过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面的个数
文档属性
| 名称 | 过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面的个数 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 352.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-05-25 12:29:55 | ||
图片预览
文档简介
过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面的个数
三条重合：无数个
有两条重合：一个
三条不重合：
1.同一平面：一个
2.不再同一平面：三个
3条直线交于1点,最多能确定 个平面;3条直线交于2点，最多能确定 个平面，3条直线交于3点，
3条直线交于1点,最多能确定 3个平面;
3条直线交于2点，最多能确定 2个平面，
3条直线交于3点，最多能确定 1 个平面
一、内容提要
本卷检测关于直线与平面的公理，判断直线与直线、平面与平面直线与平面的平行，垂直关系的定理以及应用性质定理（特别是三垂线定理及其逆定理）的准确性，深刻性、灵活性。正确地进行空间角、距离、图形面积的计算。实现已知元素。向未知元素的有效转化的能力。恰切地折迭与展平以透视对几何体的空间想象能力。严格地进行演绎推理，并理解反证法的思路及证题方法。系统掌握各种命题中的文字语言、符号语言、图形语言的运用与沟通。
二、例题分析
[例1]下列命题：（1）空间不同3点确定一个平面；（2）有3个公共点的两个平面必重合；（3）空间两两相交的三条直线确定一个平面；（4）三角形是平面图形；（5）平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；（6）垂直同一直线的两直线平行；（7）一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；（8）两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是____________。
解析：
由公理3知，不共线的3点才能确定一个平面，所以知命题（1）、
（2）均错，（2）中有可能出现两平面只有一条公共线（当这3个
公共点共线时）。（3）空间两两相交的3条直线有3个交点或一个
交点，若为3个交点，则这3线共面，若只有一个交点，则可能确定
一个平面或3个平面，（5）中平行四边形及梯形由公理3的推论及
公理1可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图1，在正方体ABCD—A B C D 中，直线
BB ⊥AB，BB ⊥CD，但AB与CD不平行，所以（6）错，AB∥CD，BB ∩AB=B，但BB 与CD不相交，所
以（7）错；四边形AD B C中，AD =D B =B C=CA= ，但它不是平行四边形，所以（8）也错。
[例2]如图2，已知直线a∥b∥c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面。
解析：
与共点线问题类似，证明线共面常见方法亦为：先由
部分直线确定平面，再证其他直线都在这个面内；
另一种方法为统一法，先由部分直线确定平面，再
由其他直线确定平面，再证这些平面重合。
证明：因为a∩d=A,所以a与d确定一平面a，则d a，因为B∈d，所以B∈a，在a内过B点作直线b
∥a,而b∥a,所以b∥b ,又因为b与b 有一个公共点B，故b与b 重合，所以b a，同理可证c a,所以a、b、c、d四线共面。
[例3]已知a和b是两条异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使得α∥β。
解析：
这也是种存在性的题目，它的解法通常是先作出这对
平面，再证这对平面满足要求，就是所要的平面。
证明：在直线a上任取一点P，过P作b ∥b,在直线b上任
取一点Q，过Q作a ∥a,设a、b 确定一个平面α,a 、b
确定平面β，因为a ∥a,aa,所以a ∥α，同理b∥α,
又a 、bβ,所以α∥β,所以过a和b分别存在两个平面
α和β，使α∥β。
三、检测题
（一）选择题
1．设a、b是异面直线，那么（ ）
A.必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、b
B.必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、b
C.过直线a存在唯一平面平行于直线b
D.过直线a存在唯一平面垂直于直线b
2．已知直线l⊥平面α，直线m β,有四个命题：
①α∥βl⊥m ②l∥mα⊥β ③α⊥βl∥m ④l⊥mα∥β
A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在△ABC所在平面外，PC=17，P到AC、BC的距离PE=PF=13，则P到平面ABC的距离为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4．与空间不共面的四点距离相等的平面有（ ）
