分式方程
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(共41张PPT)
16.3分式方程
一元一次方程的解法.
1.去分母:各项乘以所有分母的最小公倍数
2.去括号：去掉（）和（）前的符号，
（）前是+，不变号；
（ ）前是—，（）内各项都变号
3.移项：=的一边移到另一半，移项要变号
4.合并同类项：系数相加减，字母及指数不变
5.系数化为1：两边同除以一次项系数
复习:
课前热身
解方程:
2x-1
2
2x+3
6
-1=
解:去分母,方程两边都乘以6得,
3(2x-1)-6=2x+3
去括号,得
6x-3-6=2x+3
移项,得
6x-2x=3+3+6
合并同类项,得
4x=12
系数化为1,得
x=3
复习与回顾
解方程: (x+2)/4-(2x-3)/6=1
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分 析
设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
【问题】
分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
80
x+3
=
60
x-3
分式方程如何去掉分母化成整式方程
方程两边都乘以(x+3)(x-3)得:
80(x-3)=60(x+3)
方程各项都乘以最简公分母
各分母系数的最小公倍数；
取最高次幂
1.系数：
相同的因式：
不同因式也取
如何确定最简公分母：
2.底数:
{
※可化为一元一次方程的分式方程
80
x+3
=
60
x-3
解：
90x-540=60x
90x-60x=540
30x=540
答：轮船在静水中的速度18千米/小时
分式方程必须检验
增根:解分式方程时产生的不适合原方程的根叫做增根.
解分式方程的一般步骤：
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2. 解这个整式方程.
3. 检验：把整式方程的根代入最简公分母，
结果不是零，是原方程的解
结果是0，是原方程的增根，舍去.
4.结论： 写出原方程的根.
解:方程两边都乘以最简公分母x(x-3)得
2x=3(x-3)
2x=3x-9
2X-3x=-9
-X=-9
X=9
检验：x=9时，x(x-3)=54≠0
X=9是原方程的解
练习
解方程
解：
方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得
1 = x – 1– 3( x – 2)
解这个整式方程，得
x = 2
检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0
所以 2 是增根，原方程无解.
x
2x-3
5
3-2x
(1) + =4
解方程
随堂练习
解分式方程的一般步骤:
1.化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.
2.解这个整式方程.
3.检验.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为0,若结果为零则是增根,必须舍去,若结果不为0,则是原方程的根.
1.若方程中的分母是多项式,须先分解因式.再确定最简公分母.
2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.
解分式方程：
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
解得：
x=5
检验：将x=5代入（x-5)(x+5)=0，
x=5不是原分式方程的解。
原方程无解。
练习
分母是多项式先分解因式，再找最简公分母
6
x+m
3
例3:当m=_____时,----+-----=-------有增根.
x
x-1
x(x-1)
解:在方程两边都乘以x(x-1)得
3(x-1)+6x=x+m
所以8x-m-3=0.
因为方程的增根是x=0或x=1
所以m= -3或m=5.
解关于x的方程 产生增根,则常数m的值等于( )
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
x-3
x-1
x-1
m
=
解分式方程的一般步骤:
1.化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.
2.解这个整式方程.
3.检验.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为0,若结果为零则是增根,必须舍去,若结果不为0,则是原方程的根.
注意：
1.若方程中的分母是多项式,须先分解因式. 再确定最简公分母.
2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.
1.若方程 ------= -1的解是负数,求a
的取值范围.
2x+a
x-2
2. a为何值时,关于x的方程
------ = ------的解等于0.
x+1
x-2
2a-3
a+5
3.a为何值时关于x的方程
的解是零.
4.
的根是( )
5.方程
的增根是（ ）。
6.关于x的方程
有增根,则k=_____.
知识回顾
分式方程
一般步骤
转化为整式方程
解这个整式方程
检验
增根
解方程：
二. 解应用题的 一般步骤:
1.设未知数x
2.找相等关系
3.列方程
4.解方程
5检验
6.答
检验目的是:(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
例1：某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？
解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖___________米。
x（1+50%）
工作效率比计划提高50%
每天比计划多挖50%
行程问题
练习2：甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少千米？
解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为________千米/时
（x-1)
例2
从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
例3：如果轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
行程问题基本数量关系：路程＝速度×时间
船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度
船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度
解：设江水的流速为v千米/时，则
顺流100千米所用时间为________小时，
逆流60千米所用时间为_________小时。
得方程：
顺水逆水问题：
`
【例4】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
工程问题
解：
设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 .
