5.5 用二次函数解决问题同步练习（含解析）

初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题 同步练习
一、单选题
1.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（?? ）
A.?①②??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①③④??????????????????????????????????D.?①②③
2.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降 (?? )
A.?3.5 m????????????????????????????????????B.?3 m????????????????????????????????????C.?2.5 m????????????????????????????????????D.?2 m
3.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ 258 ，若小球经过 74 秒落地，则小球在上抛过程中，第（?? ）秒离地面最高.
A.?37??????????????????????????????????????????B.?47??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
4.如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为(??? )
A.?3??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?22??????????????????????????????????????D.?33
5.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（? ）
A.?18m2???????????????????????????B.?183 m2???????????????????????????C.?243 m2???????????????????????????D.?4532 m2
6.若 min{a,b,c} 表示 a,b,c 三个数中的最小值，当 y=min{x2,x+2,8?x} 时 (x≥0) ，则 y 的最大值是（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
7.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值为3，一元二次方程 ax2+bx+c?m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（?? ）

A.?m≥3???????????????????????????????????B.?m≥-3???????????????????????????????????C.?m≤3???????????????????????????????????D.?m≤-3
8.如图，⊙O是以原点为圆心， 2 为半径的圆，点 P 是直线 y=?x+6 上的一点，过点 P 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（?? ）

A.?3????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9.一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ??）
A.?30cm??????????????????????????????????B.?25cm??????????????????????????????????C.?20cm??????????????????????????????????D.?15cm
二、填空题
10.王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线 y=?35x2+65x+1 相吻合，那么他能跳过的最大高度为________m.
11.道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图 1 ），图 2 是一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形隔离栏，中间被 4 根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点 E ，点 P ）以及点 A ，点 B 落在同一条抛物线上，若第 1 根栏杆涂色部分（ EF ）与第 2 根栏杆未涂色部分（ PQ ）长度相等，则 EF 的长度是________.
12.如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________分钟.
13.某大学的校门如图所示是抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧距地面的高是________米.
三、解答题
14.某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出.若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车.已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
15.如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?
16.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p = .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
17.公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．
18.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．
四、综合题
19.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
________
销售玩具获得利润ω（元）
________
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
20.某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
21.如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米，（击球点、落地点、球洞三点共线）球在空中最高处达3.2米.
（1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式；
（2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ?409 ，
∴h＝ ?409 （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ ?409 （t﹣3）2+40，
解得t＝3± 322 ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ ?409 （2﹣3）2+40＝ 3209 m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
2.【答案】 C
解：设此函数解析式为： y=ax2 ， a≠0 ；
那么 (2,?2) 应在此函数解析式上.
则 ?2=4a
即得 a=?12 ，
那么 y=?12x2 .
当x=3时， y=?12×32=?4.5
∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）
故答案为：C.
3.【答案】 A
解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ 258 ，小球经过 74 秒落地，
∴t＝ 74 时，h＝0，
则0＝﹣2×( 74 )2+ 74 m+ 258 ，
解得：m＝ 127 ，
当t＝ ?b2a ＝ ?1272×(?2) = 37 时，h最大，
故答案为： 37 .
4.【答案】 D
解：过点A作AD∥BC

∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠OCB
∴∠OCA=∠ACB
∴∠DCA=∠DAC
∴DA=CD
当x=0时y=3m
∴点C（0，3m）
∴OC=3m，
当y=0时mx2-4mx+3m=0??
∵m≠0
∴x2-4x+3=0
解之：x1=1，x2=3
∴点A（1，0），点B（3，0）
∴OA=1，OB=3.
∵AD∥BC
∴ODOC=OAOB即OD3m=13
解之：OD=m，
∴AD=CD=OC-OD=3m-m=2m，
在Rt△OAD中，
AD2-OD2=OA2
∴（2m）2-m2=12
解之：m1=33 ， m2=?33＜0（舍去）.
故答案为：D.
5.【答案】 C
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，?
则四边形ADCE为矩形，设CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，?则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，
∴BE=12BC=6?12x
∴AD=CE=3BE=63?32x,AB=AE+BE=x+6?12x=12x+6
∴梯形ABCD面积 S=12(CD+AB)?CE=12(x+12x+6)?(63?32x)=?338x2+33x+183=?3388 (x?4)2+243
∴当x=4时，S最大=24 3 .?
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 3 ?m2。
故答案为：C。
6.【答案】 B
解：如图，
当x+2=8-x时，y有最大值，
即：x=3，y最大=3+2=5.
故答案为：B.
7.【答案】 C
解：方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故答案为：C．
8.【答案】 B
解：∵P在直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2 ，
∴PQ2=m2+（6-m）2-2=2m2-12m+34=2（m-3）2+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
故答案为：B．
9.【答案】 C
解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a= 2 x，h= 2 （40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取最大值．故答案为：C．
二、填空题
10.【答案】 85
解：∵ y=?35x2+65x+1
= ?35(x2?2x?53)
= ?35[(x?1)2?83]
= ?35(x?1)2+85
∴抛物线的最大值为 85 ，
故他能跳过的最大高度为 85 .
11.【答案】 0.4
解：如图，
令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)，B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ?b2a ＝0，即b＝0.
∴y＝ax2 +c.
将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a.
∴y＝ax2－a.
∵OH＝2× 15 × 12 ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）.
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a.
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a.
解得a＝ ?58 .
∴y＝ ?58 x2＋ 58 .
∴EF＝（ ?58 ）×（-0.6）2＋ 58 ＝ 25 .
故答案为：0.4.
12.【答案】 20
解：如图所示：
设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，
∵6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟.
∴从O到D需要6+4=10分.
∴从O到C需要2×10=20分.
故答案为：20.
13.【答案】 647
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 y=ax2+c ，
由题意得：此抛物线的图象经过点 (82,0) 和点 (62,4) ，即点 (4,0) 和点 (3,4) ，
将点 (4,0) 和点 (3,4) 代入得： {16a+c=09a+c=4 ，
解得 {a=?47c=647 ，
则抛物线的解析式为 y=?47x2+647 ，
当 x=0 时， y=647 ，
即校门内侧距地面的高是 647 米，
故答案为： 647 .
三、解答题
14.【答案】 解：设每月租出 x 辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益为 y 元.
根据题意得： y=[3000+50(100?x)]x?200x ，
即： y=?50x2+7800x .
配方得： y=?50(x?78)2+304200 .
故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元.
15.【答案】 解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
16.【答案】 解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x?40，销售量为：500?10x，
∴ y=(50+x?40)(500?10x)=?10x2+400x+5000=?10(x?20)2+9000 ，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50?40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴ y=(50?40)×500p?1000m=?2000m2+9000m=?2000(m?2.25)2+10125 ，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
17.【答案】 解：由题意得，
y=24﹣x?12010 ， 即y=﹣110x+36，
z=（x﹣60）（﹣110x+36）=﹣110x2+42x﹣2160；
（2）z=﹣110x2+42x﹣2160=﹣110（x﹣210）2+2250，
当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，
∵2250＜750+1750，
∴公司不能在第一年收回投资．
18.【答案】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），
∴有0=a?b+c0=9a+3b+c?3=c ， 解得a=1b=?2c=?3 ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）按照题意画出图形，如下图，
①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，﹣3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，
∴△BOD为等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圆的直径．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
四、综合题
19.【答案】 （1）-10x+1100；?10x2+1500x?44000
（2）解：由题得 {x≥54?10x+1100≥400 ，解得： 54≤x≤70 ?
w=?10(x?75)2+12250 ，
∴ x=70 时取最大值，最大值为12000.
答：商场的最大利润为12000元
解：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得，
①： y=600?(x?50)×10=1100?10x,
②： w=(1100?10x)(x?40)=?10x2+1500x?44000;
故答案为：① ?10x+1100；②?10x2+1500x?44000；
20.【答案】 （1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得： {20k+b=30030k+b=280 ，解得： {k=?2b=340 ，
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）.
（2）解：由已知得：W=（x-20）（-2x+340）
=-2x2+380x-6800
=-2×（x-95）2+11250，
∵-2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为-2×（40-95）2+11250=5200元.
21.【答案】 （1）解：抛物线过原点 ，设抛物线解析式为： y=ax2+bx ，
球的落地点距离=10-2=8米，则落地点坐标为（8，0），
∴ 64a+8b=0 ，
∴ 8a+b=0 ，
球在空中最高处达3.2米，
∴ ?b24a=3.2 ，
∴ b2+12.8a=0 ，
∴ {8a+b=0b2+12.8a=0 ，
解得： {a=?0.2b=1.6 ，
∴ y=?0.2x2+1.6x ；
（2）解：当y=3时， ?0.2x2+1.6x=3 ，
整理得： x2?8x+15=0 ，
∴ (x?3)(x?5)=0 ，
∴ x=3 或 x=5 ，
∵ a=?0.2<0 ，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间，
∴球的飞行高度不低于3米， x的取值范围是 3≤x≤5 .