5.3 用待定系数法确定二次函数表达式同步练习（含解析）

初中数学苏科版九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步练习
一、单选题
1.一个二次函数的图象的顶点坐标是 (2,?3) ，与y轴的交点是 (0,5) ，这个二次函数的解析式是（? ）
A.?y=2x2?4x+11???????????B.?y=2x2?4x+5???????????C.?y=2x2?8x+5???????????D.?y=2x2+8x+5
2.二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（? ）
A.?y=x2+2x?3???????????B.?y=x2?2x?3???????????C.?y=?x2+2x?3???????????D.?y=?x2?2x+3
3.顶点为 (6,?0) ，开口向下，开口的大小与函数 y=13x2 的图象相同的抛物线所对应的函数是（?? ）
A.?y=13(x+6)2???????????????B.?y=13(x?6)2???????????????C.?y=?13(x+6)2???????????????D.?y=?13(x?6)2
4.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A.?y=x2﹣2x+3?????????????????????B.?y=x2﹣2x﹣3?????????????????????C.?y=x2+2x+3?????????????????????D.?y=x2+2x-3
5.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ????）
A.?y=2(x+1)2+8???????????B.?y=18(x+1)2?8???????????C.?y=29(x?1)2+8???????????D.?y=2(x?1)2?8
6.若抛物线经过 (0,1),(?1,0),(1,0) 三点，则此抛物线的表达式为（? ）
A.?y=?x2+1???????????????????????B.?y=?x2?1???????????????????????C.?y=x2+1???????????????????????D.?y=x2?1
7.2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ??）