记总工程量为1，根据题意，得
= 1
解之得
经检验知 x = 1 是原方程的解,并且x = 1 符合题意.
由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，
所以乙队施工速度快.
练习
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
5.验:有两次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
随时小结
1
检验目的是:(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
本节课我们复习了哪些内容
一.解分式方程的一般步骤:
1.去分母
2.解整式方程
3.检验
4.下结论
二. 解应用题的 一般步骤:
1.审题
2.设未知数x
3.列方程
4.解方程
5.回答
例题2:某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多1000元,所有房屋的租金第二年比第一年多20%.已知第一年所有房屋的租金为50000元.求这两年每间房屋的租金分别是多少
分析:
第 一 年 第 二 年
每 间 房 年租金
所有房屋年租金
房 屋 间 数
x
X+1000
50000
50000(1+20%)
50000/x
50000(1+20%)/(X+1000)
例题3:某市为治理污水,需铺设一段全 长 为1500m的路水管道.为了尽量减少施工对 城市交通的影响, 实际施工时每天的工效比原计划增加了25%,结果提前15天完成任务.实际每天铺设多长管道
分析:
计 划 实 际
每天铺设管道长度(m)
总 任 务 (m)
完 成 时 间 (天)
x
(1+25%)x
1500
1500
1500/x
1500/(1+25%)x
例1 某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.
解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为________千米/时
3x
解得：x=16
经检验： x=16是原方程的根；
3x=48
答：自行车速度是16千米/时，汽车速度是48千米/时，
例2、小王在超市用了42元钱买了某种品牌的牛奶若干盒，过了一段时间再去超市，发现这种牛奶进行让利销售，每盒让利0.4元，他同样用了42元钱买，比上次买的数量多了0.5倍，求他第一次买了多少盒这种牛奶。
解：设他第一次买了x盒这种牛奶，则第二次买了______盒。
（x+2)
【例3】某校招生录取时，为了防止数据输入出错，
2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向
计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是
否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙
少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多
少名学生的成绩？
解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
解得 x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，
乙每分钟能输入11名学生的成绩.
谢谢！
16.3分式方程
一元一次方程的解法.
1.去分母:各项乘以所有分母的最小公倍数
2.去括号：去掉（）和（）前的符号，
（）前是+，不变号；
（ ）前是—，（）内各项都变号
3.移项：=的一边移到另一半，移项要变号
4.合并同类项：系数相加减，字母及指数不变
5.系数化为1：两边同除以一次项系数
复习:
课前热身
解方程:
2x-1
2
2x+3
6
-1=
解:去分母,方程两边都乘以6得,
3(2x-1)-6=2x+3
去括号,得
6x-3-6=2x+3
移项,得
6x-2x=3+3+6
合并同类项,得
4x=12
系数化为1,得
x=3
复习与回顾
解方程: (x+2)/4-(2x-3)/6=1
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分 析
设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
【问题】
分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
80
x+3
=
60
x-3
分式方程如何去掉分母化成整式方程
方程两边都乘以(x+3)(x-3)得:
80(x-3)=60(x+3)
方程各项都乘以最简公分母
各分母系数的最小公倍数；
取最高次幂
1.系数：
相同的因式：
不同因式也取
如何确定最简公分母：
2.底数:
{
※可化为一元一次方程的分式方程
80
x+3
=
60
x-3
解：
90x-540=60x
90x-60x=540
30x=540
答：轮船在静水中的速度18千米/小时
分式方程必须检验
增根:解分式方程时产生的不适合原方程的根叫做增根.
解分式方程的一般步骤：
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2. 解这个整式方程.
3. 检验：把整式方程的根代入最简公分母，
结果不是零，是原方程的解
结果是0，是原方程的增根，舍去.
4.结论： 写出原方程的根.
解:方程两边都乘以最简公分母x(x-3)得
2x=3(x-3)
2x=3x-9
2X-3x=-9
-X=-9
X=9
检验：x=9时，x(x-3)=54≠0
X=9是原方程的解
练习
解方程
解：
方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得
1 = x – 1– 3( x – 2)
解这个整式方程，得
x = 2
检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0
所以 2 是增根，原方程无解.
x
2x-3
5
3-2x
(1) + =4
解方程
随堂练习
解分式方程的一般步骤:
1.化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.
