2021-2022学年湘教版数学八年级上册4.3.1一元一次不等式及其解法 课件（44张PPT）

3.1 一元一次不等式及其解法
第四章 一元一次不等式（组）
学习目标
课时讲解
1
一元一次不等式的定义
不等式的解与解集
一元一次不等式的解法
课时导入
复习提问
引出问题
复习提问
引出问题
某种光盘的存储容量为670MB一个文件平均占用空间为13MB，这张光盘能存放52个这样的文件吗？
知识点
一元一次不等式的定义
感悟新知
1
已知一台升降机的最大载重量是1200 kg，在一名重75 kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？
感悟新知
本问题中涉及的数量关系是：
工人重+货物重≤最大载重量.
设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200 kg，所以有75+25x≤1 200.
归 纳
感悟新知
像75+ 25x<1200这样，含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式
特别警示
●判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断 .
●只含有一个未知数，隐含着未知数的系数不为零，即化成最简形式ax＞0(ax≥0),或 ax<0(ax≤0)时，a≠0.
感悟新知
1.定义：含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
判别条件：(1)都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是1；(4)未知数系数不为0.
感悟新知
2.一元一次不等式与一元一次方程间的关系：
相同点：两者都只含一个未知数，未知数的次数都是1，左、右两边都是整式；
不同点：一元一次方程表示的是相等关系，而一元一次不等式表示的是不等关系.
感悟新知
3·易错警示：判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，化简后不等号的两边都是整式且只舍一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0.
下列式子中是一元一次不等式的有( )
(1)x2+1＞2x；(2) +2＞0；(3)x＞y；(4)
A.1 B.2个 C.3个 D.4个
感悟新知
例 1
A
导引：(1)中未知数的最高次数是2，故不是一元一次不等式；(2)中左边不是整式，故不是一元一次不等式；(3)中有两个未知数，故不是一元一次不等式；(4)是一元一次不等式.
感悟新知
方法点拨
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足一元一次不等式的“三要素”，同时要注意：
(1)化简前不等式的左右两边都是整式；
(2)化简后未知数的次数是1 且系数不为 0.
总 结
感悟新知
判定一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：先对所给不等式进行化简整理，再看(1)不等式的左右两边都是整式；(2)不等式中只含有一个未知数；(3)未知数的次数是1；当这三个条件同时满足时，才能判断该不等式是一元一次不等式.
1．若(m＋1)x|m|＋2＞0是关于x的一元一次不等式，则m等于(　　)
A．±1 B．1 C．－1 D．0
感悟新知
B
2．下列不等式中，属于一元一次不等式的是( )
A．4＞1 B．3x－24＜4
C． D．4x－3＜2y－7
感悟新知
B
感悟新知
知识点
不等式的解与解集
2
为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式75+25x≤ 1 200的值.如何求呢？
与解一元一次方程类似，我们将根据不等式的基本性质，进行如下步骤：将①式移项，得25x≤1 200-75，即
25x≤1 125 ②
将②式两边都除以25(即将x的系数化为1)，得x ≤ 45.
因此，升降机最多装载45件25kg重的货物.
感悟新知
判断下列哪些数能使不等式2x-5> x成立：
(1)2； (2)3； (3) ； (4) ； (5)5； (6)7．
分析：把给出的数值逐一代入不等式看不等式是否成立，若成立，则是不等式的解，否则，不是不等式的解.
感悟新知
解：(1)当x=2时，有2×2-5> ×2，不成立， ．
(2)当x=3时，有2×3-5> ×3，不成立．
(3)当x=3时，有2× -5> ×3 ，不成立．
(4)当x=3时，有2× -5> ×3 ，成立．
感悟新知
(5)当x=5时，有2×5-5> ×5，成立．
(6)当x=7时，有2×7-5> ×7，成立．
所以(1)(2)(3)不是不等式2x-5> x的解，(4)(5)(6)是不等式2x-5> x的解．
感悟新知
结 论
我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.例如，5.4，6， 都是3x> 15的解，这样的解有无数个.
我们把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.例如我们用x>5表示3x> 15的解集.
感悟新知
(1)不等式的解集必须符合两个条件：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中.
(2)不等式的解与不等式的解集的关系：解集包括解，所有的解组成解集.
感悟新知
特别解读
不等式的解与不等式的解集的区别与联系 :
(1)区别：不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值 .
(2)联系：解集包括所有的解，所有的解组成了解集 .
感悟新知
导引：判断一个数是不是不等式的解，一般的方法是将该数代人不等式，验证不等式是否成立。
例2
下列各数哪些是不等式2(2x+1)>25的解？哪些不是？
1；2；10；12.
感悟新知
解：把x=1代人不等式2(2x+1)>25，得2×(2×1+1)>25，即6>25，所以x=1不能使不等式成立，所以1不是不等式2(2x+1)>25的解.
同理，分别把x=2，x=10，x=12代入不等式2(2x+1)>25，可知x=2不能使不等式成立，x=10和x=12能使不等式成立，所以1和2不是不等式2(2x+1)>25的解，10和12是不等式2(2x+1)>25的解.
