12.4相关性_课件1-湘教版数学必修5（39张PPT）

数据的相关性
相关性
回归直线
回
归
直
线
课堂互动讲练
课前自主学案
学习目标
1.理解两个变量的相关关系的概念；
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系；
3．会求回归直线方程．
课前自主学案
1．用样本估计总体主要有：用样本的_____________估计总体的频率分布；用样本的_____________估计总体的数字特征．
2．样本的数字特征主要有_________、________、__________、________及____________。
3．在现实生活中两个变量之间的函数关系是一种_______的关系．
温故夯基
频率分布
数字特征
平均数
众数
中位数
方差
标准差
确定
1．相关关系
与函数关系不同，相关关系是一种_________性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关
①正相关：散点图中的点散布在从________到___________的区域．
非确定
左下角
右上角
知新益能
②负相关：散点图中的点散布在从__________到__________的区域．
3．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在____________附近，就称这两个变量之间具有______________关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：_____________对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归直线方程y＝bx＋a，其中
左上角
右下角
一条直线
线性相关
回归直线
b是回归方程的斜率，a是截距．
4．最小二乘估计
我们可以求Q(a，b)＝_________________的最小值，如果常数a，b使Q(a，b)达到最小，就称直线l：y＝bx＋a为{xi}与{yi}的回归直线，回归直线中的a、b分别是固有值a0、b0的最小二乘估计．
1．相关关系与函数关系有什么不同？
提示：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关系吗？
问题探究
3．“回归直线”方程能否按解析几何中求直线方程的方法来求？
提示：不能．求回归直线方程的方法是用最小二乘估计．因为所有数据点都分布在一条直线附近时，这样的直线可画出许多条，而“回归直线”是这些直线中“最贴近”已知数据的，但并不一定过数据中的某个点，故一般不按解析几何中求直线方程的方法来求．
课堂互动讲练
相关关系的判断
考点突破
在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．由于变量间的相关关系带有不确定性，这就需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，从而作出科学的判断．
以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
例1
房屋面积x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
19.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
【思路点拨】　先建立直角坐标系，画出散点图，再判断相关关系．
【解】　(1)数据对应的散点图如图所示．
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
【名师点评】　两个随机变量x和y相关关系的确定方法：
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
变式训练1　某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：(单位：千克)
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
施化肥量x和水稻产量y是否具有相关关系？
解：作出散点图进行分析．散点图如下：
从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的确存在一定相关关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加．
求回归直线方程
据最小二乘估计思想的公式，用待定系数法求出a，b，从而确定回归直线方程．
5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
例2
学生
学科　
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．
【解】　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．
列表，计算
i
1
2
3
4
5
xi
80
75
70
65
60
yi
70
66
68
64
62
x i y i
5600
4950
4760
4160
3720
6400
5625
4900
4225
3600
变式训练2　随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查10个家庭，得数据如下表：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi(收入)/千元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi(支出)/千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关；
(2)若二者线性相关，求回归直线方程．
解：(1)作出散点图：
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者有线性相关关系
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
某5名学生总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：
利用回归方程对总体进行估计
例3
学生
A
B
C
D
E
总成绩(x)
482
383
421
364
362
数学成绩(y)
78
65
71
64
61
　(1)作出散点图；
(2)求数学成绩y对总成绩x的回归方程；
(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．
【思路点拨】　进行线性回归分析的关键是求出线性回归直线方程．由于求回归系数a、b的运算量很大，故可用列表法并借助计算器求解．
【解】　(1)散点图如图所示：
(2)列表：
i
1
2
3
4
5
xi
482
383
421
364
362
yi
78
65
71
64
61
x i y i
37596
24895
29891
23296
22082
【名师点评】　(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性；
(2)求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时要仔细，避免计算失误．
变式训练3　一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产缺损零件数y(件)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？
解：(1)根据表中的数据画出散点图如图：
(2)设回归直线方程为：y＝bx＋a，并列表如下：
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
xiyi
176
126
96
40
1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．
方法感悟
2．知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.
3．利用回归方程估计总体，只是反映了x与y的一种近似的相关关系，即y值并不一定是真实值．