公式法
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(共46张PPT)
运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？
新课导入
旧知回顾
观察平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，
两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两
数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，
而在分解因式，“平方差”是得分解因
式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
1．运用平方差公式分解因式；
2．用完全平方公式分解因式；
3．用分组法分解因式；
4．用十字交叉法分解因式．
知识与能力
教学目标
1．能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分解因式；
2．能较熟练地应用分组法、十字交叉法分解因式．
过程与方法
1．通过综合运用提公因式法，公式法，分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养观察和联想能力；
2．通过知识结构图培养归纳总结的能力．
情感态度与价值观
1．应用平方差公式分解因式；
2．用完全平方公式分解因式；
3．会用分组法分解因式；
4．会用十字交叉法分解因式．
重点
教学重难点
1．灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求；
2．灵活应用分组法和十字交叉法分解因式；
3．如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
难点
知识要点
平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到a2－b2= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2－b2=(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2=a2+2ab+b2
C．(a－b)2=a2－2ab＋b2
D．(a+2b)(a－b)=a2+ab－2b2
A
a
b
b
a
例1 把下列各式因式分解：
（1）( x + z ) - ( y + z )
（2）4( a + b) - 25(a - c)
（3）4a - 4a
（4）(x＋y + z) － (x－y－z )
（5）9(m+n)2－(m-n)2
（6）5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2
（4）原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2x (2y + 2z)
=4x (y + z )
（3）原式=4a(a -1)=4a(a+1)(a-1)
解：（1）原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
（2）原式=4( a + b) - 25(a - c)
=[2(a＋b) ＋5(a-c)][2(a＋b)-5(a-c)]
=(7a＋2b－5c)(－3a＋2b＋5c)
（5）原式=[3(m+n)]2－(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
=(4m+2n) (2m+4n)
=4 (2m+n) (m+2n)
（6）原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)]
=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数．
证明： (2n+1)2-(2n-1)2
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1）
=4n×2
=8n
因为n是整数，所以原式是8的倍数．
（1） 652-642 （2） 5.42-4.62
解：652-642
=(65+64)(65-64)
=129×1
=129
解：5.42-4.62
=(5.4+4.6)(5.4-4.6)
=10×0.8
=80
例3 计算下列各式的值：
(3x+2y)(3-2y)=4×1.5=6
9x2-4y2 =6
解1：
例4 已知x和y满足方程组 ，求9x2－4y2的值？
3x+2y=4
6x-4y=3
3x+2y=4
3x-2y=1.5
3x+2y=4
6x-4y=3
由①得：(x+2y)(x-2y)=5 ③
将②代入③得：x+2y=5 ④
②+④ 得：x=3
代入②得：y=1
解：
（2006年莆田）解方程组：
x2－4y2=5，①
x－2y=1． ②
所以，原方程组的解为：
x=3，
y=1．
练一练
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y2-2y+2x的值．
解： x2－y2－2y+2x
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y）
=（ x －y ）（ x ＋y ＋2）
=5×9=45
完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
知识要点
如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方．
观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_________________．
a2+2ab+b2=(a+b)2
（1）x4-2x2+1
解：原式=（x2-1)2
=[(x+1)(x-1)]2
=(x+1)2(x-1)2
（2）(x2+y2)2-4x2y2
解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2
例5 分解因式．
（3）3abx2+6abxy+3aby2
解：原式=3ab（x2＋2xy＋y2）
=3ab(x+y)2
（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2
解：原式=（m+n）2-2×2m（m+n）+（2m)2
=（ m＋n－2m ）2
=（m－n）2
(x+2)(x+1)
x2+3x+2
(x-2)(x+1)
x2-x-2
(x-2)(x-1)
x2-3x+2
(x+2)(x-1)
x2+x-2
(x+2)(x+3)
x2+5x+6
(x+2)(x-3)
x2-x-6
(x-2)(x+3)
x2+x-6
(x-2)(x-3)
x2-5x+6
(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab
=
=
=
=
=
=
=
=
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
=
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：
当q>0时，q分解的因数a、b（ ）
当q<0时，q分解的因数a、b（ ）
同号
异号
知识要点
q=ab，p=a+b