感悟新知
总 结
解决此类问题通常采用“代入法”进行验证，将未知数的值代入不等式，若不等式成立，则该值是不等式的解；若不等式不成立，则该值不是不等式的解.
1．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
感悟新知
D
感悟新知
2．试判断-2，2，0，3是不是不等式2x+3>5的解，再找出这个不等式的另外两个小于2的解．
解析：分别把数值-2，2，0，3代入不等式2x+3>5，看不等式是不是成立即可.
感悟新知
解：当x=-2时，所给不等式的左边=2×(-2)+3=-1<右边，所以-2不是所给不等式的解；当x=2时，所给不等式的左边=2×2+3=7>右边，所以2是所给不等式的解；当x=0时，所给不等式的左边=2×0+3=3<右边，所以0不是所给不等式的解；当x=3时，所给不等式的左边=2×3+3=9>右边，所以3是所给不等式的解．由不等式的基本性质可推得不等式2x+3>5的解的值应大于1，故不等式2x+3>5的小于2的解应在1和2之间，如1.5，1 等，都是不等式2x+3>5的小于2的解．
感悟新知
下列说法中，正确的是( )
A.x=-3是不等式x+4<1的解
B.x> 是不等式-2 >-3的解集
C.不等式x>-5的负整数解有无数多个
D.不等式x<7的非正整数解有无数多个
例 3
D
感悟新知
导引：当x=-3时，x+4=-3+4=1，所以A错；取一个能使不等式x>- 成立的值，如x=2，代入不等式-2x>-3，发现不等式-2x>-3不成立，故x=2不是-2x>-3的解，所以x> ，不是不等式-2x>-3的解集，故B错；不等式x>-5的负整数解只有-1，-2，-3，-4，共4个，所以C错.
感悟新知
总 结
判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入验证即可，由于不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中，因此如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是这个不等式的解集.
1．下列说法中，错误的是(　　)
A．不等式x<5的整数解有无数个
B．不等式x>－5的负数解有有限个
C．不等式x＋4>0的解集是x>－4
D．x＝－40是不等式2x<－8的一个解
感悟新知
B
感悟新知
知识点
一元一次不等式的解法
3
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形如xa，x>a)的不等式，就可得到原不等式的解集.
感悟新知
1.解一元一次不等式的一般步骤和依据如下：
(1)去分母：利用不等式的基本性质2，3，在不等式两
边同乘其最简公分母；
(2)去括号：利用去括号法则，把所有因式展开；
(3)移项：利用不等式的基本性质1，把含有未知数的项移到不等式的左边，不舍未知数的项移到不等式的右边；
(4)合并同类项：利用合并同类项法则，将所有的同类项合并，得ax>(或≥)b或ax <(或≤)b(a≠0)的形式；
(5)系数化为1：利用不等式的基本性质2，3，不等式两边同除以a(或乘 )
感悟新知
要点精析：在解决具体问题时，上面的有些步骤有可能用不到，或不是按从上到下的顺序进行，要根据不等式的形式灵活安排解题步骤.
感悟新知
2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系：一元一次不等式的解题步骤与一元一次方程的解题步骤非常相似，即前四步的去分母、去括号、移项、合并同类项都一样，不同之处主要表现在：在整个解题过程中，解一元一次方程用的是等式的性质，而解一元一次不等式用的是不等式的性质，即解一元一次不等式时，要特别注意负号和不等号的方向问题.
感悟新知
3·易错警示：(1)解不等式时，上面的5个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序解，应根据不等式的特点灵活安排求解步骤，但最后结果必须化为一边是未知数且系数为1，另一边不舍未知数的形式.
(2)在去分母和系数化为1时，如果不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号要改变方向.
感悟新知
解下列一元一次不等式：
(1)2-5x<8-6x； (2)
解(1)移项，得
即-5x +6x<8-2，x<6.
例4
感悟新知
(2)去分母，得2(x-5)+1×6 ≤9x.
去括号，得2x-10+6≤9x.
移项，得2x-9x < 10-6，
合并同类项，得-7x <4.
两边都除以-7，得x≥
感悟新知
结 论
解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向：其一，去分母；其二，系数化为1，为了使问题更加简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数，这样，使“改变不等号方向”的问题落到"系数化为1”这一步，由于要注意的只有这一步，这样就不容易出错了.
感悟新知
C
感悟新知
D
3.不等式2x-1>3的解集为_________.
感悟新知
x>2
课堂小结
1.一元一次不等式必须同时满足的“四个条件”
(1)是用不等号连接的式子.
(2)分母中不能有未知数.
(3)含有一个未知数。
(4)未知数最高次数为1且其系数不为0.
一元一次不等式及其解法
课堂小结
一元一次不等式及其解法
2.解一元一次不等式的“四点注意”
(1)去分母：注意每一项都要乘分母的最小公倍数.
(2)去括号：使用乘法的分配律时注意不要漏柔项.
(3)移项：移项要注意改变该项的符号，不等号方向不变.
(4)两边都除以未知数的系数：两边都乘或除以同一个负数时注意不等号方向要改变.