，回顾知识。
学生观察导入中的图片，认真思考问题。
教师出示问题
师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
讲授新课+
例题讲解
如图，小方格的边长都是1.任意绘制△ABC和△A'B'C'
，使得∠A＝∠A'
，∠B＝∠B'
，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别计算这两个三角形的边长，计算
，你有什么发现？
∵∠A＝∠A'
，∠B＝∠B
'
∴∠C＝∠C
'
∵小方格的边长都是1
∴AB=3，
A′B′=2，AC=6
，
A′C′=4，
BC=3,
B′C′=
∴=
∴
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
探究结果：
如果∠A=∠A
,∠B＝∠B
那么△ABC
∽△A′B′C′.
教师提问：如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B
，∠A＝∠A′.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′.
∵
DE∥B′C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵
AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE
≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
教师讲授知识：
利用两组角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简称“两角分别相等的两个三角形相似.”
符号语言：
∵,
∠B=∠B′
∴
△
ABC
∽
△A′B′C.
【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？不一定。
【例1】如图，△ABC
和
△DEF
中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80
°，∠F=60
°
．求证：△ABC
∽△DEF.
证明：∵
在△ABC中，∠A=40
°，∠B=80
°
，
∴
∠C=180
°－∠A－∠B=60
°.
∵
在△DEF中，∠E=80
°，
∠F=60
°.
∴
∠B=∠E，∠C=∠F.
∴
△ABC
∽△DEF.
【例2】如图，弦
AB
和
CD
相交于
⊙O
内一点
P，求证：.
证明:连接AC，DB.
∵∠A
和
∠D
都是弧
CB
所对的圆周角，
∴
∠A=
∠D
，
同理
∠C=
∠D
，
∴
△PAC
∽
△PDB，
∴
,
∴
.
【例3】如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC
一点，AE
=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.
解：∵
ED⊥AB，
∴∠EDA=90°.
又∵∠C=90°，∠A=∠A，
∴
△AED
∽△ABC.
∴
∴AD=.
教师归纳知识点：判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用
“HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
已知：如图，在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，
.
求证：Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′.
分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证若设=k，则只需证k.
证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′
由勾股定理，得
BC=，
B′C′
=
∴.
∴
∴
Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′.
教师讲解：判定直角三角形相似的方法（2）：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似.
简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.”
（HL）
【例4】如图，已知：∠ACB
=∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，当AB
的长为多少时，△ACB
与△ADC相似．
解：∵∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，
∴
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当
Rt△ABC
∽
Rt△ACD
时，
有
，
即
，解得
AB=3；
(2)
当
Rt△ACB
∽
Rt△CDA
时，
有
，
即
，解得
AB=3
．
∴当AB为3或3时，这两个直角三角形相似．
【试一试】如图，在
Rt△ABC
中，
∠ABC
=
90°，BD⊥AC于D.
若
AB=6，AD=2，则
AC=
18，BD=
4
，BC=
12
.
教师出示问题，师生共同探究关于两角分别相等的两个三角形相似的知识。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示问题探究问题，师生共同探究判定两个直角三角形相似的方法。
师出示例题和例题变式题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握两角分别相等的两个三角形相似的知识。
讲解知识，让学生学习新知识。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握判定两个直角三角形相似的知识的方法。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
课题练习
1.如图，△ABC中，AE
交
BC
于点
D，∠C=∠E，，AE=8，BD=4，则DC的长等于（
A
）
A.
B.
C.
D.
2.如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，当∠C'=
80°
时，△ABC
∽△A'B'C'.
3.如图，△ABC
和
△DEF
中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80
°，∠F=60
°
．
求证：△ABC
∽△DEF.
证明：∵
在△
ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.
∵
在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.
∴
∠B=∠E，∠C=∠F.
∴
△ABC
∽△DEF.
4.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB长.
解：∵
∠
A=
∠
A,∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD=2,
AC=8,
∴
AB
=4.
5.如图，△ABC
的高
AD、BE
交于点
F．求证：.
证明：
∵
△ABC
的高AD、BE交于点F，
∴
∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE
=∠BFD
(对顶角相等).
∴
△FEA
∽
△
FDB，
∴.
6.如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，
求证：.
证明：
连接CE，则∠A=∠E.
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE=90°=∠ADC，
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
∴△ACD∽△EBC.
∴
∴
.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
两角分别相等的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定:
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
（2）斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.1
相似三角形的判定（4）
作业布置
教材36页练习第1、2、3题。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定（4）
人教版
九年级下册
复习知识
判断两三角形相似
1.定义法:
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
.
对应角相等，对应边的比相等
相似
3.
对应成比例的两个三角形相似.
三边
4.
对应成比例且
相等的两个三角形相似.