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
5．m、n是互不垂直的异面直线，平面α、β分别过m、n，则下列关系中不可能是（ ）
A.m∥β B.α∥β C.m⊥β D.α⊥β
6．二面角α－l－β的平面角为120°，A、B∈l，AC α，BD β，AC⊥l，BD⊥l,若AB=AC=BD=1，则CD的长为（ ）
A. B. C.2 D.
7．二面角α-AB-β的平面角为θ1，射线AC α，且∠CAB=θ2，AC与平面β所成角为θ，则为θ1、
θ2、θ之间一定满足关系式（ ）
A.Sin2θ1+sin2θ2=sin2θ
B.cos2θ1+cos2θ2=cos2θ
C.sinθ1·sinθ2=sinθ
D.cosθ1·cosθ2=cosθ
8．过点A与平面α成定角θ（0<θ≤90°）的直线有（ ）
A.一条
B.二条
C.无数
D.一条或无数条
9．在直角坐标系中，已知A（3，2）、B（-3，-2），沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A
-oy-B后，∠AOB=90°，则cosα的值是（ ）
A. B.- C. D.-
10．平面M与平面N相交成锐角θ，M上一个圆在N上的射影是离心率为 的椭圆，则角θ等于（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
11．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是AC为A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是（ ）
A.90° B.60° C.30° D.0°
12．若a与b是异面直线，则下列判断正确的是（ ）
A.与a、b都垂直的直线只有一条
B.一定存在过a且与b垂直的平面
C.过a、b外任一点，可作一个平面与a、b都平行
D.分别过a、b可作两个平面互相垂直
（二）填空题：
13.AB是异面直线a、b的公垂线，A∈a,B∈b,M∈a,N∈b,若AB=4cm，AM=3cm,BN=4cm,MN= cm，则a与b所成的角为 .
14.DP垂直于正六边形ABCDEF于D，若正六边形边长为a，PD=a,则P到BC的距离为 .
15.在棱长均为a的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各表面四边形的锐角均为60°，则二面角A1-AD-C的余弦值为 .
16.二面角α-l-β内有一点A到α、β的距离分别为2cm、5cm，二面角α-l-β的大小为60°，M∈α，N∈β，则△AMN的周长的最小值为 .
(三)解答题:
17.异面直线a、b，a⊥平面α，b⊥平面β，α∩β=l a、b的公垂线段为AB.且AB与l不重合，求证：AB∥l
18.平面α与β相交于直线l，直线AB、CD分别在α、β内，且分别与l交于A、C两点，∠BAC＝∠ACD，问直线AB与CD的位置关系怎样？证明你的结论.
19.如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，其中侧面ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，底面BCD是BC为斜边，且∠DCB＝60°的直角三角形.
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求两直线AC、BD所成角的大小.
20.在底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠C＝ ，AA1=AC,D是CC1的中点.
（1）求证：平面AB1D⊥平面AB1B;
（2）求二面角B-B1D-A的大小.
21.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝a，CD=3a ,将△BAD沿BD折起，使之与平面BCD成
60°的二面角，求此时A、C两点之间的距离.
22.如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）求证：PB⊥平面AMN
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tgθ表示△AMN的面积，当tgθ取何
值时，△AMN的面积最大，最大面积是多少？
答案
1、C
2、A
3、A
4、D
5、C
6、C
7、C
8、D
9、C
10、A
11、D
12、D
13、60°
14、 a
15、
16、2 cm
17、分析：本题涉及直线与平面，直线与直线垂直的条件较多，应充分运用这些条件，构造辅助平面r，使AB、l都垂直于r即可。
证明：过点B作a' ∥a,即a' ∩b=B, a'与b确定平面r.
∵AB为a、b的公垂线，∴AB⊥平面r ∵α∩β=l a⊥α， b⊥β
∴a⊥l, b⊥l b' ⊥l ∴l⊥平面r 已证AB⊥l ∴AB∥l
18、分析：两直线的位置关系有三种，根据公理，可推翻AB、CD共面的结论。此类问题宜用反证法。
直线AB与CD异面（反证法）证明：假设直线AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ.则不共线的三点A、
B、C在γ内.又AB α，α∩β=AC，从而AC α，∴A、B、C在α内.由公理3知α、γ重合. 同理β与γ重合，从而α与β重合.
这与已知α与β相交于直线l矛盾. 故直线AB与直线CD异面.
