5.4 二次函数与一元二次方程同步练习（含解析）

初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1.抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标是（?? ）
A.?（0，6）?????????????????B.?（0，﹣6）??????????????????C.?（﹣6，0）?????????????????D.?（﹣3，0），（2，0）
2.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（? ）
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?0???????????????????????????????????????D.?无法确定
3.关于x的一元二次方程 x2?2x?t=0 （t为实数）有且只有一个根在 ?2A.?3≤t<8????????????????????B.??1≤t<8????????????????????C.?3≤t<8 或 t=?1????????????????????D.??14.若方程 x2?2x?t=0 在 ?1A.?35.若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点 （0?，??1） ， （?1?，??0） ， 则 S=a+b+c 的变化范围是 ( )
A.?01 ;??????????????????????????C.?16.已知抛物线 y=x2?x?1 与x轴的一个交点为 (m，0) ，则代数式 m2?m+2020 的值为（?? ）
A.?2018???????????????????????????????????B.?2019???????????????????????????????????C.?2020???????????????????????????????????D.?2021
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (?2,0) 、 (x1,0) ，且 1A.?a>0>b???????????????????????????B.?a>b>0???????????????????????????C.?b>a>0???????????????????????????D.?b8.已知二次函数 y=2020x2+2021x+2022 的图象上有两点A（x1 ， 2023）和B（x2 ， 2023），则当 x=x1+x2 时，二次函数的值是（?? ）
A.?2020???????????????????????????????????B.?2021???????????????????????????????????C.?2022???????????????????????????????????D.?2023
二、填空题
9.已知抛物线 y=x2?(m+1)x 与 x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
10.若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
11.抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴 x=1 ，如图所示，则当 y<0 时，x的取值范围是________.
12.抛物线 y=(a2+2)x2+bx+c 经过点 A(?1,t) ， B(5,t) 两点，则不等式 (a2+2)(x+3)2+bx>?3b?c+t 的解集是________.
三、解答题
13.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(?3,0) 、 B(4,0) 两点，求关于x的一元二次方程 a(x?1)2+c=b?bx 的解.
14.已知二次函数 y=x2?mx+m?2 ．求证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点．
15.已知：二次函数 y=x2?mx+m?2 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
四、综合题
16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.
17.某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下.
（1）补全下表，在所给坐标系中画出函数的图象：
x
…
﹣3
﹣ 52
﹣2
﹣1
0
1
2
52
3
…
y
…
3
54
0
﹣1
0
…
（2）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有________个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是________.
18.如图，已知抛物线y=x2＋2x-3，与x轴的两个交点分别是A，B（A在B的左侧）．
（1）求A，B的坐标；
（2）利用函数图象，求当y<5时x的取值范围．
19.已知抛物线 y=x2?2x?m2+1 ，直线 y=x?2 与x轴交于点M ， 与y轴交于点N ．
（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求 △ABC 的面积；
（3）若线段 MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解：令y=x2+x-6中x=0，得y=-6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6）.
故答案为：B.
2.【答案】 B
解：∵b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点.
故答案为：B.
3.【答案】 C
解：根据题意得， Δ=4+4t≥0 ，
∴t≥?1 ，
①当 Δ=0 时，即 t=?1 ，
∴ 原方程为 x2?2x+1=0 ，
∴x=?1 ，满足条件；
②当 Δ>0 时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当 t≥8 时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当 3≤t<8 时，方程的两个根一个在 ?2当 t<3 时，方程的两个根都在 ?1?
即满足条件的t的范围为 3≤t<8 或 t=?1 ，
故答案为：C.
4.【答案】 D
解：设二次函数 y=x2?2x 和动直线 y=t ，
y=x2?2x=(x?1)2?1 ，
抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时， y=x2?2x=1+2=3 ，当x=4时， y=x2?2x=16-8=8 ，
∵方程 x2?2x?t=0 在 ?1∴二次函数 y=x2?2x 和动直线 y=t 在 ?1∴ ?1≤t≤8 .
故答案为：D.
5.【答案】 A
解：
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），
∴易得：c=1，a-b+c=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，
得到：0＜a+b+c＜2，
故答案选A
6.【答案】 D
解：∵A（m，0）是抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2020=2021.
故答案为：D.
7.【答案】 B
解：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (?2,0) 、 (x1,0) ，
∴ 4a?2b+c=0 ，
∴ c=2b?4a ，
由抛物线与y轴负半轴相交， (?2,0) 、 (x1,0) ，
∴ a>0
由 a>0 ，抛物线开口向上，
∵另一根 1∴ {a+b+c<04a+2b+c>0 ，
∴ {3b?3a<04b>0 ，
∴ {b0 ，
∴ a>b>0 ，
∴ a，b 满足的条件是 a>b>0 ，
故答案为：B.
