第二章 直角三角形的边角关系单元测试题（含答案）

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《第二章 直角三角形的边角关系》单元测试题
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）
A.42米 B.14米 C.21米 D.42米
2.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
3.在正方形网格中，∠AOB如图所示，则sin∠AOB的值为（ ）
A. B. C. D.1
4.如图所示，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则该时段动车的平均速度是（ ）
A.10（＋1）米/秒 B.10（-1）米/秒
C.20（＋1）米/秒 D.20（-1）米/秒
6.公元3世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则（sin-cos）2＝（ ）
A. B.＋1 C.-1 D.2
7.将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为（ ）
A. B.＋1 C.-1 D.2
8.如图所示，AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1:2.4，那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.在△ABC中，若，则∠C的度数是___________.
10.如图所示，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两棵树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树间的水平距离约为__________m.（结果精确到0.1m，参考数据:sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
11.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为___________.
12.如图所示，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为_________米（结果保留根号）.
13.如图所示，在正方形ABCD中，E是边AD的中点将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，那么∠EDF的正切值是_________.
14.在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是_________.
三、解答题（共52分）
15.（6分）（1）计算:tan60°＋9tan30°-8sin60°＋2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求∠A的度数.
16.（8分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3.
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值.
17.（8分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题:“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题（精确到1mm）（参考数据:sin36°≈0.6，cos36°≈0.8，tan36°≈0.7）
18.（8分）如图所示，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向.一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向.求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）.（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
19.（10分）如图所示，某高楼上方有一高度为10米的三层阁楼，在楼底平地上的D处测得B的仰角为30°，向高楼前进60米到达点E处，测得A的仰角为60°，求高楼BC的高度.
20.（12分）如图所示，某海监船以60海里/小时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向.（以下结果保留根号）
（1）求B，C两处之间的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间.
参考答案
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B
二、填空题
9. 90° 10. 4.7 11. 12. 12 13. 2 14. 75或25
三、解答题
15.解析（1）tan60°＋9tan30°-8sin60°＋2cos45°
＝.
（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴tanA＝，∴∠A＝60°.
16.解析（1）如图，过C作CE⊥AB于E.
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝180°-90°＝90°.
∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°∴.四边形ADCE是矩形.
∴AD＝CE， AE＝CD＝5.∴BE＝AB-AE＝8-5＝3.
∵BC＝3，CE＝＝6.
∴梯形ABCD的面积＝×（5＋8）×6＝39.
（2）如图，过C作CH⊥BD于H.
由（1）知AD＝6，在Rt△ABD中，BD＝＝10.
∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD.
∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA.
∴，即.∴CH＝3.
∴BH＝＝6.
∴tan∠DBC＝.
17.解析 如图，过点B作BE⊥于点E，过点D作DF⊥于点F.
∵∠α＋∠DAF＝180°-∠BAD＝180°-90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠α＝36°.
根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm.
在Rt△ABE中，sinα＝，
∴.
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，∴
∴矩形ABCD的周长约为200（mm）.
答:长方形卡片的周长约为200mm.
18.解析 如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F.
根据题意，知AE＝5海里，∠BAE＝22°，∴BE＝AE·tan22°≈5×＝2海里.
∴DE＝BD-BE＝6-2＝4海里.∴CF＝DE＝4海里.
在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC＝（海里）.
答:此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里.
19.解析 设BC＝x米，则AC＝（10＋x）米，
在Rt△ACE中，tan∠AEC＝，即tan60°＝.
在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，即tan30°＝.
联立解得x＝5＋30.
答:高楼BC的高度为（5＋30）米.
20.解析 （1）过点C作CE⊥AB，交AB的长线于E，如图所示，则∠CEA＝90°.
由题意得AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°.
∴CE＝AE，∠BCE＝30°.∴CE＝BE，BC＝2BE.
设BE＝x海里，则CE＝x海里，AE＝BE＋AB＝（x＋90）海里.
∴x＝x＋90，解得x＝45＋45.∴BC＝2x＝（90＋90）海里.
答:B，C两处之间的距离为（90＋90）海里.
（2）过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于F，如图所示，
则DF＝CE＝x＝（135＋45）海里，∠DBF＝90-60°＝30°.
∴BD＝2DF＝（270＋90）海里.
∴海监船追到可疑船只所用的时间为小时.
答:海监船追到可疑船只所用的时间为（3＋）小时.

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