等腰三角形
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文档简介
(共59张PPT)
新课导入
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知识与能力
教学目标
1．等腰三角形的概念和性质及其应用；
2．理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论；
3．能利用等腰三角形的性质与判定证明线段或角的相等关系．
过程与方法
1．观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；
2．通过观察等腰三角形的对称性，培养观察、分析、归纳问题的能力；
3．通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识．
情感态度与价值观
1．引导对图形的观察、发现，激发好奇心和求知欲；
2．在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．通过实际作题了解等腰三角形三线合一；
3．通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展合情推理能力和演绎推理能力；
4．感受图形中的动态美、和谐美、对称美；
5．感受合作交流带来的成功感，树立自信心．
重点
教学重难点
1．等腰三角形的判定定理及推论的运用；
2．等腰三角形的概念和性质及其应用．
难点
1．正确区分等腰三角形的判定与性质；能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系；
2．等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
知识要点
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
腰
腰
底边
底角
顶角
底角
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等吗？试着证明？
已知： Δ ABC中，AB=AC．
求证： ∠B = ∠C．
A
B
C
想一想
证明：作顶角的平分线AD． 在△BAD和△CAD中，
AB=AC （ 已知 ），
∠1= ∠2 （ 辅助线作法 ），
AD=AD （公共边） ，
∴ △BAD ≌ △CAD （SAS）．
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
1
2
证明一：
作顶角的平分线
D
证明：作底边中线AD．在△BAD和△CAD中，
AB=AC （已知），
BD=CD （辅助线作法），
AD=AD （公共边），
∴ △BAD ≌△CAD（SSS）．
∴ ∠ B= ∠C （全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
D
证明二：
作底边中线
证明：作底边高线AD．在Rt△BAD和△RtCAD中，
AB=AC （已知），
AD=AD（公共边），
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD （HL）．
∴ ∠ B= ∠C（全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
D
证明三：
作底边的高线
且BD=CD，∠BAD=∠CAD．
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线相互重合．
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边
对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合（ “三线合一”）．
即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底
边．
结论
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
顶角的平分线
底边的高
底边的中线
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
A
B
C
D
A
B
C
D
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？
C
E
F
H
想一想
a
D
O
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
在等腰三角形中，
注意
⑤0°＜底角＜90°
例1 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 ， 过屋顶A的立柱AD BC ，屋椽AB=AC．求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∴∠B=∠C= (180°－∠A) =40°（三角形内角和定理）．
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
∴∠BAD=∠CAD=50°．
A
B
D
C
例2 如图，在△ABC中，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
A
D
C
B
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD=2x，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C =x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
在△ABC中，∠A==36°，∠ABC=∠C=72°．
等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三个内角分别为_________________．
解：设小角为x，则大角为2x．
当x为底角时，x +x+ 2x=180°，
解得 x=45°，则2x=90°．
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180°，
解得x =36° ，则2x=72°．
∴其内角的度数为45°，45°，90°，或36°，72°，72°．
练一练
A
B
O
SOS!SOS!
