四川省凉山州2020-2021学年高一下学期期末检测数学（理）试卷 (Word解析版)

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
四川省凉山州2020-2021学年高一下学期理数期末检测试卷
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平行四边形ABCD中，
（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.在数列
中，
，
，则
（???
）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
3.在
中，
是A，B，C所对的边，且
，
，
，则角
（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?
或
?????????????????????????????D.?
4.已知向量
，
，则
在
方向上的投影为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.若
，则下列不等式正确的是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
6.若
为等比数列，且
，则
（???
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?64?????????????????????????????????????????D.?256
7.在
中，角A，B，C满足
，则角C=（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（???
）
A.?3??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
9.若锐角
的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
10.数列
的
，
，
，且
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????B.?2020?????????????????????????????????????C.?2021?????????????????????????????????????D.?2022
11.在
中，
，
，
，则
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
12.三棱锥
中，二面角
大小为
，且
，
，
.若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（???
）
A.?4π????????????????????????????????????????B.?5π????????????????????????????????????????C.?6π????????????????????????????????????????D.?8π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
是等比数列，若
，
，则数列
的前n项和
________.
14.已知
，
满足约束条件
，则
的最大值为________.
15.若
，则
的最小值为________.
16.在
中，角A，B，C所对的边分别为
，
，
，
为
的外接圆，
，给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若P在
上，则
；
③若P在
上，则
的最大值为2；
④若
，则点P的轨迹所对应图形的面积为
.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.设
，
是两个相互垂直的单位向量，且
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
18.关于x的不等式：
.
（1）当
时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求
的取值范围.
19.等比数列
的各项均为正数，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
前几项和.
20.设锐角
的内角
的对边分别为
，
.
（1）求
；
（2）若
，
，求c的值.
21.如图，四棱锥
中，
是正方形，
平面
，E，F分别
，BC的中点.
（1）证明：
平面PCD；
（2）已知
，G为棱CD上的点，
，求三棱锥
的体积.
22.数列
是首项为1，公差不为0的等差数列，且
成等比数列，数列
满足：
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：
.
答案解析
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平行四边形ABCD中，
（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】根据向量的加法、减法运算求解即可.
2.在数列
中，
，
，则
（???
）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】
B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由a1=1，
得
a2=2a1-1=2×1-1=1
a3=2a2-1=2×1-1=1
a4=2a3-1=2×1-1=1
a5=2a4-1=2×1-1=1
a6=2a5-1=2×1-1=1
a7=2a6-1=2×1-1=1
a8=2a7-1=2×1-1=1
故答案为：B
【分析】根据数列的递推公式求解即可.
3.在
中，
是A，B，C所对的边，且
，
，
，则角
（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?
或
?????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理
，
得
又∵A∈(0,π)，a∴A∴A=30°
故答案为：A
【分析】根据正弦定理求解即可.
4.已知向量
，
，则
在
方向上的投影为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】向量的物理背景与概念
【解析】【解答】解：∵
??
，
??
，
∴
?在??方向上的投影为
故答案为：B
【分析】根据向量的投影求解即可.
5.若
，则下列不等式正确的是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】不等关系与不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，取a=-2,b=-1，有
，
故A错误；
对于B，取a=-2,b=-1，有ab，
故B错误；
对于C，取a=-2,b=-1，有|a|>|b|，故C错误；
对于D，∵
?
∴
∴
当且仅当
，
即a=b时取等号，而a故
故D正确.
故答案为：D
【分析】利用反例可判断ABC，根据基本不等式可判断D.
6.若
为等比数列，且
，则
（???
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?64?????????????????????????????????????????D.?256
【答案】
B
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵
?为等比数列，且??
，
∴2a3a6=4
∴a3a6=2
∴
(a3a6)4=24=16
故答案为：B
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
7.在
中，角A，B，C满足
，则角C=（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，及
得a:b:c=2:3:
则可设a=2t，b=3t，c=t
则由余弦定理得
又∵C∈(0,π)?