x2+px+q=
x2+(a+b)x+ab=
x
x
a
b
ax
+
bx
=
(a+b)x
(x+a)(x+b)
步骤：
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，和相加；
③检验确定，横写因式．
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱．
1．x2+8x+12=
2．x2-11x-12=
3．x2-7x+12=
4．x2-4x-12=
(x+2)(x+6)
(x-6)(x+2)
(x-3)(x-4)
(x-12)(x+1)
5．x2+13x+12=
(x+1)(x+12)
6．x2-x-12=
(x-4)(x+3)
将下列各式因式分解：
对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
注意
知识要点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
mx+my-nx-ny
①
②
③
④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y)
=(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny)
解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n)
= (m-n) (x+y)
练一练
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组
之间还有公因式可以提．
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是
一样的．
注意
把下列各式因式分解：
练一练
（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2
=(x+y)2-z2
=(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(b+1)(a+1)
（3）9a4-4a2+4a-1
解：9a4-4a2+4a-1
= 9a4-(4a2-4a+1)
= 9a4-(2a-1) 2
= (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48
= (x2+x-6)(x2+x-8)
= (x+3)(x-2)(x2+x-8)
（2007年株洲市）
分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
解：令x4+x2=m，则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
= m2-m-12+10
= m2-m-2
= (m-2)(m+1)
= (x4+x2-2)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )
= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )
= (a +b) ( a2 - 2b2 )
练一练
=0
解：4x4+1
= 4x4+4x2+1-4x2
=（2x2+1）2-（2x）2
=（ 2x2+1+ 2x）（ 2x2+1-2x）
因式分解：4x4+1
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
注意
多项式
二项式
立方和差
添项
三项式
完全平方式
十字相乘法
拆项法
多于三项的多项式
分组分解
分组后提公因式
分组后运用公式
分组后十字相乘
提取公因式
平方差
课堂小结
2．(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =__________
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =______________
4．-1-2a-a2=___________
5．x2-6x+9-y2 =____________
6．x2-4y2+x+2y=______________
7．9x2+6xy+y2+3x+y =_____________
8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=________________
1．a3-ab2 =___________
a(a+b)(a-b)
2x(a-b)
(a+b+5)(a+b-3)
-(a+1) 2
(x-3+y)(x-3-y)
(x+2y)(x-2y+1)
(3x+y)(3x+y+1)
(3x+y+2)(3x+y-1)
随堂练习
一、分解因式
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2]
=2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2(13x-1)(-13x+13)
=-26(13x-1)(x-1)
=2b(4a2b-a4-4b2)
=-2b(a4-4a2b+4b2)
=-2b(a2-2b) 2
三、因式分解
(x+2)(x-3)
1．x2-x- 6 =
(x+2)(x-5)
2．x2-3x-10=
(x-7)(x+4)
3．x2-3x-28=
(x-1)(x-3)
4．x2-4x+3=
(x+2)(x+3)
(x-3)(x+7)
5．x2+5x+6=
6．x2+4x-21=
(y+12)(y-3)
7．y2+9y-36=
(y-7)(y+16)
(y+16)(y+3)
8．y2+9y-112=
9．y2+19y+48=
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3)
=a2(a+b)+b2(a+b)
=(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10
∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0
∴(x+y-1)2=0即x+y-1=0
∴x+y=1
∴2x2+4xy+2y2=2(x+y)2
=2×12=2
1．（1）5a2(3a＋2)； （2）3bc(4a－c)；
（3）2(p＋q)(3p－2q)；（4）(a－3)(m－2)．
2．（1）(1＋6b)(1－6b)； （2）3(2x＋y)(2x－y)；
（3）(0.7p＋12)(0.7p－12)；（4）3(x＋y)(x－y)．
3．（1）(1＋5t)2；（2）(m－7)2； （3）(y＋1/2)2；
（4）(m－n)2；（5）(5a－8)2；（6）(a＋b＋c)2．
习题答案
4．（1）原式=3.14（21+62+17）=314；
（2）原式=（758+258）（758－258）
=1016×500=508 000．
5．（1）（a＋b）2；（2）(p+2)(p－2)；
（3）－y(2x－y)2；（4）3a(x＋y)(x－y)．
6．（1）V =I(R1+R2+R3)，代入R1，R2，R3的
值，得V=220．
7．所求面积S=πR2－4πr2=π（R＋2r）（R－
2r），代入R，r的数值后得S=175.84cm2．
8．2×2x－22=4(x－1)或x2－(x－2)2=4(x－1)．
9．m=±12．