19、分析：本题应利用面ABD⊥面BCD，分析其性质，再结合其它条件，推导出所需要的充分条件，求异面直线所成的角用平移法，并要加以计算.
证明：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD 平面BCD，CD⊥BD，
∴由面面垂直的性质定理得CD⊥平面ABD，而ABC 平面ABD， ∴CD⊥AB.
又由已知△ABD为等腰直角三角形且AB⊥AD ∴AB⊥平面ACD，而AB 平面ABC.
∴由面面垂直的判定定理得平面ABC⊥平面ACD.
解：（2）如图，以BD、CD为邻边作矩形BDCE，连结AE.
∵在矩形BDCE中CD∥BE， 由（1）CD⊥平面ABC
∴BE⊥平面ABC， ∴BE⊥AB， 于是Rt△ACD≌Rt△ABE.
∵BD∥CE. ∴AC与BD所成的角等于CE与AC所成的角.
∴∠ACE=arccos ∴AC与BD所成角的大小为arccos .
注：如果取AB、AD、BC的中点E、F、G，解三角形EFG也可得结证，但计算相对较繁.
20、分析：证明面面垂直应转化为线面垂直，求二面角的大小在不易作出其平面角的情况下，可用射影面积公式解之.
证明：（1）分别取AB、A1B1的中点E、F.连结EF交AB1于G.则G为EF的中点，
连结C1F、CE、DG.由于该直棱柱底面为等腰直角三角形，∠C=60°.
∴CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB1A1. 又易知C1F⊥平面ABB1A1，
∴CE∥C1F，四边形CEFC1为矩形.又D、G分别为CC1、EF的中点.
∴DG∥CE，DG⊥平面ABB1A1.而DG 平面AB1D ∴面AB1D⊥平面ABB1A1.
（2）连结B1C.由三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱知△AB1D在平面BCC1B1上的
射影为△B1CD.
设二面角B-B1D-A为大小为α, 则由射影面积公式得：
21、分析：对于此种折迭问题应明确折迭前后"变"与"不变"的元素，并进行空间想象、实施推理计算。
折迭后的∣AC∣长应通过余弦定理解之.
解：如图，在平面图形中；连结BD.在DC上取点E，使DE=a，连结AE，
并作CF垂直于AE的延长线于F.作CG⊥DB的延长线于G. 设BD与AE交于点O，则BD= a，
AO=OE= a.
CE=2a=2DE,EF=2OE,oF=2OD ∴OF=CG= a,CF= a,BG= a.
易知AO⊥BD，OF⊥BD ∴∠AOF是二面角A-BD-C的平面角. ∠AOF=60°.
由作法知CF∥BD，又CF⊥OF ∴CF⊥平面AOF.
在AOF中，由余弦定理得AF２＝AO２＋OF２－2AO·OFcos60°= a２
∴A、C之间的距离为 a.
22、分析：证明直线与平面垂直，需要转化为证线线垂直（如（1）（2），证明中要反复运用线面垂直的判定与性质，由线面垂直，推线线垂直，再由线线垂直推线面垂直。
证明：（1）∵PA⊥面ABC
∴PA⊥BC 又∵BC⊥AC PA∩AC＝A
∴BC⊥平面PAC
（2）∵BC⊥面PAC（已证） AN 面PAC ∴BC⊥AN 又AN⊥PC
∴AN⊥平面PBC AN⊥PB 又PB⊥AM ∴PB⊥平面AMN
（3）在Rt△PAB中，PA＝AB＝4 ∴PB＝4 ∵AM⊥PB
∴AM＝2 PM＝BM＝2 易证PB⊥MN 则MN＝PM·tgθ=2 tgθ.
由AN⊥平面PBC AN⊥MN ∴AN＝
当且仅当1－tg2θ=tg2θ, tgθ= 时，S△AMN有最大值2.
