第二章 直角三角形的边角关系专项训练 巧构直角三角形妙解实际问题 (2)（含答案）

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专项训练
巧构直角三角形妙解实际问题
类型一 作高——构造直角三角形
1.如图所示，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）
A.(30＋30)km B.(30＋10)km C.(10＋30)km D.30km
2.如图所示，小李驾驶轿车从A地出发，在A地的北偏东45°方向有一高速入口P.他由A地向正北方向行驶4km到达B地，此时高速入口P在他南偏东75°方向.求B地到高速入口P的距离.
类型二 作垂线段——构造直角三角形
3.如图所示，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据:sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）
A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m
4.有一种升降熨烫台如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图②③是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度.
（1）如图②，若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图③）.求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）.（参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
5.在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如下图为实践时绘制的截面图无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度.（结果精确到0.1米）（参考数据:sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
6.如图所示，在小池旁有一路，已知支A的是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与支柱AC的夹角为65°.小明在池的外沿D得支架端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE.（结里精确到0.1m）（参考数据:sin65°≈0.9,cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
7.某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校数学兴趣小组在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离.（参考数据:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
8.下图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度.
9.如图所示，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20 n mile，，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，，又测得点B与小岛D相距20 n mile.
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.
10.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线
段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上.其中tanα＝2，MC＝50米.
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD.（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
参考答案
1.B
2.解析 （1）如图，过B作BC⊥AP于点C.
根据题意可知∠BAC＝45°，则∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，BC＝AB·sinA＝4×sin45°＝2km.
在Rt△PBC中，∠CBP＝∠ABP-∠ABC＝75°-45°＝30°，
BP＝
答:B地到高速入口P的距离为km.
3.B
4.解析（1）如图，过点B作BE⊥AC于E.
∵0A＝OC，∠AOC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝
∴h＝BE＝AB·sin∠OAC＝AB·sin30°＝110×＝55cm.
（2）如图，过点B作BF⊥AC于F.
∵OA＝0C，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA＝
由题意知h＝BF＝120cm，
∴
∴该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm.
5.解析 如图，过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N.
由题意得，EC＝20米，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60米，
∴AM＝AB-MB＝60-20＝40米.
在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，
∴EM＝
在Rt△AFN中，tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×
∴FD＝NB＝AB-AN＝60-14.2＝45.8米.
答:2号楼的高度约为45.8米.
6.解析 如图，过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G.
在Rt△BAF中，∠BAF＝65°，BF＝AB·in∠BAF≈0.8×0.9＝0.72m，
AF＝AB·cos∠BAF≈0.8×0.4＝0.32m.∴FC＝AF＋AC＝4.32m.
易知四边形FCGB是矩形，∴BG＝FC＝4.2m，CG＝BF＝0.72m.
∵∠BDG＝45°，∴∠BDG＝∠GBD.∴GD＝GB＝4.32m，
∴CD＝CG＋GD＝0.72＋4.32＝5.04m.
在Rt△ACE中，∠AEC＝50°，≈3.33（m）.
∴DE＝CD-CE＝5.04-3.33＝1.71≈1.7（m）.
答:小水池的宽DE约为1.7m.
7.解析 如图，过点D作DE⊥AB于E，过作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形.设DE＝xm.
在Rt△ADE中，AE＝∴BE＝（300-）m.
又∵BF＝DE＝xm，∴CF＝（414-x）m.
在Rt△CDF中，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝（414-x）m.
又∵BE＝DF，∴300-＝414-x，解得x＝214,
∴点D到AB的距离是214m.
8.解析 如图，过点B作BF⊥CE于点F，过点A作AG⊥BF于点G，
则FG＝AC＝11米.
由tanβ＝，设BF＝3x（x＞0）米，则EF＝4x米.
在RI△BDF中，tan∠BDF＝，DF＝米.
∵DE＝DF＋EF，DE＝18米，1∴8＝x＋4x，∴x＝4.
∴BF＝12米.∴BG＝BF-GF＝12-11＝1米.
∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC-∠CAG＝120°-90°＝30°.
∴AB＝2BG＝2米.
答:灯杆AB的长度为2米.
9.解析（1）如图，过D作DE⊥AB于E.
在Rt△AED中，AD＝20 n mile，，∠DAE＝45°，
∴DE＝20·sin45°＝20 n mile.
在Rt△BED中，BD＝20 n mile，∴sin∠ABD＝.
（2）如图，过D作DF⊥BC于F.
在Rt△BED中，DE＝20 n mile，BD＝20nile，
∴BE＝＝40 n mile.
∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40 n mile，，BF＝DE＝20 n mile.
∴ CF＝BC-BF＝30 n mile.
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD＝＝50 n mile.
∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.
10.解析（1）由题意得AF∥MD，∴∠ACM＝∠FAC＝α.
在Rt△ACM中，∠ACM＝α，MC＝50米，
∴AM＝MC·tan∠ACM＝MC·tanα＝100米.
答:无人机的飞行高度AM为100米.
（2）如图，过点B作BN⊥MD，垂足为N，则BN＝AM＝100米.
由题意得∠BDN＝30°，AB＝MN＝50米，
在Rt△BND中，tan∠BDN＝，即tan30°＝，∴DN＝300米.
∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350米.
∴CD＝DM-MC＝350-50≈264米.
答:河流的宽度CD约为264米.

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