10．(2n－1) ·2n＋2＋1=2n＋12－2·2n＋1＋1=
(2n＋1－1)2．
运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？
新课导入
旧知回顾
观察平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，
两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两
数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，
而在分解因式，“平方差”是得分解因
式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
1．运用平方差公式分解因式；
2．用完全平方公式分解因式；
3．用分组法分解因式；
4．用十字交叉法分解因式．
知识与能力
教学目标
1．能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分解因式；
2．能较熟练地应用分组法、十字交叉法分解因式．
过程与方法
1．通过综合运用提公因式法，公式法，分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养观察和联想能力；
2．通过知识结构图培养归纳总结的能力．
情感态度与价值观
1．应用平方差公式分解因式；
2．用完全平方公式分解因式；
3．会用分组法分解因式；
4．会用十字交叉法分解因式．
重点
教学重难点
1．灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求；
2．灵活应用分组法和十字交叉法分解因式；
3．如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
难点
知识要点
平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到a2－b2= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2－b2=(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2=a2+2ab+b2
C．(a－b)2=a2－2ab＋b2
D．(a+2b)(a－b)=a2+ab－2b2
A
a
b
b
a
例1 把下列各式因式分解：
（1）( x + z ) - ( y + z )
（2）4( a + b) - 25(a - c)
（3）4a - 4a
（4）(x＋y + z) － (x－y－z )
（5）9(m+n)2－(m-n)2
（6）5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2
（4）原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2x (2y + 2z)
=4x (y + z )
（3）原式=4a(a -1)=4a(a+1)(a-1)
解：（1）原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
（2）原式=4( a + b) - 25(a - c)
=[2(a＋b) ＋5(a-c)][2(a＋b)-5(a-c)]
=(7a＋2b－5c)(－3a＋2b＋5c)
（5）原式=[3(m+n)]2－(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
=(4m+2n) (2m+4n)
=4 (2m+n) (m+2n)
（6）原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)]
=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数．
证明： (2n+1)2-(2n-1)2
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1）
=4n×2
=8n
因为n是整数，所以原式是8的倍数．
（1） 652-642 （2） 5.42-4.62
解：652-642
=(65+64)(65-64)
=129×1
=129
解：5.42-4.62
=(5.4+4.6)(5.4-4.6)
=10×0.8
=80
例3 计算下列各式的值：
(3x+2y)(3-2y)=4×1.5=6
9x2-4y2 =6
解1：
例4 已知x和y满足方程组 ，求9x2－4y2的值？
3x+2y=4
6x-4y=3
3x+2y=4
3x-2y=1.5
3x+2y=4
6x-4y=3
由①得：(x+2y)(x-2y)=5 ③
将②代入③得：x+2y=5 ④
②+④ 得：x=3
代入②得：y=1
解：
（2006年莆田）解方程组：
x2－4y2=5，①
x－2y=1． ②
所以，原方程组的解为：
x=3，
y=1．
练一练
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y2-2y+2x的值．
解： x2－y2－2y+2x
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y）
=（ x －y ）（ x ＋y ＋2）
=5×9=45
完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
知识要点
如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方．
观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_________________．
a2+2ab+b2=(a+b)2
（1）x4-2x2+1
解：原式=（x2-1)2
=[(x+1)(x-1)]2
=(x+1)2(x-1)2
（2）(x2+y2)2-4x2y2
解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2
例5 分解因式．
（3）3abx2+6abxy+3aby2
解：原式=3ab（x2＋2xy＋y2）
=3ab(x+y)2
（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2
解：原式=（m+n）2-2×2m（m+n）+（2m)2
=（ m＋n－2m ）2
=（m－n）2
(x+2)(x+1)
x2+3x+2
(x-2)(x+1)
x2-x-2
(x-2)(x-1)
x2-3x+2
(x+2)(x-1)
x2+x-2
(x+2)(x+3)
x2+5x+6
(x+2)(x-3)
x2-x-6
(x-2)(x+3)
x2+x-6
(x-2)(x-3)
x2-5x+6
(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab
=
=
=
=
=
=
=
=
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
=
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：
当q>0时，q分解的因数a、b（ ）
当q<0时，q分解的因数a、b（ ）
同号
异号
知识要点
q=ab，p=a+b
x2+px+q=
x2+(a+b)x+ab=
x
x
a
