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27.1.图形的相似（2）
教学设计
课题
27.1.图形的相似（2）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
了解比例线段的定义。掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质。学会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算。经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系，得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质。通过学生从图形相似的角度识别现实生活中存在的规律，培养合作交流意识。
重点
掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质。了解比例线段的定义。
难点
运用相似多边形的性质进行相关的计算。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识+导入新课
1.我们把
形状相同
的图形叫做相似图形.2.两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图形
放大
或
缩小
得到的。实际的建筑物和它的模型是
相似
的，用复印机把一个图形放大或缩小后所得图形，也是与原来的图是
相似
的.3.由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的图形叫做多边形
。【导入新知】1.△ABC和△A1B1C1均是等边三角形，它们的对应角有什么关系？对应边有什么关系？它们是相似图形吗？∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1对应角相等∵AB
=
BC
=
AC
，A1B1
=
B1C1
=
A1C1∴
对应边成比例，是相似图形。2.以下两个图形均是正六边形，对应角有什么关系？对应边有什么关系？它们是相似图形吗？∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1,∠D
=∠D1，∠E
=∠E1，∠F
=∠F1（对应角相等）∵AB
=
BC
=
CD
=
DE
=
EF
=
FA
，
A1B1
=
B1C1
=
C1D1
=
D1E1
=
E1F1
=
F1A1∴=对应边成比例，它们是相似图形。教师总结：对应角相等，对应边成比例，它们是相似图形。
学生回答问题，回顾知识。教师出示问题，师生共同探究关于相似多边形的判定。
教师出示问题师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似的相关知识。从几组图片以及两个问题进行内容探究，让学生自己动手、动脑，学习关于相似多边形的判定内容。
讲授新课讲授新课例题讲解
讲解：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相同，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（K）。六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为
k1=
2
:
1，对应边
AB：A1B1=
2
:
1
。
六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为
k2=
1
:
2，对应边
A1B1：AB=
1
:
2
。
相似比与叙述的顺序有关。【例1】任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正
n
边形呢？【分析】已知等边三角形的每个角都为60°,
三边都相等,
所以满足边数相等，对应角相等，对应边的比相等，所以任意两个等边三角形相似。同理，任意两个正方形都相似。教师讲授：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.【例2】下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（D）
A.1、2、3、4
B.3、2、5、4
C.3、5、9、13
D.6、2、4、3【分析】成比例线段需要满足a:b=c:d(即ad=bc)选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于3×4≠2×5，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×13≠5×9，所以不成比例，不符题意；选项D.从小到大排列，由于4×3＝2×6，所以成比例，符合题意．故选D.【探究新知】1.任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对应边成比例吗?【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等,对应边成比例。
2.图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等,对应边成比例.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。符号语言（以四边形为例）：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似∴∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1,∠D
=∠D1
=（相似多边形的对应边成比例，对应角相等）
【例3】如图，四边形
ABCD
和
EFGH
相似，求角α，β的大小和EH的长度
x.解：∵
四边形
ABCD
和
EFGH
相似，
∴
它们的对应角相等．由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°+83°+118°)＝81°.
∵
四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴它们的对应边比例，由此可得解得x=28.
【例4】在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地实际距离.解析：设两地的实际距离为xcm，那么
x
=
300000000(cm)
x
=
3000千米答：甲、乙两地的实际距离为3000千米。
同学们理解相似多边形的判定以及性质，学生通过思考、讨论来掌握知识。教师出示例题，先学生独立思考，学生先尝试作答，再跟着老师一起解答。教师出示例题，先学生独立思考，学生先尝试作答，再跟着老师一起解答。
学生通过观察图片，通过探究新知，在探究中感受多边形的性质和判定以及成比例线段的相关知识。通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习课题练习
1.
