第五章 二次函数单元检测试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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初中数学苏科版九年级下册第五章二次函数 综合测试卷
一、单选题
1.将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x﹣4)2+2 C. y=(x﹣1)2﹣1 D. y=(x﹣1)2+5
2.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m
3.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2﹣1 C. y=（x﹣2）2+1 D. y=（x﹣2）2﹣1
4.若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A. b＜1且b≠0 B. b＞1 C. 0＜b＜1 D. b＜1
5.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣
6.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B. 线段CD的函数解析式为
C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D. 曲线段AB的函数解析式为
7.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A. b≤﹣2 B. b＜﹣2 C. b≥﹣2 D. b＞﹣2
8.已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A. 20cm B. 18cm C. 2 cm D. 3 cm
10.如图，将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2 ， 若y1≠y2 ， 取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2 ， 记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1.
其中正确的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）
A. 16 B. 15 C. 12 D. 11
二、填空题
13.下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是________.
14.已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为________.
15.已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长不大于 ，则代数式 的最小值是________.
16.将二次函数 的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．
17.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线________．
18.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是________．
19.如图，已知函数y= 与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+ =0的解为________．
三、解答题
20.如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点．
图 ① 图②
（1）求 、 的值；
（2）如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；
（3）如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
21.如图，已知抛物线 （其中 ）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点 的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标．
四、综合题
22.已知二次函数 （ 是常数）.
（1）若该函数图象与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；
（3） ， 是该二次函数图象上的点，当 时，都有 ，则 的取值范围是________.
33.已经二次函数 .
（1）如图，其图象与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线 .
①求二次函数解析式；
②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形 为正方形时，求点F坐标；
（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数 函数值存在负数，求b的取值范围.
24.专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
25.城市内环高架能改善整个城市的交通状况.在一般情况下，高架上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数.当高架上的车流密度达到188辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过28辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数.
（1）当 时，求车流速度 关于车流密度 的函数解析式；
（2）若车流速度 不低于50千米/小时，求车流密度 为多大时，车流量 （单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.
26.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为点D.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由.
27.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n.
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2 ， y2）都在抛物线上，且y2＞y1 ， 求x2的取值范围；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为： ，即 .
故答案为：D.
2.【答案】 D
解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1,高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h= t2＋24t＋1= （t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
3.【答案】 C
解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．
故选C．
4.【答案】 A
解：∵函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴ ，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
5.【答案】 C
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
6.【答案】 C
解：观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A不符合题意，C不符合题意；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得： ，
所以线段CD的函数解析式为 ，故B不符合题意；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
7.【答案】 C
解：把C（2，1）代入y=x2+bx+1，得
22+2b+1=1，
解得b=﹣2．
故b的取值范围是b≥﹣2．
故选：C．
8.【答案】 C
解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1 ．
故选：C．
9.【答案】 C
解：∵AP=CQ=t，
∴CP=6﹣t，
∴PQ= = = ，
∵0≤t≤2，
∴当t=2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2 ，
故选C．
10.【答案】 D
解：∵函数y= （x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m= （1﹣2）2+1=1 ，n= （4﹣2）2+1=3，
∴A（1，1 ），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y= （x﹣2）2+4．
故选D．
11.【答案】 B
【解析】【分析】∵当y1=y2时，即时，解得：x=0或x=2，
∴由函数图象可以得出当x＞2时， y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时， y2＞y1。∴①错误。
∵当x＜0时， 直线的值都随x的增大而增大，
∴当x＜0时，x值越大，M值越大。∴②正确。
∵抛物线的最大值为4，∴M大于4的x值不存在。∴③正确；
∵当0＜x＜2时，y1＞y2 ， ∴当M=2时，2x=2，x=1；
∵当x＞2时，y2＞y1 ， ∴当M=2时， ， 解得（舍去）。
∴使得M=2的x值是1或。∴④错误。
综上所述，正确的有②③2个。故选B。
12.【答案】 B
解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，

∴
设AE=x， ∵AB
∴HF




∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：B.