一、内容提要
1．序言：
⑴平面图形：由同一个平面内的点、线所构成。
空间图形：有空间的点、线、面所构成。也可看作空间点的集合。可见，平面图形是空间图形的一部分。
⑵立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。
2．平面的性质：
⑴公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
⑵公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
⑶公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、要点内容
1．“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。几何里的平面是无限延展的。这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。它可以联系直线是无限延伸的去理解。当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢？
2．通常把平面画成平行四边形（有时也根据需要画成三角形或其他平面图形）。画相交平面时，一定要画出它们的交线。立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。
3．公理和推论中的“有且只有一个”的含义是：“有”说明图形是存在的；“只有一个”说明图形是唯一的。“有且只有一个”和“确定”是同义词。
4．本节使用了 等符号。它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。如A∈α，读作“点A在直线a上”；α∩β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。
5．公理及其推论的作用。
（1） 公理1的作用：①证明点在平面内； ②证明直线在平面内。
（2） 公理2的作用：①确定两个平面的交线； ②证明三点共线或证明点在直线上； ③确定直线和平面交点的位置。
公理3及其推论的作用：①作辅助平面； ②证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
评注：
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．
分析：
四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．
d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．
∴α、β、γ重合．
∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
MQα即bα.
同理Cα
∴a、b、c、d四线共面．
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
解：连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。
∵M∈直线AD′，AD′平面ABC′D′，
∴M∈平面ABC′D′；
又M∈直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
∴M∈平面A′B′CD。
所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
评注：
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。
第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
解: 选（D）。
这五个点中的任意三点确定一个平面。从A、B、C、D、E五个点中任取三点，按照以下顺序取法，①A、B、C，②A、B、D，③A、B、E，④A、C、D，⑤A、C、E，⑥A、D、E，⑦B、C、D，⑧B、C、E，⑨B、D、E，
⑩C、D、E。
所以确定平面个数为10。
[例2]如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面外一点，平面PAG和平面ABC的交线与BC边交于E。判断点E在BC边上的位置，并说明理由。
解：点E是BC边的中点。
∵平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
∴这两个平面交线为AG。
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。
评注：
（1）不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。
（2）解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。
评注：
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上；或先经过某两点作一直线，再证明其它点也在这条直线上。
第三阶梯
[例2]如图，已知点A是△BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：
FC=2：3，DH：HA=2：3。求证：EF、GH、BD交于一点。
证明：连接EG、EF，
∵E、G分别是BC、AB的中点，∴GE∥AC，
又DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC，∴GE∥HF，
故G、E、F、H四点共面。
又∵EF与GH不平行且共面，
∴EF与GH相交，设交点为O。
∴O 平面ABD，O 平面BCD，
∴O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
∴EF、GH、BD交于一点。
评注：
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。
评注：
证明直线共面通常有两种方法：（1）先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内；
（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。
四、检测题
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）其中命题和叙述方法都正确的是．（ ）.
2．下列推断中，错误的是（ ）
3．一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，
求证：点D1、E、F、B共面．
5．两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点．
答案：
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．
5.分析：要证点P是两平面的公共点．
已知：如图，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．
∵β∩γ＝b，
∴p∈β．
同理，p∈α．
又∵α∩β=a，
∴p∈a
一、内容提要
1．序言：
⑴平面图形：由同一个平面内的点、线所构成。
空间图形：有空间的点、线、面所构成。也可看作空间点的集合。可见，平面图形是空间图形的一部分。
⑵立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。
2．平面的性质：
⑴公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
⑵公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
⑶公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、要点内容
1．“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。几何里的平面是无限延展的。这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。它可以联系直线是无限延伸的去理解。当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢？
2．通常把平面画成平行四边形（有时也根据需要画成三角形或其他平面图形）。画相交平面时，一定要画出它们的交线。立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。
3．公理和推论中的“有且只有一个”的含义是：“有”说明图形是存在的；“只有一个”说明图形是唯一的。“有且只有一个”和“确定”是同义词。
4．本节使用了 等符号。它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。如A∈α，读作“点A在直线a上”；α∩β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。
5．公理及其推论的作用。
（1） 公理1的作用：①证明点在平面内； ②证明直线在平面内。
（2） 公理2的作用：①确定两个平面的交线； ②证明三点共线或证明点在直线上； ③确定直线和平面交点的位置。
公理3及其推论的作用：①作辅助平面； ②证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
评注：
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．
分析：
四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．
d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．
∴α、β、γ重合．
∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
MQα即bα.