∴
故答案为：C
【分析】根据正弦定理，余弦定理求解即可.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（???
）
A.?3??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得，根据三视图还原得该几何体，如图所示，
在该直棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=1，
则
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法，结合棱锥的表面积求解即可.
9.若锐角
的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】一元二次不等式的解法，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：①当2是△ABC的最大边时，有2≥a，设2所对的角为α，
则
，
解得
，
则；
②当a是△ABC的最大边时，有a>2，设a所对的角为β，
则
，
解得
，
综上得
故答案为：B
【分析】根据余弦定理，运用分类讨论思想，结合一元二次不等式的解法求解即可.
10.数列
的
，
，
，且
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????B.?2020?????????????????????????????????????C.?2021?????????????????????????????????????D.?2022
【答案】
C
【考点】数列的概念及简单表示法，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵
?
，
??
，
且??
，
∴nan+1-(n+1)an=0
则
则
整理，得an=a1×n
则an=n
∴a2021=2021
故答案为：C
【分析】根据向量垂直的坐标表示，运用累积法，结合数列的通项公式求解即可.
11.在
中，
，
，
，则
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵
?
，
??
，
??
，
∴
?
故答案为：C
【分析】根据向量的线性运算，结合向量的数量积求解即可.
12.三棱锥
中，二面角
大小为
，且
，
，
.若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（???
）
A.?4π????????????????????????????????????????B.?5π????????????????????????????????????????C.?6π????????????????????????????????????????D.?8π
【答案】
D
【考点】球的体积和表面积，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵
?
∴PA⊥AB，PA⊥AC，且
∴PA⊥平面ABC，
则∠BAC为二面角??大小
的平面角
则∠BAC=120°
设三棱锥P-ABC外接球球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1
连接OO1,O1C,OC
则OO1⊥平面ABC
又∵AB=AC=1
∴∠ABC=∠ACB=30°
则由正弦定理得
则r=1，即O1C=1
又
则
则该球的表面积为S=4πR2=8π
故答案为：D
【分析】根据二面角的定义，结合正弦定理，以及球的表面积公式求解即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
是等比数列，若
，
，则数列
的前n项和
________.
【答案】
【考点】等比数列，等比数列的前n项和，等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得该等比数列的公比
，
则其前n项和
故答案为：
【分析】根据等比数列的性质，结合前n项和公式求解即可.
14.已知
，
满足约束条件
，则
的最大值为________.
【答案】
1
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：作出约束条件所表示的可行域，如图所示，
由z=2x-y得y=2x-z
要求z=2x-y的最大值，即求-z的最小值，
即y=2x-z的纵截距最小，
显然当y=2x-z过直线x-y=0与直线x+y-2=0的交点（1,1）时，纵截距最小，
此时zmax=2×1-1=1
故答案为：1
【分析】根据线性规划的意义求解即可.
15.若
，则
的最小值为________.
【答案】
7
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵x>1
∴x-1>0
则
当且仅当
，
即x=4时，等号成立
故最小值为7
故答案为：7
【分析】根据基本不等式求解即可.
16.在
中，角A，B，C所对的边分别为
，
，
，
为
的外接圆，
，给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若P在
上，则
；
③若P在
上，则
的最大值为2；
④若
，则点P的轨迹所对应图形的面积为
.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】
①②④
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量的模，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：∵
?
，
??
，
??为??的外接圆，
∴
，
∴R=2
∠BOC=2∠A=60°，OB=OC=2
①若m=n=1，?
，
则
则
则??
，
故①正确；
②由?得?若P在??上，则OP=2
则
则
故②正确；
③由②知
，
∴
∴
∴
∴,
当且仅当m=n时，等号成立，故m+n的最大值为
故③错误；
④
若??