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A= ∠B．如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事 地点（不考虑风浪因素）？
想一想
知识要点
△ ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
推理形式如下：
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
A
B
C
例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC，（如图），求证：AB=AC．
证明：
∵AD//BC，
∴∠1=∠B，
∴∠2=∠C．
又已知∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
B
C
A
E
D
）1
）2
A
B
C
N
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=84°－42°=42°，
∴BA=BC（等角对等边），
∵AB=20（15－13）=40，
∴BC=BA=40（海里）．
下午13时，一条船从海岛A出发，以20海里的速度向正北航行，15时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，求从海岛B到灯塔C的距离．
练一练
例4 如图，标杆AB高5 m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B 距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4 m，绳子CD和CE要多长？
D B E
C
A
解：因为AB是线段DE的垂直平分线，所以CD与CE相等．
选取比例尺1：100，此时1 cm代表了1m．作已知底边上的高CB=2.5 m，底边DE长为4 m的是等腰三角形CDE．
（1）作线段DE=4cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
（3）在MN上截取BC=2.5cm；
（4）连接CD、CE；
（5）测量CD的长，根据比例尺计算出绳长．
B
A
C
如图，等边△ABC，在平面内找一点P，使得△PAB、△PBC 、△PAC都是等腰三角形．
想一想
满足条件的点都在对称轴上，共10个点．
如图，正方形ABCD，在平面内找一点P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、 △PAD都是等腰三角形．
B
A
C
D
满足条件的点都在对称轴上，共9个点．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
二、性质
1．等边对等角．
2．等角对等边．
3． “三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
课堂小结
一、定义
1．（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其
余两个角为____和____．
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为____．
50°
80°
50°
（3）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余两个角为________________________．
80°和20°
（4）如果等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角为_________．
40°和40°
或50°和50 °
随堂练习
2．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DF=EF，则
∠DEF等于（ ）
A．90° B．75°
C．70° D．60°
A
B
C
D
E
F
D
3．（黄冈中考题）在△ABC中， AB=AC，AB的
中垂线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，
则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°
或 20°
4．已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，
∠1=45°，则∠BCD的度数_______ ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
1
22.5°
5 ．已知AD = DC=CB，∠A= 25°，则∠DCB
的度数为________．
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
80°
6 ．如图，已知△ABC中，AB=AC，F在AC上，
在BA的延长线上截取AE=AF，
求证：ED⊥BC
A
B
C
D
E
F
提示：证明∠EDB=∠EDC．
证明：∵ BA=BC，
∴∠BCA=∠A=60°
（等边对等角）．
∵ CE=CD，
∴∠E=∠CDE=30° （三角形外角性质）．
∵ BD是AC边的中线，
∴∠DBC=30°（等腰三角形的性质）．
∴DE=DB（等角对等边）．
7．如图，△ABC中，BC=BA，∠A=60°，BD
是AC边的中线，延长BC到E，使CE=CD，
求证：DE=DB．
A
B
C
D
E
证明：
∵ DE//BC，
∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC．
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBO=∠DOB=∠OBC，∠ECO=∠EOC=∠OCB．
∴BD=DO，CE=OE （等角对等边），
∴BD+EC=DO+OE=DE．
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线
交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC
于点D、E，求证：BD+EC=DE．
B
C
A
E
O
D
新课导入
图片欣赏：
知识与能力
教学目标
1．等腰三角形的概念和性质及其应用；
2．理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论；
3．能利用等腰三角形的性质与判定证明线段或角的相等关系．
过程与方法
1．观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；
2．通过观察等腰三角形的对称性，培养观察、分析、归纳问题的能力；
3．通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识．
情感态度与价值观
1．引导对图形的观察、发现，激发好奇心和求知欲；
2．在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．通过实际作题了解等腰三角形三线合一；
3．通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展合情推理能力和演绎推理能力；
4．感受图形中的动态美、和谐美、对称美；
5．感受合作交流带来的成功感，树立自信心．
重点
教学重难点
1．等腰三角形的判定定理及推论的运用；
2．等腰三角形的概念和性质及其应用．
难点
1．正确区分等腰三角形的判定与性质；能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系；
2．等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
知识要点
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
腰
腰
底边
底角
顶角
底角
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等吗？试着证明？
已知： Δ ABC中，AB=AC．
求证： ∠B = ∠C．
A
B
C
想一想
证明：作顶角的平分线AD． 在△BAD和△CAD中，
AB=AC （ 已知 ），
∠1= ∠2 （ 辅助线作法 ），
AD=AD （公共边） ，
∴ △BAD ≌ △CAD （SAS）．
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
1
2
证明一：
作顶角的平分线
D
证明：作底边中线AD．在△BAD和△CAD中，
AB=AC （已知），
BD=CD （辅助线作法），
AD=AD （公共边），
∴ △BAD ≌△CAD（SSS）．
∴ ∠ B= ∠C （全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
D
证明二：
作底边中线
证明：作底边高线AD．在Rt△BAD和△RtCAD中，
AB=AC （已知），
AD=AD（公共边），
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD （HL）．
∴ ∠ B= ∠C（全等三角形的对应角相等）．
A
B
C
D
证明三：
作底边的高线
且BD=CD，∠BAD=∠CAD．
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线相互重合．
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边
对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合（ “三线合一”）．
即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底
边．
结论
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
顶角的平分线
底边的高
底边的中线
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
A
B
C
D
A
B
C
D
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？
C
E
F
H
想一想
a
D
O
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
在等腰三角形中，
注意
⑤0°＜底角＜90°
例1 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 ， 过屋顶A的立柱AD BC ，屋椽AB=AC．求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∴∠B=∠C= (180°－∠A) =40°（三角形内角和定理）．
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
∴∠BAD=∠CAD=50°．
A
B
D
C
例2 如图，在△ABC中，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
A
D
C
B
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD=2x，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C =x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
在△ABC中，∠A==36°，∠ABC=∠C=72°．
等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三个内角分别为_________________．
解：设小角为x，则大角为2x．
当x为底角时，x +x+ 2x=180°，
解得 x=45°，则2x=90°．
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180°，
解得x =36° ，则2x=72°．
∴其内角的度数为45°，45°，90°，或36°，72°，72°．
练一练
A
B
O
SOS!SOS!