二、填空题
13.【答案】 ①②④
解： 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
14.【答案】
解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
15.【答案】
解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴ ，顶点为（-2,1）
∴由题意可知a>0,
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（ ）2+ +1= ；
故答案为： 。
16.【答案】
解：∵二次函数 的图像向上平移3个单位长度，
∴ +3=x2+2.
故答案为： .
17.【答案】 x=﹣1
解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
18.【答案】 0＜x＜4
解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
19.【答案】 x=﹣3
解：∵P的纵坐标为1，
∴1=﹣ ，
∴x=﹣3，
∵ax2+bx+ =0化为于x的方程ax2+bx=﹣ 的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
三、解答题
20.【答案】 （1）解：∵CD⊥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l:x=1，
∴=1，则b=-2。
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c,0），
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3,
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）
设点F的坐标为（0，m），
∵对称轴为直线l:x=1,
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6,
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，
即点F的坐标为（0，-2）。
解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n,0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN=S△APM ， ∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，∴QR=1。①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1,n2-4n）,R点的坐标为（n,n2-4n）,N点的坐标为（n,n2-2n-3）,∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2,∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（ ， ）②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1,n2-4）.同理NQ2=1+（2n-1）2,∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（,）.综上所述，满足题意的点Q的坐标为（,）和(,)
21.【答案】 （1）解：求得点A（-1,0）、B（b，0）、C（0，b），
易得∠ACB＝90°，由△AOC∽△COB可得b1=4，b2=0（舍去），
∴y=x2+x+2.
（2）解：易证∠ACO＝∠CBO，∠MNB＝∠MBN，所以∠BED＝∠CBN，
连结CN， 由勾股定理得CN＝ ， BC＝ ， BN＝ ，
由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN = ，
然后解Rt△BED可得DE＝ ，
∴点E坐标为（ ， ） 或（ ， ）.
四、综合题
22.【答案】 （1）解：令 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵该函数图象与 轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 .
∴当 时，该函数图象与 轴有两个不同的公共点.
（2）解：由 ，得顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
（3） 或
解：（3） 或
由（2）可知该抛物线顶点为 ，
当 时， ，
∴ 时， 随 的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴如图，得出 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则 ，
∴ ， 或 ，
结合 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
23.【答案】 （1）解：①由题： ，解得 ，
二次函数解析式为： ；
②设BC解析式为： ，对称轴为直线 .
图象与x轴交于点 和点B，对称轴为直线 .
点 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
解析式为： ，
设点 ，
四边形 是正方形，
，
，
解得 ，
（2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数，
有两相等实根，即 有两相等实根，
，
解得： ，且 ，
存在负值，
，解得 ，
综上： 且
24.【答案】 （1）解：设销售单价增加x元，每天售出y件.
根据题意得，
（2）解：根据题意得， ，
解得： ，
∵每件利润不能超过50元，
∴ ，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元
（3）解：根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w最大 ，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元
25.【答案】 （1）解：当 时，设 ，
∵ 时， ， 时，
∴
解得 .
∴当 时，
（2）解：当 时，车流量 ，
∵ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时，车流量 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
综上，∵ ，
∴当 时，车流量最大，最大值为4400辆/小时
26.【答案】 （1）解：∵OA＝OC＝3，
∴点A坐标为（-3，0），点C坐标为（0，-3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x-3；
（2）解：如图，连接AD、CD、AC，作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
由抛物线的性质得抛物线y＝x2+2x-3的顶点D坐标为（-1，-4），
在Rt△AOC中， ，
在Rt△DCF中， ，
在Rt△ADE中， ，
∴ ，
∴△ACD是直角三角形.
27.【答案】 （1）解：①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n.
∵x 1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1.
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2 ， y2）都在抛物线上，且y2＞y1 ， 则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
（2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q.
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3.
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2.
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 .
故答案为：m≤﹣2或m＝2或 .
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