b
ax
+
bx
=
(a+b)x
(x+a)(x+b)
步骤：
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，和相加；
③检验确定，横写因式．
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱．
1．x2+8x+12=
2．x2-11x-12=
3．x2-7x+12=
4．x2-4x-12=
(x+2)(x+6)
(x-6)(x+2)
(x-3)(x-4)
(x-12)(x+1)
5．x2+13x+12=
(x+1)(x+12)
6．x2-x-12=
(x-4)(x+3)
将下列各式因式分解：
对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
注意
知识要点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
mx+my-nx-ny
①
②
③
④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y)
=(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny)
解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n)
= (m-n) (x+y)
练一练
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组
之间还有公因式可以提．
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是
一样的．
注意
把下列各式因式分解：
练一练
（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2
=(x+y)2-z2
=(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(b+1)(a+1)
（3）9a4-4a2+4a-1
解：9a4-4a2+4a-1
= 9a4-(4a2-4a+1)
= 9a4-(2a-1) 2
= (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48
= (x2+x-6)(x2+x-8)
= (x+3)(x-2)(x2+x-8)
（2007年株洲市）
分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
解：令x4+x2=m，则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
= m2-m-12+10
= m2-m-2
= (m-2)(m+1)
= (x4+x2-2)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )
= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )
= (a +b) ( a2 - 2b2 )
练一练
=0
解：4x4+1
= 4x4+4x2+1-4x2
=（2x2+1）2-（2x）2
=（ 2x2+1+ 2x）（ 2x2+1-2x）
因式分解：4x4+1
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
注意
多项式
二项式
立方和差
添项
三项式
完全平方式
十字相乘法
拆项法
多于三项的多项式
分组分解
分组后提公因式
分组后运用公式
分组后十字相乘
提取公因式
平方差
课堂小结
2．(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =__________
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =______________
4．-1-2a-a2=___________
5．x2-6x+9-y2 =____________
6．x2-4y2+x+2y=______________
7．9x2+6xy+y2+3x+y =_____________
8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=________________
1．a3-ab2 =___________
a(a+b)(a-b)
2x(a-b)
(a+b+5)(a+b-3)
-(a+1) 2
(x-3+y)(x-3-y)
(x+2y)(x-2y+1)
(3x+y)(3x+y+1)
(3x+y+2)(3x+y-1)
随堂练习
一、分解因式
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2]
=2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2(13x-1)(-13x+13)
=-26(13x-1)(x-1)
=2b(4a2b-a4-4b2)
=-2b(a4-4a2b+4b2)
=-2b(a2-2b) 2
三、因式分解
(x+2)(x-3)
1．x2-x- 6 =
(x+2)(x-5)
2．x2-3x-10=
(x-7)(x+4)
3．x2-3x-28=
(x-1)(x-3)
4．x2-4x+3=
(x+2)(x+3)
(x-3)(x+7)
5．x2+5x+6=
6．x2+4x-21=
(y+12)(y-3)
7．y2+9y-36=
(y-7)(y+16)
(y+16)(y+3)
8．y2+9y-112=
9．y2+19y+48=
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3)
=a2(a+b)+b2(a+b)
=(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10
∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0
∴(x+y-1)2=0即x+y-1=0
∴x+y=1
∴2x2+4xy+2y2=2(x+y)2
=2×12=2
1．（1）5a2(3a＋2)； （2）3bc(4a－c)；
（3）2(p＋q)(3p－2q)；（4）(a－3)(m－2)．
2．（1）(1＋6b)(1－6b)； （2）3(2x＋y)(2x－y)；
（3）(0.7p＋12)(0.7p－12)；（4）3(x＋y)(x－y)．
3．（1）(1＋5t)2；（2）(m－7)2； （3）(y＋1/2)2；
（4）(m－n)2；（5）(5a－8)2；（6）(a＋b＋c)2．
习题答案
4．（1）原式=3.14（21+62+17）=314；
（2）原式=（758+258）（758－258）
=1016×500=508 000．
5．（1）（a＋b）2；（2）(p+2)(p－2)；
（3）－y(2x－y)2；（4）3a(x＋y)(x－y)．
6．（1）V =I(R1+R2+R3)，代入R1，R2，R3的
值，得V=220．
7．所求面积S=πR2－4πr2=π（R＋2r）（R－
2r），代入R，r的数值后得S=175.84cm2．
8．2×2x－22=4(x－1)或x2－(x－2)2=4(x－1)．
9．m=±12．
10．(2n－1) ·2n＋2＋1=2n＋12－2·2n＋1＋1=
(2n＋1－1)2．