北师大版九年级上册2.1一元二次方程的有理根与整数根的条件教案

谈一元二次方程的有理根与整数根的条件
整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。
注意这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。
一、与有理根有关的问题
例1.m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？
解：原方程即：
如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。
本题也可这样解：
原方程化为
如有有理根，则
得
二、与整数根有关的问题
例2.若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。
解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是
即
视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由
可见
（1）令，则<1>式为
（2）若要有整数解，则
应为完全平方式。
令，则
因为
所以有如下两种情形。
无整数解，舍去。
代入<2>式得：
所以或（舍去）
将代入（*）式得：
所以满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。
（2）令，则<1>式为
<3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则
因为
所以又有两种情形。
代入<3>式得：或（舍去）
将代入（*）得：
所以为所求。
代入<3>式得：或（舍去）
将代入（*）式得：
，有整数解，故为所求。
由对称性知也为所求。
故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。
三、与因式分解有关的问题
例3.m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？
解：设（n为自然数），则
原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。则
化为
因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或
因为
所以
又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。
① ②
③ ④
由①解得：，此时<2>式为：
或（舍去）
由②解得：，此时<2>式为：
或（舍去）
由③解得：，此时<2>式为：
或（舍去）
由④解得：，此时<2>式为：
或（舍去）
经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对：
时，
时，
时，
时，
注意“△是一完全平方式”只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。
例4.（1998年全国初中数学竞赛试题）
已知方程（a是非负整数）至少有一个整数根，那么____________。
如若认为是完全平方式，从而原方程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出。故当或或时均不可能有整数解。