2021-2022学年湘教版数学八年级上册5.1.1二次根式及其性质 课件（40张PPT）

第1课时 二次根式及其性质
第五章 二次根式
第1节 二次根式
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式定义的双重非负性(a≥0， )
二次根式的“双重”非负性
课时导入
复习提问
引出问题
复习提问
引出问题
知识点
二次根式的定义
感悟新知
1
(1)5的平方根是________，0的平方根是________，正实数a的平方根是________.
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，从而将飞船送人环地球运行的轨道.而第一字宙速度 与地球半径R
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数
g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作 ，称为a的算术平方根；另一个是
－ .
结 论
感悟新知
我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 (a≥0)的式子叫作二次根式；
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前提是a必须大于或等于0.
(3)形如b (a=0)的式子也是二次根式.
感悟新知
2.易错警示：
(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断；如 等都是二次根式；
(2)像 (a≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.
感悟新知
例 1
感悟新知
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别.
感悟新知
解：(1)∵ 的根指数是3， 不是二次根式
(2)∵不论x为何值，都有x2+1>0， 是二次根式
(3)当-5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a>0时，-5a<0，则 不是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
(4) +1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式.
感悟新知
(5)当x=-3时， 无意义.∴ 也无意义；
当x≠3时， .∴ 是二次根式.
∴ 不一定是二次根式
(6)当a=4，即a-4=0时， 是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2 <0，∴ 不是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
(7)∵x2 +2x +2 =x2 +2x+1 +1=(x+1)2+1>0，
∴ 是二次根式
(8)∵ |x|≥0，∴ 是二次根式.
总 结
感悟新知
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数
1．下列各式中，一定是二次根式的是( )
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D
感悟新知
C
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B
感悟新知
知识点
二次根式的“双重”非负性(a≥0， )
2
(1)式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是
为二次根式的前提条件.式子 就不是二次根式，但式子 却又是二次根式．
(2) (a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算,也可表示运算的结果.同时 (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
感悟新知
1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反之也成立，即 有意义 a≥0.
2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之也成立，即 无意义 a<0.
感悟新知
要点精析：
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数.
(2)如果一个式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.
感悟新知
例2
当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？
解：由x-1≥0，解得x≥1.
因此，当x≥1时， 在实数范围内有意义.
感悟新知
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则还需满足分母不能为零；第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组；第三步，求不等式或不等式组的解集即为字母的取值范围.
1．若 是二次根式，则( )
A．x＞0 B．x＜0 C．x≥0 D．x≤0
感悟新知
D
感悟新知
当x=-4时，求二次根式 的值.
例 3
解：将x=-4代人二次根式，得
感悟新知
总 结
本题运用类比思想，求二次根式的值与求有理式的值的方法一样，代入数值计算即可.但要注意被开方数必须是非负数.
感悟新知
A
感悟新知
知识点
二次根式的“双重”非负性
3
对于非负实数a，由于 是 a的一个平方根，因此
感悟新知
填空：
……
根据上述结果猜想，当a≥0时，
感悟新知
由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根，当a≥0时，根据算术平方根的意义，有 =a，由此得出：
感悟新知
1·二次根式的性质：
(1) 中a≥0， ≥0，即一个非负数的算术平方根是一个非负数；
(2)( )2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(3) 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
感悟新知
要点精析：(1) 具有双重非负性：①a≥0；② ≥0.
(2) 与 的区别与联系：
区别：①取值范围不同： 中a为全体实数
中a≥0；②运算顺序不同： 是先平方后开方，
是先开方后平方；③运算结果不同：
感悟新知
联系： 与 均为非负数，且当a≥0时， =
易错警示：用性质 =|a|化简时，易忽略守母a的取值范围。
感悟新知
计算：
例4
感悟新知
总 结
= a(a≥0)这一性质也可以反过来用，
即 a= (a≥0)，如3= 等．
感悟新知
B
2.计算：(1) =________；
(2) =________；
(3) =________；
(4) =________ .
感悟新知
3
5
18
a2+1
感悟新知
计算：
例 5
感悟新知
总 结
掌握公式 =a (a ≥0)与 =|a| ，是解答此类问题的关键.
感悟新知
B
2. 则a的取值范围是( )
A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D. a≤3
感悟新知
B
课堂小结
二次根式及其性质
与 的异同点
相同点：都要进行平方和开平方两种运算且运算结果都是非负数.
不同点：意义不同， 表示实数a的平方的算术平方根，
表示非负数a的算术平方根的平方.另外，它们的运算顺序、运算依据也不相同.