12.1.1总体、个体和总体均值_课件1-湘教版数学必修5（26张PPT）

【课标要求】
1．会求样本的均值、标准差、方差．
2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．
3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
总体和个体
自学导引
1．有关概念
(1)在统计学中，我们把所要调查对象的全体叫作 ，把总体中的每个成员叫作 ．
(2)总体平均是 ，也称为总体均值(mean)．
在统计学中，常用μ(音miu)表示总体均值．当总体含有N个个体，第i个个体是yi时，总体均值μ＝ .
总体
个体
总体的平均值
(3)从总体中抽取一部分个体，称这些个体为 ．样本也叫作观测数据．称构成样本的个体数目为 ，简称为 ，样本均值是 ，用 表示．
样本
样本容量
样本量
样本的平均值
2．方差
(1)总体方差
当y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值时，称σ2＝ 是总体的平均平方误差，简称为总体方差或方差(variance)．
(2)样本方差
给定n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值．称s2＝ 为这n个数据的样本方差，也简称为方差．
3．标准差
标准差(standard deviation)是方差的算术平方根；如果s2是样本方差，就称s＝ 是样本标准差；
如果σ2是总体方差，就称σ＝ 是总体标准差．
自主探究
1．怎样正确理解标准差与方差？
答案　①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
2．平均数与标准差在估计总体时有何差异？
答案　平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们对总体作出片面的判断，样本中的极端值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以反映样本数据的实际状态．
当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．
预习测评
1．下列说法正确的是(　　)．
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
答案　B
2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．85 B．86 C．87 D．88
解析　计算得平均数为87.
答案　C
答案　C
4．已知一个样本数据是1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________．
典例剖析
题型一　平均值的应用
【例1】 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
(1)求该公司职工月工资的平均值．
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工月工资新的平均值又是什么？
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
方法点评　深刻理解和把握平均数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
用平均数评估这两个班的成绩？
解　甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班．
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲班
1
6
12
11
15
5
乙班
3
5
15
3
13
11
题型二　方差、标准差的应用
【例2】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25　41　40　37　22　14　19　 39　21　42
乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
方法点评　在实际问题中，仅靠期望值(即平均数)不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：标准差大说明取值分散性大；标准差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
2．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：
甲：10.2　10.1　10.9　8.9　9.9　10.3　9.7　10　9.9　10.1
乙：10.3　10.4　9.6　9.9　10.1　10　9.8　9.7　10.2　10
分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．
误区警示　因对增长率理解不透致误
【例3】 小明家去年的饮食支出3 600元，教育支出1 200元，其他支出7 200元，小明家今年的这三项支出依次比去年增长了9%,30%,6%，小明家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
错因分析　由于小明家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，所以饮食、教育和其他三项支出的增长率地位不同，它们对总支出增长率的影响也不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3 600，1 200，7 200分别视为三项支出增长率的“权”，通过计算加权平均数解决．
课堂总结
　统计的一个特征是通过部分的数据来推测全体数据的性质．由样本数据可以求出样本数据的平均数、方差、标准差等数字特征．
通过样本数据的统计图表和数字特征，我们能够估计总体的信息，当样本数据变化时，总体的这些信息不会变化.