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27.2.1相似三角形的判定（2）
教学设计
课题
27.2.1.图形的相似（2）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法。
会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力。
重点
“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法。
难点
运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
1.对应角__相等__,对应边
成比例
的两个三角形,叫做相似三角形
.
2.相似三角形的_对应角相等,各对应边成比例
.
3.如何识别两三角形是否相似?
（1）定义法:
对应角相等，对应边的比相等
的两个三角形相似.
（2）平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
相似
.
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
回答问题，回顾知识。
教师出示问题
师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
如图，小方格的边长都是1，任意画
△ABC
和
△A′B′C′，使
，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
通过测量不难发现:
∠B=∠B′=45°,
∠C=∠C′=57°
∴∠A=∠A′=180°-45°-57°=78°,
又∵
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，.求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′交A′C′于点
E.
∴
又∵，A′D=AB，
∴
，
.
∴DE=BC，A′E=AC.
∴
△A′DE
≌△ABC
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
教师讲解：利用三边判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简称“三边成比例的两个三角形相似”
．
符号语言：
∵
∴
△
ABC
∽
△A′B′C.
【例题讲解】【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm
，BC
=6cm
，AC
=8cm，
A′B′=12cm
，B′C′=18cm
，A′C′=21cm.
解：=，=，
,
∴.
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
方法总结：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等。注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应。
【试一试】已知
△ABC
和
△DEF，根据下列条件判断它们是否相似。
(1)
AB
=3，
BC
=4，
AC＝6，
DE＝6，
EF＝8，
DF＝9；
否
(2)
AB=4，
BC
=8，
AC＝10，
DE＝20，EF＝16，
DF＝8；
是
(3)
AB=12，
BC=15，
AC＝24，
DE＝16，EF＝20，
DF＝30.
否
【例2】如图，在
Rt△ABC
与
Rt△A′B′C′中，∠C
=∠C
′
=
90°，且，求证：△
A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知得
AB
=
2
A′B′，AC
=
2
A′C′，
∴BC?=AB?-AC?
=（2A′B′）?-（2A′C′）?
=
4A′B′2－4
A′C′2
=
4(A′B′2－A′C′2
)
=
4B′C′2
=
(
2
B′C′)2.
∴
BC=2B′C′
，
∴
∴
△
A′B′C′∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
【例3】如图，在
△ABC
和
△ADE
中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE
(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，
∵
∠BAD
=∠BAC－∠DAC
∠CAE
=∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.
教师出示问题，师生共同探究关于三边成比例的两个三角形相似的知识。
教师出示问题探究问题，师生共同探究三边成比例的两个三角形相似的知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握三边成比例的两个三角形相似的知识。
讲解知识，让学生学习新知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握三边成比例的两个三角形相似的知识。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
课题练习
1.
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（
C
）
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在
△ABC
中，AB
>
BC
>
CA，
在
△
DEF中，DE
>
EF
>
FD.
∵=0.6，=0.6，=0.6
∴.
∴
△ABC
∽
△DEF.
3.
如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（C）
A.△PAB∽△PCA
B.△PAB∽△PDA
C.△ABC∽△DBA
D.△ABC∽△DCA
解析：设AP=PB=BC=CD=1，
∵∠APD=90°，
∴AB=
，AC=
，AD=
.
∵
=,
=,
=.
∴
.
∴△ABC∽△DBA，故选C.
4.如图，已知，试说明∠BAD=∠CAE.
证明：∵
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC
∠CAE=∠DAE-∠DAC
∴
∠BAD=∠CAE.
5.如图，△ABC中，点
D、E、F
分别是
AB，BC，CA的中点.求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE=，DE=BC，EF=AB，
∴=
∴
△ABC∽△EFD.
6.如图，某地四个乡镇
A，B，C，D
之间建有公路，已知
AB
=
14
千米，AD
=
28
千米，BD
=
21
千米，DC
=
31.5
千米，公路
AB
与
CD
平行吗？说出你的理由.
解：公路
AB
与
CD
平行.
理由如下：
∵
=，
∴
△ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
三边成比例的两个三角形相似.
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.1
相似三角形的判定（2）
作业布置
教材34页练习第1题第（1）小题；
教材34页练习第2题第（1）小题；
教材34页练习第3小题。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定（2）
人教版
九年级下册
复习知识
1.对应角_______,
对应边
的两个三角形,叫做相似三角形
.
