提公因式法
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(共33张PPT)
993－99能被100整除吗？
解法二：993－99=99（992－1）
=99（99＋1）（99－1）
=100×99×98
解法一：993－99=970299－99
=970200
新课导入
想一想
哪种解法简单？
（1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2
的值．
（2）已知：a=101，b=99，求a2-b2的值．
你能说说算得快的原因吗？
解：（1） ax2-bx2=x2（a－b）
=25×3=75．
（2） a2-b2=（a＋b）（a－b）
=（101＋99）（101－99）
=200×2=400
知识与能力
教学目标
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式；
2．通过找公因式，培养观察能力．
1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；
2．了解公因式概念和提取公因式的方法；
3．会用提取公因式法分解因式．
过程与方法
1．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法；
2．培养观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法；
3．在用提公因式法分解因式时，培养合作交流意识，初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用．
情感态度与价值观
重点
难点
教学重难点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
识别多项式的公因式．
根据左面的算式填空：
①3x2-6x=(___)(_____)
②ma+mb+mc=(__)(_____)
③m2-16=(____)(____)
④x2-4x+4=(_____)2
⑤a3-a=(__)(___)(___)
计算下列各式：
①3x(x-2)= _______
②m(a+b+c)=____________
③(m+4)(m-4)= ______
④(x-2)2= ________
⑤a(a+1)(a-1)= ______
3x2-6x
ma+mb+mc
m2-16
x2-4x+4
a3-a
3x
x-2
m
a+b+c
m+4
m-4
x-2
a
a-1
a+1
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
做一做
讨论
知识要点
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
a2-b2
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
因式分解与整式乘法是互逆过程
因式分解与整式乘法的关系：
=(a+b)(a-b)
（4）分解因式必须进行到每个多项式
因式不能再分解为止．
（2）分解因式的结果是整式的积的形
式；
（1）分解因式是整式乘法的恒等变形，
是互逆的过程；
（3）分解的对象必须是多项式；
1．下列从左到右是因式分解的是（ ）
A．x(a－b)=ax－bx
B．x2 －1+y2=(x－1)(x+1)+y2
C．x2－1=(x+1)(x－1)
D．ax+bx+c=x(a+b)+c
C
练一练
2 ．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．3m2－6m=m(3m－6)
B．a2b+ab+a=a(ab+b)
C．－x2+2xy－y2=－ (x－y)2
D．x2+y2=(x+y)2
C
知识要点
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公因式：
即每个单项式都含有的相同的因式．
在am＋bm=m(a+b)中，m叫做多项式各项的公因式．
提公因式法：
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
最大公约数
相同字母
公因式
4
a
b2
一看系数
观察方向
二看字母
三看指数
最低指数
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．
知识要点
确定公因式的方法：
①ax+ay+a
②3mx-6nx2
③4a2b+10ab2
④x4y3+x3y3
⑤12x2yz-9x3y2
指出下列各多项式中各项的公因式：
a
公因式
3x
2ab
x3y3
3x2y
多项式
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式．
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
公因式： 4a2b3
注意
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c)
= (b+2c)(2ac-1)
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
注意
1．找出下列各多项式的公因式，并尝试将各多
项式因式分解．
（1）3x+9；
（2）7x2-28xy；
（3）8a3b2-12ab3c+2ab；
（4）6ax2－9axy＋3a．
练一练
解：（1）原式=3(x+3)
（2）原式=7x·x-7x·4y=7x(x-4y)
（3）原式=2ab·4a2b-2ab·6b2c+2ab·1
=2ab(4a2b-6b2c+1)
（4）原式=3a·2x2-3a·3xy+3a·1
=3a(2x2-3xy+1)
2．（1） 4x3y2+14x2y-2xy
=2xy·2x2y+2xy·7x-2xy·1
=2xy(2x2y+7x-1)
（2）4a3b2+16ab3c-12a2b2c2
=4ab2(a2＋4bc－3ac2）
（3）2am-1bn-4ambn+1+6am+1bn
=2am-1bn（1-2ab+3a2）
（4） a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的
整数)
= an－1(an ＋1 －a2－1)．
3．（1） 2x(x-2y)+4y(2y-x)
= 2x(x-2y)-4y(x-2y)
=2(x-2y)(x-2y)
=2(x-2y)2
（2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)
=(2a+b)(3b-2a-a)
=(2a+b)(3b-3a)
=3(2a+b)(b-a)
例3 把－x3＋x2－x分解因式．
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1)
注意
1．分解因式
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做分解因式，分解因式和整式乘法互为逆运算．
2．确定公因式的方法
一看系数 二看字母 三看指数
课堂小结
3．提公因式法分解因式步骤（分两步）
第一步 找出公因式；
第二步 提公因式.
4．用提公因式法分解因式应注意的问题
（1）公因式要提尽；
（2）某一项全部提出时，这一项除以公因
式时的商是1，这个1不能漏掉；
（3）多项式的首项取正号．
1．（1）9x3y3－12x2y＋18xy3中各项的公因式
是__________.
（2）5x2－25x的公因式为_______.
（3）－2ab2＋4a2b3的公因式为________ .