同理Cα
∴a、b、c、d四线共面．
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
解：连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。
∵M∈直线AD′，AD′平面ABC′D′，
∴M∈平面ABC′D′；
又M∈直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
∴M∈平面A′B′CD。
所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
评注：
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。
第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
解: 选（D）。
这五个点中的任意三点确定一个平面。从A、B、C、D、E五个点中任取三点，按照以下顺序取法，①A、B、C，②A、B、D，③A、B、E，④A、C、D，⑤A、C、E，⑥A、D、E，⑦B、C、D，⑧B、C、E，⑨B、D、E，
⑩C、D、E。
所以确定平面个数为10。
[例2]如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面外一点，平面PAG和平面ABC的交线与BC边交于E。判断点E在BC边上的位置，并说明理由。
解：点E是BC边的中点。
∵平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
∴这两个平面交线为AG。
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。
评注：
（1）不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。
（2）解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。
评注：
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上；或先经过某两点作一直线，再证明其它点也在这条直线上。
第三阶梯
[例2]如图，已知点A是△BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：
FC=2：3，DH：HA=2：3。求证：EF、GH、BD交于一点。
证明：连接EG、EF，
∵E、G分别是BC、AB的中点，∴GE∥AC，
又DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC，∴GE∥HF，
故G、E、F、H四点共面。
又∵EF与GH不平行且共面，
∴EF与GH相交，设交点为O。
∴O 平面ABD，O 平面BCD，
∴O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
∴EF、GH、BD交于一点。
评注：
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。
评注：
证明直线共面通常有两种方法：（1）先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内；
（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。
四、检测题
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）其中命题和叙述方法都正确的是．（ ）.
2．下列推断中，错误的是（ ）
3．一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，
求证：点D1、E、F、B共面．
5．两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点．
答案：
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．
5.分析：要证点P是两平面的公共点．
已知：如图，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．
∵β∩γ＝b，
∴p∈β．
同理，p∈α．
又∵α∩β=a，
∴p∈a
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 平面的基本性质与推论
2. 空间中的平行关系
二. 教学目的
1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。
2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
三. 教学重点、难点
【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。
【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。
四. 知识分析
（一）平面的基本性质与推论
1. 平面的基本性质
（1）关于公理1
①三种数学语言表述：
文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
图形语言表述：如图1所示
图1
符号语言表述：
②内容剖析：
公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。
③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。
（2）关于公理2
①公理2的三种数学语言表述：
文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
图形语言表述：如图2所示
图2
符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.
②内容剖析：
公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。
公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。
③公理2的作用：
作用一是确定平面；
作用二是可用其证明点、线共面问题。
（3）关于公理3
①公理3的三种数学语言表述：
文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言表述：如图3所示。
图3
符号语言表述：
②公理3的剖析：
公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。
③公理3的作用：
其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
2. 平面的基本性质的推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
请同学们想一想：
三个推论的图形语言如何表示呢？
三个推论的符号语言如何表述呢？
三个推论有何作用呢？
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
已知：直线
求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。
【证明】（1）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。
图4
又（公理1）
平面α是过相交直线a，b的平面。
（2）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 α、β了，这与公理3矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。
综上知，过直线a、b有且只有一个平面。
3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质