A.?y＝﹣ 1475x2?815x+52??????????????????????????????????B.?y＝﹣ 1475x2+815x+52
C.?y＝ 1475x2?815x+52??????????????????????????????????????D.?y＝ 1475x2+815x+52
二、填空题
8.写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式________．
9.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为 (?1,0) ， (3,0) ，其形状及开口方向与抛物线 y=?2x2 相同，则 y=ax2+bx+c 的函数解析式为________．
10.如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 x=1 ，则该二次函数表达式可以为________．（任意写出一个符合条件的即可）
11.二次函数y＝ax?＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
m
…
y
…
0
4
6
6
4
…
﹣6
…
则这个二次函数的对称轴为直线x＝________，m＝________（m＞0）．
12.如图，经过原点的抛物线是二次函数 y=ax2?3x+a+1 的图象，那么a的值是________.
13.如图，平行四边形ABCD中， AB=4 ，点 D 的坐标是 (0，8) ，以点 C 为顶点的抛物线经过 x 轴上的点A ， B ， 则此抛物线的解析式为________．
三、解答题
14.一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
15.已知二次函数的图象的顶点为 (1,?3) ，且过点 P(2,0) ，求这个二次函数的解析式.
16.已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．
17.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
四、综合题
18.如图，已知经过原点的抛物线 y=2x2+mx 与x轴交于另一点A（2，0）。
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式。
19.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A,B,C 三点，顶点为D ， 已知点B的坐标是 (1,0),OA=OC=3OB ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若E是线段 AD 上的一个动点（E与 A,D 不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F ， 求线段 EF 长度的最大值；
（3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为 y=ax2+2mx+1 ，若这个函数在 ?2≤x≤1 时的最大值为3，求m的值．
20.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
解：根据题意，设二次函数解析式为 y=a(x?2)2?3 ，
将 (0,5) 代入 y=a(x?2)2?3 中，得
5=a(0?2)2?3
解得：a=2
∴二次函数解析式为 y=2(x?2)2?3 = 2x2?8x+5
故答案为：C．
2.【答案】 B
解：根据题意，二次函数对称轴为 x=1 ，与x轴的一个交点为 (?1,0) ，
则函数与x轴的另一个交点为 (3,0) ，
故设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，
函数另外两点坐标 (?1,0) ， (1,?4)
可得方程组 {0=9a+3b+c0=a?b+c?4=a+b+c ，
解得方程组得 {a=1b=?2c=?3 ，
所以二次函数表达式为 y=x2?2x?3 ．
故答案为B．
3.【答案】 D
解：∵抛物线的顶点为 (6,?0) ，
∴设抛物线的解析式为： y=a(x?6)2 ，
∵抛物线开口向下，开口的大小与函数 y=13x2 的图象相同，
∴a= ?13 .
∴该抛物线的解析式为： y=?13(x?6)2 .
故答案为：D.
4.【答案】 B
解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2-2x-3，
故答案为：B.
5.【答案】 D
解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）
故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8
故答案为：D．
6.【答案】 A
解：∵抛物线经过 (?1,0),(1,0)
∴设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x?1)
把 (0,1) 代入得：
1=a(0+1)(0?1)
a=?1
∴抛物线解析式为 y=?(x+1)(x?1)=?x2+1
故答案为：A.
7.【答案】 A
解：由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
∴ {0.5=(?5)2a?5b+c0.5=c0=2.52×a+2.5b+c
解得： {a=?1475b=?815c=2.5
∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣ 1475x2+815x+52
故答案为：A ．
二、填空题
8.【答案】 y=2(x+1)2
解：开口向上，即 a>0 ，
顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，
例如 y=2(x+1)2 ．（答案不唯一）
故答案为： y=2(x+1)2 ．
9.【答案】 y=?2x2+4x+6
解：由题可设抛物线的交点式为： y=a(x+1)(x?3) ，
∵该抛物线的形状和开口与 y=?2x2 相同，
∴ a=?2 ，
∴抛物线的解析式为： y=?2(x+1)(x?3) ，
整理得： y=?2x2+4x+6 ，
故答案为： y=?2x2+4x+6 ．
10.【答案】 y=?(x?1)2+1 （答案不唯一）
解：由题意设 y=a(x??)2+k ，
∵二次函数图象开口向下，对称轴为 x=1 ，
∴a=-1，h=1，
当k=1时，函数解析式为 y=?(x?1)2+1 ，
故答案为： y=?(x?1)2+1 ．
11.【答案】 12；4
解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ {a?b+6＝4a+b+6＝6 ，解得： {a＝?1b＝1 ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）和（1，6），
∴抛物线的对称轴方程为直线x= 12 ，
当x=m时，y=-6,代入y=-x2+x+6，则有-6=-m2+m+6，
解得：m=-3或m=4，
∵m＞0，
∴m=4，
故答案为： 12 ，4．
12.【答案】 -1
解：根据图示知，二次函数 y=ax2?3x+a+1 的图象经过原点（0，0），
∴0＝a+1，
解得，a＝-1；
故答案为：?1.
13.【答案】 y=?2x2+16x?24
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为 (4,8)
∴A点坐标为 (2,0) ，B点坐标为 (6,0)
设函数解析式为 y=a(x?2)(x?6) ，代入C点坐标有 8=a(4?2)(4?6)
解得 a=?2
∴函数解析式为 y=?2(x?2)(x?6) ，即 y=?2x2+16x?24
故答案为 y=?2x2+16x?24 ．
三、解答题
14.【答案】 解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ．
∵抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(?1,?1) ，
∴ {c=0a+b+c=9a?b+c=?1 ，解得 {a=4b=5c=0 ，
∴ y=4x2+5x
15.【答案】 解：设所求函数的解析式为： y=a(x+?)2+k
则顶点坐标为 (??,k) ，已知顶点坐标为 (1,?3)
∴?=?1,k=?3,y=a(x?1)2?3
又 ∵ 图像经过点 p(2,0) ，代入得 0=a(2?1)2?3
解得 a=3
故解析式为 y=3(x?1)2?3
即 y=3x2?6x
16.【答案】 解：将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： {c=4?2+b+c=?2 ，
解得： {b=?4c=4 ，
则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4．
17.【答案】 解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ {a?b+6=4a+b+6=6 ，
解得： {a=?1b=1 ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= 12 ，
∵当x= 12 时，y= 254 ，
∴抛物线的顶点坐标为（ 12 ， 254 ）；
四、综合题
18.【答案】 （1）解：由题意得
8+2m=0
解之：m=-4
∴y=2x2-4x=2（x-1）2-2
∴点M（1，-2）.
（2）解：设直线AM的解析式为y=kx+b
∴2k+b=0k+b=?2
k=2b=?4
∴直线AM的解析式为y=2x-4.
19.【答案】 （1）解：当 x=0 时， y=?x2+bx+c=c ，则 C(0,c) ，
∵OA=OC=3OB ，
∴A(c,0),B(?13c,0) ，
∴y=?(x+13c)(x?c)=?x2+23c+13c2 ，
∴13c2=c ，解得 c=0 （舍去）或 c=3 ，
∴ 代入二次函数 y=ax2+bx+c 解析式中，
y=?x2?2x+3 ；
（2）解： ∵ 抛物线 y=?x2?2x+3=?(x+1)2+4 ，
∴ 顶点D的坐标为 (?1,4) ．
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ，
∵A(?3,0),?D(?1,4) ，
∴{?3k+b=0?k+b=4 ，
解得： {k=2b=0 ，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=2x+6 ．
设点E的横坐标为m，
∴E(m,2m+6),F(m,?m2?2m+3) ，
∴EF=?m2?2m+3?(2m+6)=?m2?4m?3=?(m+2)2+1 ，
∴ 当 m=?2 时， EF 最大值为1．
（3）解： ∵y=ax2+2mx+1 的图象由 y=?x2?2x+3 平移得到，
∴ 表达式可设为 y=?x2+2mx+1 ，对称轴是直线 x=m ；
①若 m解得 m=?1.5 ，不合题意，舍去；
②若 ?2≤m≤1 ，则 x=m 时函数值最大，
把 x=?m,y=3 代入 y=?x2+2mx+1 ，解得 m=±2 ，
∴m=?2 ；
③若 m>1 ，则 x=?1 时函数值最大，
把 x=?1,y=3 代入 y=?x2+2mx+1 ，
解得 m=1.5
综上所述， m=1.5 或 ?2 ．
20.【答案】 （1）解：将C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，
得c=﹣3．
将c=﹣3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直线x=1是对称轴，
∴ ?b2a=1 ．（2）（2分）
将（2）代入（1）得
a=1，b=﹣2．
所以，二次函数得解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．
∵C点的坐标为（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0），
∴直线AC的解析式是y=﹣3x﹣3，
又∵直线x=1是对称轴，
∴点P的坐标（1，﹣6）．
（3）解：设M（x1 ， y）、N（x2 ， y），所求圆的半径为r，

则x2﹣x1=2r，（1）
∵对称轴为直线x=1，即 x1+x22 =1，
∴x2+x1=2．（2）
由（1）、（2）得：x2=r+1．（3）
将N（r+1，y）代入解析式y=x2﹣2x﹣3，
得y=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3．
整理得：y=r2﹣4．
由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，
当y＞0时，r2﹣r﹣4=0，
解得， r1=1+172 ， r2=1?172 （舍去），
当y＜0时，r2+r﹣4=0，
解得， r1=?1+172 ， r2=?1?172 （舍去）．
所以圆的半径是 1+172 或 ?1+172 ．