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A= ∠B．如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事 地点（不考虑风浪因素）？
想一想
知识要点
△ ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
推理形式如下：
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
A
B
C
例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC，（如图），求证：AB=AC．
证明：
∵AD//BC，
∴∠1=∠B，
∴∠2=∠C．
又已知∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
B
C
A
E
D
）1
）2
A
B
C
N
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=84°－42°=42°，
∴BA=BC（等角对等边），
∵AB=20（15－13）=40，
∴BC=BA=40（海里）．
下午13时，一条船从海岛A出发，以20海里的速度向正北航行，15时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，求从海岛B到灯塔C的距离．
练一练
例4 如图，标杆AB高5 m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B 距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4 m，绳子CD和CE要多长？
D B E
C
A
解：因为AB是线段DE的垂直平分线，所以CD与CE相等．
选取比例尺1：100，此时1 cm代表了1m．作已知底边上的高CB=2.5 m，底边DE长为4 m的是等腰三角形CDE．
（1）作线段DE=4cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
（3）在MN上截取BC=2.5cm；
（4）连接CD、CE；
（5）测量CD的长，根据比例尺计算出绳长．
B
A
C
如图，等边△ABC，在平面内找一点P，使得△PAB、△PBC 、△PAC都是等腰三角形．
想一想
满足条件的点都在对称轴上，共10个点．
如图，正方形ABCD，在平面内找一点P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、 △PAD都是等腰三角形．
B
A
C
D
满足条件的点都在对称轴上，共9个点．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
二、性质
1．等边对等角．
2．等角对等边．
3． “三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
课堂小结
一、定义
1．（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其
余两个角为____和____．
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为____．
50°
80°
50°
（3）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余两个角为________________________．
80°和20°
（4）如果等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角为_________．
40°和40°
或50°和50 °
随堂练习
2．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DF=EF，则
∠DEF等于（ ）
A．90° B．75°
C．70° D．60°
A
B
C
D
E
F
D
3．（黄冈中考题）在△ABC中， AB=AC，AB的
中垂线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，
则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°
或 20°
4．已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，
∠1=45°，则∠BCD的度数_______ ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
1
22.5°
5 ．已知AD = DC=CB，∠A= 25°，则∠DCB
的度数为________．
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
80°
6 ．如图，已知△ABC中，AB=AC，F在AC上，
在BA的延长线上截取AE=AF，
求证：ED⊥BC
A
B
C
D
E
F
提示：证明∠EDB=∠EDC．
证明：∵ BA=BC，
∴∠BCA=∠A=60°
（等边对等角）．
∵ CE=CD，
∴∠E=∠CDE=30° （三角形外角性质）．
∵ BD是AC边的中线，
∴∠DBC=30°（等腰三角形的性质）．
∴DE=DB（等角对等边）．
7．如图，△ABC中，BC=BA，∠A=60°，BD
是AC边的中线，延长BC到E，使CE=CD，
求证：DE=DB．
A
B
C
D
E
证明：
∵ DE//BC，
∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC．
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBO=∠DOB=∠OBC，∠ECO=∠EOC=∠OCB．
∴BD=DO，CE=OE （等角对等边），
∴BD+EC=DO+OE=DE．
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线
交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC
于点D、E，求证：BD+EC=DE．
B
C
A
E
O
D