8.【答案】 C
解：∵二次函数 y=2020x2+2021x+2022 的图象上有两点A（ x1 ，2023）和B（ x2 ，2023），
∴ x1 、 x2 是方程 2020x2+2021x+2022=2023 的两个根，
∴ x1+x2=?20212020 ，
∴当 x=x1+x2 时，有： y=2020x2+2021x+2022==2020×(?20212020)2+2021×(?20212020)+2022=2022 ，
故答案为：C.
二、填空题
9.【答案】 0＜m＜1
解：∵抛物线 y=x2?(m+1)x=x(x?m?1) ，
∴当y=0时， x(x?m?1)=0 ，
解得 x=0,x=m+1 ，
∵抛物线 y=x2?(m+1)x 与 x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ 1∴ 0故答案为：0＜m＜1．
10.【答案】 m＞9
解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
11.【答案】 x＜-1或x＞3
解：∵函数的对称轴为 x=1 ，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图象，当 y<0 时，x的取值范围是x＜-1或x＞3，
故答案为：x＜-1或x＞3.
12.【答案】 x>2 或 x解：∵ (a2+2)(x+3)2+bx>?3b?c+t
∴ (a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c>t
由 y=(a2+2)x2+bx+c 的向左平移3个单位得到， y′=(a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c
∵抛物线 y=(a2+2)x2+bx+c 经过点 A(?1,t) ， B(5,t) 两点
∴ y′=(a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c 的经过点（-4，t），（2，t），
∵ a2+2>0
∴ y′ 开口向上
∴当 x>2 或 xt
即 (a2+2)(x+3)2+bx>?3b?c+t 的解集为 x>2 或 x故答案： x>2 或 x三、解答题
13.【答案】 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
14.【答案】 解： Δ=(?m)2?4(m?2)=m2?4m+8=(m?2)2+4 ，不论 m 为何值时，都有 Δ>0 ，此时二次函数图象与 x 轴有两个不同交点．
15.【答案】 解：二次函数 y=x2?mx+m?2
∵ a=1 ， b=?m ， c=m?2 ，
∴ ⊿=b2?4ac
=(?m)2?4×1×(m?2)
=m2?4m+4+4
=(m?2)2+4 ，
而 (m?2)2+4>0 ，
∴ Δ>0 ，即m为任何实数时， 方程 x2?mx+m?2=0 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
四、综合题
16.【答案】 （1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0，
解得m＜ 52 ；
（2）解：m的最大整数为2，
抛物线解析式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
所以A（1，0），B（3，0）.
17.【答案】 （1）解：根据函数的对称性补全的表格和图象如下：

（2）解：本题答案不唯一，
①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大
（3）3；3；2；﹣1＜a＜0
解：（3）从图象可以看出：
①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有2个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是:﹣1＜a＜0；
故：答案为：①3，3；②2；③﹣1＜a＜0.
18.【答案】 （1）当x?＋2x-3=0时，计算得出x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0)；
（2）当y=5时，x?＋2x-3=5，整理得x?＋2x-8=0，计算得出x1=-4，x2=2，
由函数图象可得，当-419.【答案】 （1）证明：∵ Δ=(?2)2?4(?m2+1)=4m2≥0
∴抛物线与x轴必有公共点
（2）解：∵ y=x2?2x?m2+1
∴其定点C的横坐标为 ??22×1=1
又∵定点C在直线 y=x?2 上，所以定点C的坐标为 (1,?1)
把点 (1,?1) 代入抛物线 y=x2?2x?m2+1 中，解得 m2=1
∴抛物线方程为 y=x2?2x=x(x?2)
∴抛物线与x轴的交点分别为 (0,0) 和 (2,0)
∴ AB=2
∴ S△ABC=12AB?|yC|=12×2×1=1
（3）解：当 x=0 时， y=?2 ，则N为 (0,?2)
当 y=0 时， x?2=0 ，即M为 (2,0)
∵拋物线的对称轴为 x=1
∴分两种情况：
①由 {y=x?2y=x2?2x?m2+1 ，得 x2?3x?m2+3=0
∴ Δ=(?3)2?4(?m2+1)=0 ，解得 m=±32 时，
线段 MN 与抛物线有且只有一个公共点；
②当 ?2??m2+1<0 ，解得 1线段 MN 与抛物线有且只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是 m=±32 或 1