如何求异面直线所成的角1

如何求异面直线所成的角
立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作证求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角
一、端点平移法
例1、在直三棱柱中，,点,分别是,的中点，若,求与所成的角的余弦值。
解：取的中点，连结，，
且
四边形为平行四边形
（或它的补角）为与所成的角。
设,则，，
故
二、中点平移法
例2、在正四面体中, ,分别是,的中点，求与所成的角的余弦值。
解：连结，取的中点，连结，
、分别、为的中点，
为的中位线，
，
（或它的补角）为与所成的角。
设正四面体的棱长为2，则有，,,
故
三、特殊点平移法
例3、如图，在空间四边形中，点、分别是、上的点，已知，，，，求异面直线与所成的角。
解：在上取一点，使得，连结，
在中，，故，
同理可证：
（或它的补角）为与所成的角。
，
,故；
同理可得：
，且，故;
在中，利用余弦定理可得
,
故.
因为，，所以与所成的锐角等于与所成的角，
于是与所成的角等于.
点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）.
四、交线平移法
例4、正三棱柱的各棱长都相等, 求与所成的角的余弦值。
解：取的中点，的中点，的中点,
、分别、为的中点，
为的中位线，
，
同理可证：
（或它的补角）为与所成的角。
设正三棱柱的棱长为2，
则有，
所以与所成的角为.
点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线总是跑到图形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习中)
Ⅱ、用补形法作两条异面直线所成的角
例5、如图所示,正方体中,求 与所成角的大小.
（法一）补形法
解：如图，在正方体的上方补上一个
同样大小的的正方体，连结.
且
四边形为平行四边形
（或它的补角）为与所成的角。
设正方体的棱长为2,则有，，
又因为
故与所成角为.
解：（法二）平移法
连结，取的中点，的中点，
的中点, 连结，，
、分别、为的中点，
为的中位线，
，
同理可证：
（或它的补角）为与所成的角。
连结，
设正方体的棱长为2,则有，，
又因为
故与所成角为.
点评：补形法就是在长方体或者正方体中,当我们在其中的任意一条直线所对应线段的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.
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