（4）多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
_______ ．
3xy
5x
-2ab2
x-1
2．如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，
那么另外的因式是__________．
(x-y)2
随堂练习
3．分解因式
（1）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
解法一：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
=5x3y(x-y)3-15x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)2(x-y-3xy2)
解法二：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
= -5x3y(y-x)3-15x4y3(y-x)2
= -5x3y(y-x)2(y-x+3xy2)
（2） (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b)
=8(a-2b)2
（3） x2+x6
=x2(1+x4)
（4）8m2n+2mn
=2mn(4m+1)
（5）12xyz－9x2y2
=3xy(4z－3xy)
993－99能被100整除吗？
解法二：993－99=99（992－1）
=99（99＋1）（99－1）
=100×99×98
解法一：993－99=970299－99
=970200
新课导入
想一想
哪种解法简单？
（1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2
的值．
（2）已知：a=101，b=99，求a2-b2的值．
你能说说算得快的原因吗？
解：（1） ax2-bx2=x2（a－b）
=25×3=75．
（2） a2-b2=（a＋b）（a－b）
=（101＋99）（101－99）
=200×2=400
知识与能力
教学目标
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式；
2．通过找公因式，培养观察能力．
1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；
2．了解公因式概念和提取公因式的方法；
3．会用提取公因式法分解因式．
过程与方法
1．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法；
2．培养观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法；
3．在用提公因式法分解因式时，培养合作交流意识，初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用．
情感态度与价值观
重点
难点
教学重难点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
识别多项式的公因式．
根据左面的算式填空：
①3x2-6x=(___)(_____)
②ma+mb+mc=(__)(_____)
③m2-16=(____)(____)
④x2-4x+4=(_____)2
⑤a3-a=(__)(___)(___)
计算下列各式：
①3x(x-2)= _______
②m(a+b+c)=____________
③(m+4)(m-4)= ______
④(x-2)2= ________
⑤a(a+1)(a-1)= ______
3x2-6x
ma+mb+mc
m2-16
x2-4x+4
a3-a
3x
x-2
m
a+b+c
m+4
m-4
x-2
a
a-1
a+1
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
做一做
讨论
知识要点
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
a2-b2
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
因式分解与整式乘法是互逆过程
因式分解与整式乘法的关系：
=(a+b)(a-b)
（4）分解因式必须进行到每个多项式
因式不能再分解为止．
（2）分解因式的结果是整式的积的形
式；
（1）分解因式是整式乘法的恒等变形，
是互逆的过程；
（3）分解的对象必须是多项式；
1．下列从左到右是因式分解的是（ ）
A．x(a－b)=ax－bx
B．x2 －1+y2=(x－1)(x+1)+y2
C．x2－1=(x+1)(x－1)
D．ax+bx+c=x(a+b)+c
C
练一练
2 ．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．3m2－6m=m(3m－6)
B．a2b+ab+a=a(ab+b)
C．－x2+2xy－y2=－ (x－y)2
D．x2+y2=(x+y)2
C
知识要点
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公因式：
即每个单项式都含有的相同的因式．
在am＋bm=m(a+b)中，m叫做多项式各项的公因式．
提公因式法：
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
最大公约数
相同字母
公因式
4
a
b2
一看系数
观察方向
二看字母
三看指数
最低指数
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．
知识要点
确定公因式的方法：
①ax+ay+a
②3mx-6nx2
③4a2b+10ab2
④x4y3+x3y3
⑤12x2yz-9x3y2
指出下列各多项式中各项的公因式：
a
公因式
3x
2ab
x3y3
3x2y
多项式
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式．
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
公因式： 4a2b3
注意
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c)
= (b+2c)(2ac-1)
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
注意
1．找出下列各多项式的公因式，并尝试将各多
项式因式分解．
（1）3x+9；
（2）7x2-28xy；
（3）8a3b2-12ab3c+2ab；
（4）6ax2－9axy＋3a．
练一练
解：（1）原式=3(x+3)
（2）原式=7x·x-7x·4y=7x(x-4y)
（3）原式=2ab·4a2b-2ab·6b2c+2ab·1
=2ab(4a2b-6b2c+1)
（4）原式=3a·2x2-3a·3xy+3a·1
=3a(2x2-3xy+1)
2．（1） 4x3y2+14x2y-2xy
=2xy·2x2y+2xy·7x-2xy·1
=2xy(2x2y+7x-1)
（2）4a3b2+16ab3c-12a2b2c2
=4ab2(a2＋4bc－3ac2）
（3）2am-1bn-4ambn+1+6am+1bn
=2am-1bn（1-2ab+3a2）
（4） a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的
整数)
= an－1(an ＋1 －a2－1)．
3．（1） 2x(x-2y)+4y(2y-x)
= 2x(x-2y)-4y(x-2y)
=2(x-2y)(x-2y)
=2(x-2y)2
（2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)
=(2a+b)(3b-2a-a)
=(2a+b)(3b-3a)
=3(2a+b)(b-a)
例3 把－x3＋x2－x分解因式．
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1)
注意
1．分解因式
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做分解因式，分解因式和整式乘法互为逆运算．
2．确定公因式的方法
一看系数 二看字母 三看指数
课堂小结
3．提公因式法分解因式步骤（分两步）
第一步 找出公因式；
第二步 提公因式.
4．用提公因式法分解因式应注意的问题
（1）公因式要提尽；
（2）某一项全部提出时，这一项除以公因
式时的商是1，这个1不能漏掉；
（3）多项式的首项取正号．
1．（1）9x3y3－12x2y＋18xy3中各项的公因式
是__________.
（2）5x2－25x的公因式为_______.
（3）－2ab2＋4a2b3的公因式为________ .
（4）多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
_______ ．
3xy
5x
-2ab2
x-1
2．如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，
那么另外的因式是__________．
(x-y)2
随堂练习
3．分解因式
（1）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
解法一：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
=5x3y(x-y)3-15x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)2(x-y-3xy2)
解法二：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
= -5x3y(y-x)3-15x4y3(y-x)2
= -5x3y(y-x)2(y-x+3xy2)
（2） (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b)
=8(a-2b)2
（3） x2+x6
=x2(1+x4)
（4）8m2n+2mn
=2mn(4m+1)
（5）12xyz－9x2y2
=3xy(4z－3xy)