2.解这个整式方程.
3.检验.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为0,若结果为零则是增根,必须舍去,若结果不为0,则是原方程的根.
1.若方程中的分母是多项式,须先分解因式.再确定最简公分母.
2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.
解分式方程：
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
解得：
x=5
检验：将x=5代入（x-5)(x+5)=0，
x=5不是原分式方程的解。
原方程无解。
练习
分母是多项式先分解因式，再找最简公分母
6
x+m
3
例3:当m=_____时,----+-----=-------有增根.
x
x-1
x(x-1)
解:在方程两边都乘以x(x-1)得
3(x-1)+6x=x+m
所以8x-m-3=0.
因为方程的增根是x=0或x=1
所以m= -3或m=5.
解关于x的方程 产生增根,则常数m的值等于( )
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
x-3
x-1
x-1
m
=
解分式方程的一般步骤:
1.化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.
2.解这个整式方程.
3.检验.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为0,若结果为零则是增根,必须舍去,若结果不为0,则是原方程的根.
注意：
1.若方程中的分母是多项式,须先分解因式. 再确定最简公分母.
2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.
1.若方程 ------= -1的解是负数,求a
的取值范围.
2x+a
x-2
2. a为何值时,关于x的方程
------ = ------的解等于0.
x+1
x-2
2a-3
a+5
3.a为何值时关于x的方程
的解是零.
4.
的根是( )
5.方程
的增根是（ ）。
6.关于x的方程
有增根,则k=_____.
知识回顾
分式方程
一般步骤
转化为整式方程
解这个整式方程
检验
增根
解方程：
二. 解应用题的 一般步骤:
1.设未知数x
2.找相等关系
3.列方程
4.解方程
5检验
6.答
检验目的是:(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
例1：某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？
解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖___________米。
x（1+50%）
工作效率比计划提高50%
每天比计划多挖50%
行程问题
练习2：甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少千米？
解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为________千米/时
（x-1)
例2
从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
例3：如果轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
行程问题基本数量关系：路程＝速度×时间
船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度
船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度
解：设江水的流速为v千米/时，则
顺流100千米所用时间为________小时，
逆流60千米所用时间为_________小时。
得方程：
顺水逆水问题：
`
【例4】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
工程问题
解：
设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 .
记总工程量为1，根据题意，得
= 1
解之得
经检验知 x = 1 是原方程的解,并且x = 1 符合题意.
由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，
所以乙队施工速度快.
练习
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
5.验:有两次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
随时小结
1
检验目的是:(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
本节课我们复习了哪些内容
一.解分式方程的一般步骤:
1.去分母
2.解整式方程
3.检验
4.下结论
二. 解应用题的 一般步骤:
1.审题
2.设未知数x
3.列方程
4.解方程
5.回答
例题2:某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多1000元,所有房屋的租金第二年比第一年多20%.已知第一年所有房屋的租金为50000元.求这两年每间房屋的租金分别是多少
分析:
第 一 年 第 二 年
每 间 房 年租金
所有房屋年租金
房 屋 间 数
x
X+1000
50000
50000(1+20%)
50000/x
50000(1+20%)/(X+1000)
例题3:某市为治理污水,需铺设一段全 长 为1500m的路水管道.为了尽量减少施工对 城市交通的影响, 实际施工时每天的工效比原计划增加了25%,结果提前15天完成任务.实际每天铺设多长管道
分析:
计 划 实 际
每天铺设管道长度(m)
总 任 务 (m)
完 成 时 间 (天)
x
(1+25%)x
1500
1500
1500/x
1500/(1+25%)x
例1 某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.
解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为________千米/时
3x
解得：x=16
经检验： x=16是原方程的根；
3x=48
答：自行车速度是16千米/时，汽车速度是48千米/时，
例2、小王在超市用了42元钱买了某种品牌的牛奶若干盒，过了一段时间再去超市，发现这种牛奶进行让利销售，每盒让利0.4元，他同样用了42元钱买，比上次买的数量多了0.5倍，求他第一次买了多少盒这种牛奶。
解：设他第一次买了x盒这种牛奶，则第二次买了______盒。
（x+2)
【例3】某校招生录取时，为了防止数据输入出错，
2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向
计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是
否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙
少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多
少名学生的成绩？
解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
解得 x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，
乙每分钟能输入11名学生的成绩.
谢谢！