（1）点与平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在α内，记作；
（2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面α内，记作 ;直线 m 不在平面α内，记作；
（3）平面α与平面 β相交于直线a，记作 ；
（4）直线 m 和 n 相交于点A，记作。
4. 学习时应注意的几个问题
学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力．在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法—斜二测画法。
要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。
5. 几种常见题型的解法
（1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。
（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。
（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。
（二）平面中的平行关系
1. 平行直线
（1）空间两条直线的位置关系
①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②平行：在同一平面内，没有公共点。
（2）初中几何中的平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
【说明】此结论在空间中仍成立．
（3）公理4（空间平行线的传递性）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。
【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。
2. 等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。
（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。
（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。
3. 空间图形的平移
如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。
注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变。
图形平移有如下性质：
（1）平移前后的两个图形全等；
（2）对应角的大小平移前后不变；
（3）对应两点的距离平移前后不变；
（4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；
（5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。
4. 证明空间两直线平行的方法
（1）利用定义
用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点。
（2）利用公理4
用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b。
5. 直线与平面平行
（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为
（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符号表示为：
（Ⅰ）该定理常表述为：“线线平行，则线面平行。”
（Ⅱ）用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
①直线a不在平面α内，即 。
②直线b在平面α内，即。
③两直线a、b平行，即a // b。
这三个条件缺一不可。
（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行。
符号表示：若 ,则a // b, 即“线面平行，则线线平行”。
【说明】
a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理
b. 定理中有3个条件：
①直线a和平面α平行，即a //α；
②平面α、β相交，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即 。
三者缺一不可。
（4）线面平行定理的应用
应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外相互平行的直线。
应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。
6. 两个平面的位置关系
同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分：
① 如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合；
② 如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；
③ 如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行。
由此可知两个不重合的平面的位置关系：
（1）平行——没有公共点；
（2）相交——至少有一个公共点（或有一条公共直线）。
7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
已知：、，，∥，∥（如图所示）
求证：∥
证明：用反证法
假设
∥，，∥
同理有∥
由公理4知∥，这与相矛盾。
∥
注意：（1）此定理用符号表示为
（2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于。
（3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。”
8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
已知：，平面，（如图所示）
求证：
证明：
没有公共点，而，，、没有公共点
又、，
注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用。
（2）面面平行的性质还有：
①
这条性质同时是线面平行的一种判定方法。
②夹在两平行平面间的两条平行线段相等。
③对三个平面
这是平面平行的传递性。
9. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。
【典型例题】
例1. 用符号表示下列语句，并画出图形。
（1）三个平面相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC。
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。
（3）直线a和b相交于平面内一点M。
解析：（1）符号语言表示：
，，
图形表示：如图①
（2）符号语言表示：
平面ABD平面BDC=BD，
平面ABC平面ADC=AC
图形表示：如图②
（3）符号语言表示：，。图形表示：（如下图中三个图）。
点评：理解数学符号的含义，学会并养成用符号语言和图形语言表示文字叙述语句的习惯，这在解题中会带来许多方便。
例2. 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面。
解析：
已知：，，
求证：直线，，，共面。
方法一：，、确定一个平面
，
，，故
又，、确定一个平面，同理可证
且，
过两条相交直线、有且只有一个平面，故与重合
即直线，，，共面。
方法二：由方法一得，，共面，也就是说在、确定的平面内
同理可证在、确定的平面内
过和只能确定一个平面
，，，共面
点评：先将已知和求证改写成符号语言，要证明诸线共面，一种方法是先由、确定一个平面，由公理1证明、也在此平面内；另一种方法是先由、确定一个平面，、确定另一平面，再证两平面重合。