相等
成比例
2.相似三角形的___________________,
各对应边
.
对应角相等
成比例
3.如何识别两三角形是否相似?
（1）定义法:
的两个三角形相似.
（2）平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
.
对应角相等，对应边的比相等
相似
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
A型
X型
新知导入
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
活动探究
如图，小方格的边长都是1，任意画
△ABC
和
△A′B′C′，使
，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
A
B
通过测量不难发现:
∠B=∠B′=45°,
∠C=∠C′=57°
∴∠A=∠A′=180°-45°-57°=78°,
又∵
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
活动探究
证明：在△A′B′C′的边A′B′
(或延长线)上截取A′D=AB,
过点
D
作
DE∥B′C′交A′
C′于点
E.
∴
又∵，A′D=AB，
∴
，
.
∴DE=BC，A′E=AC.
∴
△A′DE
≌△ABC
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A
B
D
E
新知讲解
利用三边判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简称“三边成比例的两个三角形相似”．
符号语言：
∵
∴
△ABC
∽
△A′B′C.
【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm
，BC
=6cm
，AC
=8cm，
A′B′=12cm
，B′C′=18cm
，A′C′=21cm.
解：=，
=，
,
∴.
∴
△ABC
∽△A′B′C′.
例题讲解
方法总结
如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等。
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应。
小试牛刀
已知
△ABC
和
△DEF，根据下列条件判断它们是否相似。
(1)
AB
=3，
BC
=4，
AC＝6，
DE＝6，
EF＝8，
DF＝9；
(2)
AB=4，
BC
=8，
AC＝10，
DE＝20，EF＝16，
DF＝8；
(3)
AB=12，
BC=15，
AC＝24，
DE＝16，EF＝20，
DF＝30.
是
否
否
例题讲解
【例2】如图，在
Rt△ABC
与
Rt△A′B′C′中，∠C
=∠C
′
=
90°，且，求证：△
A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得
AB
=
2
A′B′，AC
=
2
A′C′，
∴BC?=AB?-AC?
=（2
A′B′
）?-（
2
A′C′
）?
=
4
A′B′
2－
4
A′C′
2
=
4
(
A′B′
2－A′C′
2
)
=
4
B′C′
2
=
(
2
B′C′
)2.
∴
BC=2B′C′
，
∴
∴
△
A′B′C′∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
例题讲解
【例3】如图，在
△ABC
和
△ADE
中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
∴△ABC∽△ADE
(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，
∵
∠BAD
=∠BAC－∠DAC
∠CAE
=∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
课堂练习
1.
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
①
②
③
④
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
C
2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在
△ABC
中，AB
>
BC
>
CA，
在
△
DEF中，DE
>
EF
>
FD.
∵=0.6，=0.6，=0.6
∴.
∴
△ABC
∽
△DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
课堂练习
课堂练习
3.
如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（
）
A.
△PAB∽△PCA
B.
△PAB∽△PDA
C.
△ABC∽△DBA
D.
△ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
解析：设AP=PB=BC=CD=1，
∵∠APD=90°，
∴AB=
，AC=
，AD=
.
∵
=,
=,
=.
∴
.
∴△ABC∽△DBA，故选C.
课堂练习
4.如图，已知，试说明∠BAD=∠CAE.
证明：∵
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC
∠CAE=∠DAE-∠DAC
∴
∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
课堂练习
5.如图，△ABC中，点
D、E、F
分别是
AB，BC，CA的中点.求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE=，DE=BC，EF=AB，
∴=
∴
△ABC∽△EFD.
课堂练习
6.如图，某地四个乡镇
A，B，C，D
之间建有公路，已知
AB
=
14
千米，AD
=
28
千米，BD
=
21
千米，DC
=
31.5
千米，公路
AB
与
CD
平行吗？说出你的理由.
解：公路
AB
与
CD
平行.
理由如下：
∵
=，
∴
△ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
D
A
C
B
E
F
课堂总结
三边成比例的两个三角形相似.
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
27.2.1
相似三角形的判定（2）
板书设计
三边成比例的两个三角形相似.
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
27.2.1
相似三角形的判定（2）
作业布置
教材34页练习第1题第（1）小题；
教材34页练习第2题第（1）小题；
教材34页练习第3小题。
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