判断：（1）任意两个矩形都是相似图形（
×
）
（2）任意两个圆形是相似图形（
√）
（3）对应角相等两个四边形是相似多边形（×
）（4）两个正五边形是相似多边形（√
）
（5）两个全等三角形是相似多边形（√
）
（6）两菱形是相似多边形（
×
）
（7）两个相似多边形，对应边成比例（
√
）
2.要制作两个形状相同三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它最长边为（C
）A．3cm
B．4cm
C．4.5cm
D．5cm3.制作一块3m×2m长方形广告牌成本是120元，在每平方米制作成本相同情况下，若将此广告牌四边都扩大为原来3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（C）A．360元
B．720元
C．1080元
D．2160元4.下列各组线段（单位㎝）中，成比例线段是（
D）
A.
2、5、3、6
B.
1、3、1、4
C.
2、5、9、10
D.
3、2、6、45.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度。解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.答未知边a，b，c，d长度分别为3，4.5，4，6.6.如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似?虽然两个矩形的四个角都是直角但因此，两个矩形不相似。7.如图，把矩形
ABCD
对折，折痕为
EF，若矩形ABCD与矩形EABF
相似，AB=1，求BC长。解：∵
E
是
AD
的中点，∴AE=AD=BC又∵矩形
ABCD
与矩形
EABF相似，AB=1，
∴∴AB?=AE·BC，∴1?=BC解得
BC=或BC=（不满足）答：BC的长为。8.如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．解：梯形CDEF和梯形EFAB相似，由此可得∴∵CD=4，AB=9∴EF=±6∵EF是梯形的边长∴EF=-6不符合题意，舍去∴EF的长为6。
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？1.相似多边形：（1）判定：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。（2）性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（3）相似比：相似多边形对应边的比。2.成比例线段（比例线段）：
满足a:b=c:d(即ad=bc)的四条线段。
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，学生对本节课内容进行归纳总结。
板书
相似多边形1.相似多边形：（1）判定：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。（2）性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（3）相似比：相似多边形对应边的比。2.成比例线段（比例线段）：
满足a:b=c:d(即ad=bc)的四条线段。
作业布置
教材27页练习第2、3题。教材27页习题27.1第1、3、5题。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
27.1
图形的相似（2）
人教版
九年级下册
复习知识
1.我们把____________的图形叫做相似图形.
形状相同
2.两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图形
或_________得到的。实际的建筑物和它的模型是___________的，用复印机把一个图形放大或缩小后所得图形，也是与原来的图是
的.
相似
相似
放大
缩小
3.由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的图形叫做
。
多边形
1.△ABC和△A1B1C1均是等边三角形，它们的对应角有什么关系？对应边有什么关系？它们是相似图形吗？
∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1
∵AB
=
BC
=
AC
，A1B1
=
B1C1
=
A1C1
∴
A
B
C
60°
A1
B1
C1
60°
对应角相等
对应边成比例
新知导入
它们是相似图形。
∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1,∠D
=∠D1，∠E
=∠E1，∠F
=∠F1
2.以下两个图形均是正六边形，它们的对应角有什么关系？对应边有什么关系？它们是相似图形吗？
∵AB
=
BC
=
CD
=
DE
=
EF
=
FA
，
A1B1
=
B1C1
=
C1D1
=
D1E1
=
E1F1
=
F1A1
∴=
对应角相等
对应边成比例
新知导入
A
B
C
F
E
D
150°
C1
A1
B1
F1
E1
D1
150°
它们是相似图形。
新知讲解
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相同，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（K）。
相似多边形
A
B
C
F
E
D
A1
B1
C1
F1
E1
D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为
k1=
2
:
1，对应边
AB：A1B1=
2
:
1
。
六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为
k2=
1
:
2，
对应边
A1B1：AB=
1
:
2
。
新知讲解
相似比与叙述的顺序有关。
例题讲解
【例1】任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正
n
边形呢？
a1
a2
a3
an
…
【分析】已知等边三角形的每个角都为60°,
三边都相等,
所以满足边数相等，对应角相等，对应边的比相等，所以任意两个等边三角形相似。
…
a1
a2
a3
an
同理，任意两个正方形都相似。
新知讲解
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.