两边
夹角
新知导入
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．
一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
？
？
？
活动探究
如图，小方格的边长都是1.任意绘制△ABC和△A'B'C'
，使得∠A＝∠A'
，∠B＝∠B'
，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？
分别计算这两个三角形的边长，计算
，你有什么发现？
∵∠A＝∠A'
，∠B＝∠B
'
∴∠C＝∠C
'
∵小方格的边长都是1
∴AB=3，
A′B′=2，AC=6
，
A′C′=4，
BC=3,
B′C′=
∴=
∴
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
A
B
C
B′
C′
A′
活动探究
探究结果：
如果∠A=∠A
,∠B＝∠B
，
那么△ABC
∽△A′B′C′.
如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
A
B
C
B′
C′
A′
活动探究
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′.
∵
DE∥B′C′
∴
△A′DE
∽△A′B′C′.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵
AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE
≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′
∽△ABC.
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′
，∠B＝∠B′.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A
B
D
E
新知讲解
利用两组角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简称“两角分别相等的两个三角形相似”
.
符号语言：
∵,
∠B=∠B′
∴
△
ABC
∽
△A′B′C.
A
B
C
A′
B′
C′
想
一
想
思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定相似。
A
B
C
A′
B′
C′
【例1】如图，△ABC
和
△DEF
中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80
°，∠F=60
°
．求证：△ABC
∽△DEF.
证明：∵
在△
ABC中，∠A=40
°
，
∠B=80
°
，
∴
∠C=180
°－∠A－∠B=60
°.
∵
在△DEF中，∠E=80
°，∠F=60
°.
∴
∠B=∠E，∠C=∠F.
∴
△ABC
∽△DEF.
例题讲解
A
C
B
F
E
D
【例2】如图，弦
AB
和
CD
相交于
⊙O
内一点
P，求证：.
证明:连接AC，DB.
∵∠A
和∠D
都是弧
CB
所对的圆周角，
∴
∠A=
，
同理
∠C=
，
∴
△PAC
∽
△PDB，
∴
,
∴
.
例题讲解
O
D
C
B
A
P
∠D
∠B
【例3】如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AB
=
10，AC
=
8.
E
是
AC
上一点，AE
=
5，ED⊥AB，垂足为D.
求AD的长.
解：∵
ED⊥AB，
∴∠EDA=90
°
.
又∵∠C=90
°，∠A=∠A，
∴
△AED
∽△ABC.
∴
∴AD=.
例题讲解
D
A
B
C
E
归纳总结
判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
新知讲解
想
一
想
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用
“HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
C
A
A'
B
B'
C'
分析：要证明Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′，可设法证
若设=k，则只需证k.
活动探究
已知：如图，在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，∠C=90°，∠C′=90°，
.
求证：Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′
由勾股定理，得
BC=，
B′C′
=
∴.
∴
∴
Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′.
归纳总结
判定直角三角形相似的方法（2）：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似.
简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.”
（HL）
新知讲解
例题讲解
【例4】如图，已知：∠ACB
=∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，当AB
的长为多少时，△ACB
与△ADC相似？
C
A
B
D
解：∵∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，
∴
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当
Rt△ABC
∽
Rt△ACD
时，
有
，
即
，解得
AB=3；
（2）当
Rt△ACB
∽
Rt△CDA
时，
有
，
即
，解得
AB=3
．
∴
当
AB
的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
小试牛刀
如图，在
Rt△ABC
中，
∠ABC
=
90°，BD⊥AC于D.
若
AB=6，AD=2，则
AC=
，BD=
，BC=
.
D
B
C
A
18
4
1
课堂练习
1.如图，△ABC中，AE
交
BC
于点
D，∠C=∠E，，AE=8，BD=4，则DC的长等于（
）
A.
B.
C.
D.
C
A
B
D
E
A
2.如图，在
△ABC
和
△A'B'C'
中，若∠A=60°，∠B
=40°，∠A'
=
60°，当∠C'=
时，△ABC
∽△A'B'C'.
80°
课堂练习
C
A
B
B'
C'
A'
课堂练习
3.如图，△ABC
和
△DEF
中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80
°，∠F=60
°
．
求证：△ABC
∽△DEF.
证明：∵
在△
ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴
∠C=180°－∠A－∠B=60°.
∵
在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.
∴
∠B=∠E，∠C=∠F.
∴
△ABC
∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
课堂练习
4.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长.
解：∵
∠
A=
∠
A,∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD=2,
AC=8,
∴
AB
=4.
A
B
C
D
课堂练习
5.如图，△ABC
的高
AD、BE
交于点
F．求证：.
证明：
∵
△ABC
的高AD、BE交于点F，
∴
∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE
=∠BFD
(对顶角相等).
∴
△FEA
∽
△FDB，
∴.
D
C
A
B
E
F
课堂练习
6.如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，
求证：.
证明：
连接CE，则∠A=∠E.
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE=90°=∠ADC，
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
∴△ACD
∽△EBC.
∴
∴
.
O
D
C
B
A
E
课堂总结
两角分别相等的两个三角形相似.
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
27.2.1
相似三角形的判定（4）
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
板书设计
两角分别相等的两个三角形相似.
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
27.2.1
相似三角形的判定（4）
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
作业布置
教材36页练习第1、2、3题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