例3. 已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P、Q、R三点。
求证：P，Q，R三点在同一条直线上。
解析：如图所示，，
，，
是平面与平面ABC的交线，
，
且平面ABC，
，P，Q，R三点共线。
点评：要证明P，Q，R三点共线，只需证明P，Q，R三点在平面和平面ABC的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点也在该直线上。
例4. 如图，两个三角形ABC和的对应顶点的连线、交于同一点O，且
（1）求证：，，；
（2）求的值。
解析：用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似。
（1）与交于点O，且
同理 ，
（2），且和、和方向相反
同理
因此 ，且
点评：判断或证明线线平行常用的方法有：
（1）用平面几何中证明两条直线平行的方法；
（2）利用公理4（若a∥c，c∥b，则a∥b）；
（3）利用线面平行性质定理（若，则a∥b）；
（4）利用面面平行的性质定理（若α∥β，，则a∥b）。
例5. 已知四面体ABCD中，M、N分别是和的重心。
求证：（1）面ABD；（2）面CMN
分析：首先根据条件画出图形，如图所示，证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要证面ABD，只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可。根据M、N分别为的重心的条件，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH。若有，则结论可证，或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F，连接EF，若有，，结论可证。
解析：（1）如图所示，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH、MN
∵M、N分别为的重心
∴MN∥GH
又面ABD，面ABD
∴MN∥面ABD
（2）连接AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF
同理MN∥EF
又E、F分别为BC、CD的中点
∴BD∥EF
∴BD∥MN
又面CMN，CMN
∴BD∥面CMN
点评：证明线面平行的常用方法有两种，其一是利用定义，一般借助反证法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是从结论入手，用反推的思想方法分析出解题思路，然后完成证明过程。
例6. 已知AB、CD是夹在两个平行平面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点。
求证：平面
解析：分AB、CD是否共面两种情况。
（1）若AB、CD在同一平面内，则平面ABCD与、的交线分别为BD、AC
又因为，所以。又M、N分别为AB、CD的中点，
所以，又平面，所以平面。
（2）若AB、CD不共面，如图，过A作交于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED。
因为，所以AE、CD确定平面AEDC
则平面AEDC与、的交线分别为ED、AC
因为，所以
又P、N分别为AE、CD中点
所以，从而
同理可证 ，所以
所以平面
又平面MPN，所以
点评：（1）本题容易疏忽AB、CD是否共面，把AB、CD看成同一平面内的线段，直接用平面几何知识得证。
（2）本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广。
例7. 如图，在正方体中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点。
求证：平面平面。
解析：连接MF
因为M、F分别是、的中点，且四边形是正方形
所以，
又，
所以四边形AMFD是平行四边形
所以AM∥DF
因为平面EFDB，平面EFDB
所以AM∥平面EFDB
同理可证：AN∥平面EFDB
又AM、AN平面AMN，
所以平面AMN∥平面EFDB
点评：证明面面平行的关键是在一个平面里找到都与另一个平面平行的两条相交直线。
【模拟试题】
1. 直线a、b、c交于一点，经过这3条直线的平面（ ）
A. 有0个 B. 有1个
C. 有无数个 D. 可以有0个，也可以有1个
2. 过不共面的4个点中的3个点的平面共有（ ）
A. 0个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
3. 下列推理，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 线α与β重合
4. 空间两个角的两边对应平行，其中一个角等于60°，则另一个角的大小为（ ）
A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120°
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线m平行于平面α内的无数直线，则m //α
B. 若直线则a //α
C. 若直线a // b，bα，则a //α
D. 若直线a // b，bα，直线a就平行于平面α内的无数条直线
6. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 直线在平面内 D. 不能确定
7. 下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平面α内有无数条直线与平面β平行，则α//β
8. AB、ADα，CB、CDβ，E ∈AB, F∈BC, G∈CD, H∈DA, 若直线EH与FG相交于P，则P点必在直线___________上。
9. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M, N 分别是棱A1B1， B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____________
10. 在△ABC中，AB＝AC=6，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，，则MN＝______________
11. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
12. 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O//平面A1C1D。
13. 已知两条直线a，b异面，，且a//β，b//α，求证：α//β
【试题答案】
1～7：DCCDDAB
8. BD 9. 10. 4
11. 已知：直线l1、l2、l3、l4两两相交且不共点（如图）
求证：直线l1、l2、l3、l4在同一平面内
证明：因为直线l1与l2相交，所以由推论2知l1与l2确定一个平面α
又直线l3与l1、l2都相交，不妨设l1∩l3于点C，l3∩l2于点D，则
因为C∈l3、D∈l3,所以由公理1知l3α，同理，直线l3α
所以直线l1、l2、l3、l4在同一平面内
12. 连结B1、D1，交A1C1于点O1，连结O1D，则B1O1与OD平行且相等，从而四边形B1O1DO是平行四边形，所以OB1//O1D。
又因为OB1平面A1C1D，O1D平面A1C1D，
所以B1O//平面A1C1D
13. 在平面α内的直线a上任取一点A。
因为a、b异面，所以Ab。
过A，b确定平面γ交α于c，
同理在b上任取一点B，过B、a确定平面δ交β于d
可得d // a，又b // α，d // α，
所以α//β
第三章平面与直线 平面与直线是最基本的几何对象。本章把坐标法和向量法结合起来研究空间中平面与直线的方程，点、直线、平面之间的相关位置以及相关的度量问题。§3.1 平面的方程
在空间中确定一个平面的条件是，不在同一直线上的三点，或一条直线和此直线外一点，或两条相交直线，或两条平行直线.为了便于使用向量法，则采用“一点和一个非零向量确定一个平面”作为讨论的出发点.
