12.4.2回归直线_课件1(1)-湘教版数学必修5（37张PPT）

【课标要求】
1．理解两个变量的相关关系的概念．
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．
3．会求回归直线方程．
数据的相关性
自学导引
1．变量之间的相关关系
如果两个变量中一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定 ，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．如果散点图中点的分布是从左下角到右上角的区域，那么这两个变量的相关关系称为 相关，如果散点图中点的分布是从左上角到右下角的区域，那么这两个变量的相关关系称为 相关．
随机性
正
负
2．线性相关
(1)回归直线
如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
一条直线
(2)回归方程与最小二乘法
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用Q(a，b)＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2表示点到直线y＝bx＋a的“整体距离”，当Q(a，b)最小时，a，b的值可由下列公式给出：
b＝ ，a＝ .
这样，回归方程的斜率为b，截距为a，回归方程为 .
通过上述求Q(a，b)最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的 的方法叫做最小二乘法．
y＝bx＋a
平方和最小
自主探究
1．回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据之间的关系，你能说说回归直线和散点图中各点之间的关系吗？
2．怎样画出散点图和回归直线？
答案　(1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致．
(2)将n个数据点(xi，yi)(n＝1,2,3，…，n)描在平面直角坐标系中．
(3)描的点可以是实心点，也可以是空心点．
(4)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域．实际画线时，先观察有哪两个点在直线上即可．
(5)具体作回归直线时，用一把透明的直尺边缘在这些点间移动，使它尽量靠近或通过大多数点，然后画出直线．
预习测评
1．下列变量之间的关系不是相关关系的是(　　)．
A．球的体积与半径的关系
B．人体的脂肪含量与年龄之间的关系
C．人的身高与体重之间的关系
D．降雨量与农作物产量之间的关系
解析　相关关系是不确定关系，而函数关系是确定关系．
答案　A
2．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
答案　C
3．已知x与y 之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点(　　)．
A．(1,2) B．(1.5,0)
C．(2,2) D．(1.5,4)
答案　D
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
4．设有一个回归方程y＝2－5.5x，当变量x减少一个单位时，y平均________单位．
答案　增加5.5个
要点阐释
回归直线方程问题
(1)回归直线方程的思想方法
①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系， 这条直线叫回归直线．
②显见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系，但让人感觉可靠性不强．实际上，我们希望找到一条直线，“从整体上看各点与此直线的距离和最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系，记此直线方程为：y＝a＋bx
上式叫做y对x的回归直线方程．a，b叫做回归系数．要确定回归直线方程，只要确定回归系数a，b.
(2)回归直线方程求解的方法步骤
根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．
(3)利用回归直线对总体进行估计
利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y0＝bx0＋a.
特别提示：进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关关系，再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义．
典例剖析
题型一　相关关系
【例1】 下列关系中，带有随机性相关关系的是________．
①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
解　①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②④.
答案　②④
方法点评　相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性．在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，如我们常接触的一次函数、二次函数等都是函数关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，可能有两个值与之对应，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，如某学生的数学成绩与物理成绩．确定相关关系时有时要依靠生活经验大致确定．
1．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
(1)画出数据对应的散点图；
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
房屋面积x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
19.4
29.2
22
解　(1)数据对应的散点图如图所示：
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
题型二　求回归方程
【例2】 每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y(单位：kg/cm2)之间的关系有如下数据：
求两变量间的回归直线的方程．
x
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
y
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
解　列表如下
方法点评　求回归直线方程时应注意的问题：
(1)求回归方程首先应画出散点图，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义．
(2)利用回归方程的步骤求回归方程的方法实质是一种待定系数法．
(3)计算a、b的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误，同时，计算时尽量使用计算机或科学计算器．
2．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：
如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线的方程．
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
134
205
285
360
解　由散点图可知y与x线性相关，设回归直线方程为y＝bx＋a列表：
题型三　利用回归直线方程对总体进行估计
【例3】 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归直线方程；
(3)预测当钢水含碳量为1.6%时，应冶炼多少分钟？
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
解　(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图，如图所示：
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．
(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
i
1
2
3
4
5
xi
104
180
190
177
147
yi
100
200
210
185
155
xiyi
10 400
36 000
39 900
32 745
22 785
i
6
7
8
9
10
xi
134
150
191
204
121
yi
135
170
205
235
125
xiyi
18 090
25 500
39 155
47 940
15 125
方法点评　回归直线可以模拟两个变量之间的相关关系．我们可以利用回归直线方程进行运算，如求函数值、研究增减性等，通过这些运算结果进行合理的预测．这也正是回归分析的意义所在．
3．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a，b；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
解　(1)列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
4
9
16
25
36
(2)回归直线方程是y＝1.23x＋0.08.
当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
误区警示　由于散点图错误而导致后面步骤错误
【例4】 下表是某地的年降雨量与年平均气温，两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？
[错解]　借助散点图可知两者是相关关系，故求回归直线方程有意义．
错因分析　利用散点图判断相关性时，要将点的坐标尽量画准确．
年平均气温(℃)
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
年降雨量(mm)
748
542
507
813
574
701
432
[正解]　以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图所示：
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式求得回归直线方程也是没有意义的．
课堂总结
1．变量相关关系又分为两种：(1)正相关：两个变量具有相同的变化趋势，一个变量增大时，另一个变量也有增大的趋势；一个变量减小时，另一个变量也有减小的趋势．(2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势，一个变量增大时，另一个变量有减小的趋势；一个变量减小时，另一个变量有增大的趋势．