，
则点P的轨迹：
⑴当m=0,n∈[0,1]时，
，
此时点P在线段OC上；
⑵当n=0,m∈[0,1]时，
，
此时点P在线段OB上；
⑶当m=1,n∈[0,1]时，
，
构造平行四边形OBCD，此时点P在与OC平行的线段BD上；
⑷当n=1,m∈[0,1]时，
，
构造平行四边形OBCD，同理，此时点P在与OB平行的线段CD上；
⑸当m∈(0,1),n∈(0,1)时，
，
此时点P在菱形OBCD内部，
综上，P点的轨迹为菱形OBCD组成的图形区域，
则S菱形OBCD=2S△OBC=
故④正确
故答案为：①②④
【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断①；根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系可判断②；根据②，结合基本不等式可判断③，根据向量的线性运算，结合点的轨迹及三角形的面积公式可判断④
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.设
，
是两个相互垂直的单位向量，且
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
【答案】
（1）若
，且
，则存在唯一实数
，使
，
即??
∵
不共线
∴
，
∴
（2）若
，则
，
即???
即为?
∵
是两个相互垂直的单位向量，
∴
.
【考点】平行向量与共线向量，向量的共线定理，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量平行的充要条件，结合平面向量的基本定理，以及相等向量的概念求解即可；
（2）根据向量垂直的充要条件求解即可.
?
18.关于x的不等式：
.
（1）当
时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求
的取值范围.
【答案】
（1）当
时，原不等式化为
，
∵方程
的实数根为
，
∴原不等式的解集为
或
．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴
，
即
，
∵方程
的实数根为
和
，
∴
所以
的取值范围为
.
【考点】一元二次不等式的解法，一元二次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，结合不等式恒成立问题求解即可.
?
19.等比数列
的各项均为正数，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
前几项和.
【答案】
（1）设等比数列
的公比为
，则
，
由题意得
，解得
，
因此，
；
（2）
，
则
，
所以，数列
是等差数列，首项
，
记数列
前
项和为
，
则
.
【考点】等差数列，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，运用方程思想求解即可；
（2）根据等差数列的定义，结合等差数列的前n项和公式求解即可.
20.设锐角
的内角
的对边分别为
，
.
（1）求
；
（2）若
，
，求c的值.
【答案】
（1）∵
∴由正弦定理
，即
代入上式
得
，即
，
又
，所以
.
（2）由
，得
，
又
，所以
，
故
又
，则由正弦定理：
，得
.
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）利用三角形内角和的性质，结合两角和的正弦公式，根据正弦定理求解即可.
?
21.如图，四棱锥
中，
是正方形，
平面
，E，F分别
，BC的中点.
（1）证明：
平面PCD；
（2）已知
，G为棱CD上的点，
，求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：如图，取
中点
，连接
，
，
由
，
分别为
，
的中点，
知
，
，
又
为
的中点，故
，
，
即
，且
，所以
是平行四边形，
即
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）解：如图，连接
.
∵
平面
，
平面
，
∴
，又
，
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
∴
即
?
∴
即
，
又
，∴
，
又
，则
，且
∴三棱锥
的体积
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质，以及平行四边形的性质，根据直线与平面平行的判定定理即可求证；
（2）根据直线与平面垂直的性质定理与判定定理，结合相似三角形的性质，根据棱锥的体积公式求解即可.
22.数列
是首项为1，公差不为0的等差数列，且
成等比数列，数列
满足：
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：
.
【答案】
（1）解：设公差为
，因为数列
是首项为1，
公差不为
的等差数列，且
成等比数列，
所以
即
，
解得
或
(舍)，
所以
，
故数列
的通项公式为
.
（2）明：数列
满足
，由（1）得
，
∵
，故
且
，
则
，
故
即
，
当
时，左式
，右式
，结论成立；
，即结论也成立.
综上，
成立．
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式求解即可；
（2）根据递推公式，结合数学归纳法求证即可.