比例线段
【例2】下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）
A.1、2、3、4
B.3、2、5、4
C.3、5、9、13
D.6、2、4、3
D
例题讲解
【分析】成比例线段需要满足a:b=c:d(即ad=bc)
选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
选项B.从小到大排列，由于3×4≠2×5，所以不成比例，不符合题意；
选项C.从小到大排列，由于3×13≠5×9，所以不成比例，不符合题意；
选项D.从小到大排列，由于4×3＝2×6，所以成比例，符合题意．故选D.
1.任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对应边成比例吗?
【结论】任意两个相似三角形,它们的对应角相等，对应边成比例.
探究新知
2.图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？
【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等，对应边成比例.
探究新知
新知讲解
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质
符号语言（以四边形为例）：
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
∴∠A
=∠A1，∠B
=∠B1，∠C
=∠C1,∠D
=∠D1
=
（相似多边形的对应边成比例，对应角相等）
例题讲解
【例3】如图，四边形
ABCD
和
EFGH
相似，求角α，β的大小和EH的长度
x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
解：∵
四边形
ABCD
和
EFGH
相似，
∴
它们的对应角相等．由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°+83°+118°)＝81°.
∵
四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得即
解得x=28.
【例4】在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离.
解析：设两地的实际距离为x
cm，那么
x
=
300000000(cm)
x
=
3000千米
答：甲、乙两地的实际距离为3000千米。
例题讲解
课堂练习
1.
判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形.（
）
（2）任意两个圆形是相似图形.
（
）
（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形.（
）
（4）两个正五边形是相似多边形.（
）
（5）两个全等三角形是相似多边形.（
）
（6）两个菱形是相似多边形.（
）
（7）两个相似多边形，对应边成比例.（
）
√
√
√
×
√
×
×
2.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（
）
A．3cm
B．4cm
C．4.5cm
D．5cm
3.制作一块3m×2m长方形广告牌成本是120元，在每平方米制作成本相同情况下，若将此广告牌四边都扩大为原来3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（
）
A．360元
B．720元
C．1080元
D．2160元
C
C
4.下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（
）
A.
2、5、3、6
B.
1、3、1、4
C.
2、5、9、10
D.
3、2、6、4
D
课堂练习
5.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度。
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d
的长度分别为3，4.5，4，6.
课堂练习
6.如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似?
A
F
E
H
G
D
C
B
虽然两个矩形的四个角都是直角
但
因此，两个矩形不相似.
课堂练习
课堂练习
7.如图，把矩形
ABCD
对折，折痕为
EF，若矩形ABCD
与矩形
EABF
相似，AB
=
1，求BC长。
A
B
C
D
E
F
解：∵
E
是
AD
的中点，
∴AE=
又∵矩形
ABCD
与矩形
EABF相似，AB=1，
∴∴AB?=AE·BC，∴1?=BC
解得
BC=或BC=（不满足）
答：BC的长为。
8.如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
解：梯形CDEF和梯形EFAB相似，由此可得
∴
∵
CD=4，AB=9
∴EF=±6
∵EF是梯形的边长
∴EF=-6不符合题意，舍去
∴
EF的长为6。
课堂练习
课堂总结
相似多边形
1.相似多边形：
（1）判定：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。
（2）性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（3）相似比：相似多边形对应边的比。
2.成比例线段（比例线段）：
满足a:b=c:d(即ad=bc)的四条线段。
板书设计
27.1
相似图形（2）
1.相似多边形：
（1）判定：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。
（2）性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（3）相似比：相似多边形对应边的比。
2.成比例线段（比例线段）：
满足a:b=c:d(即ad=bc)的四条线段。
作业布置
教材27页练习第2、3题。
教材27页习题27.1第1、3、5题。
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