3.1.1 平面的点法式、一般式方程
在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一点P０和一个非零向量n，则通过P０点，并与向量n垂直的平面被唯一确定.
对任意的点P，记r= ，r0= ，显然由点P在这平面上的充分必要条件可得
?(r - r0)·n=0 （3.1.1）
称为平面的向量形式点法式或点向式方程，n称为平面的法向量.
平面向量形式一般式方程
?r·n + d = 0 (3.1.2)
其中d = - r0·n.
注 对于平面的向量形式方程(3.1.1)或(3.1.2)，若在空间直角坐标系［O；i，j，k］中给出相关的向量和点的坐标，就可以得到平面的坐标形式方程.
设平面经过点P0（x0，y0，z0），并与非零向量n={A，B，C}垂直，P(x，y，z)是平面上任意点，则由式(3.1.1)和（3.1.2）式可得
平面的坐标形式点法式方程：
A(x - x0) + B(y - y0) + C( z - z0) = 0. (3.1.3)
平面坐标形式的一般式方程：
Ax + By + Cz + D = 0 ， (3.1.4)
其中 D=-(Ax0 + By0 + Cz0).
定理 在空间直角坐标系［O；I,j,k］中，平面的方程是关于x，y，z的三元一次方程
Ax + By + Cz + D = 0；
反之，任意一个关于x，y，z的三元一次方程表示一个平面.
注 考察特殊情形的三元一次方程可以表示特殊的平面：
(1)若D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+Cz=0，这时平面通过坐标原点.反之，若平面经过坐标原点，则方程(3.1.4)中的D=0.
(2)若C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+D=0，这时平面平行于z轴.反之，若平面平行于z轴，则方程(3.1.4)中的C=0.类似地，Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面；By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面.
(3)若B=C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+D=0，这时平面平行于Oyz坐标平面.类似地，By+D=0表示的平面平行于Ozx坐标平面，Cz+D=0表示的平面平行于Oxy坐标平面.
(4)若C=D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By=0，这时平面通过z轴.类似地，Ax+Cz=0表示通过y轴的平面，By+Cz=0表示通过x轴的平面.
(5)若B=C=D=0，则方程(3.1.4)变为x=0，这时平面表示Oyz坐标平面.类似地，y=0表示Ozx坐标平面，z=0表示Oxy坐标平面.
3.1.2 平面的法线式方程
在空间直角坐标系中，设给定平面，P0(x0，y0，z0)是其上一点，从坐标原点O向给定平面作垂线，垂足为N，当给定平面不通过坐标原点O时， 就是此平面的一个法向量，它的单位向量记作n0；当给定平面通过坐标原点O(即N≡O)时，任意取定平面的一个法向量，它的单位向量也记作n0.从而，对于此平面上的任意点P(x，y，z)，有 ·n0= 0，此处n0 ={cosα，cosβ，cosγ}，其中α，β，γ为法向量n0的方向角.令
r= ，r0= ，得平面的向量形式法线式方程：
rn0 – p = 0 (3.1.5)
其中p = r0n0 .
平面的坐标形式法线式方程：
xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0. (3.1.6)
注 1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-p≤0，p表示坐标原点到平面的距离.
2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的.
3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号.
4）设给定平面的坐标形式一般式方程为
Ax + By + Cz + D = 0，
为了将其化为法线式方程，只要将?(称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程
，
并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.
3.1.3 平面的参数式方程
在空间直角坐标系中，设给定一点P0(x0，y0，z0)和两个不共线的向量u={u1，u2，u3}， v={v1，v2，v3}，则通过P0点，并与u，v两个向量平行的平面是唯一确定的.从而可推出平面的向量形式参数方程：
r=r0 + λu + μv. (3.1.7)
及平面的向量形式点位式方程：
(r - r0，u，v) = 0 (3.1.8)
其中P为平面上的任意一点，r= ，r0= 分别为P，P0两点的定位向量，λ，μ为参数，u，v称为平面的方位向量.
平面坐标形式参数方程为：
?x = x0 + λu1+ μv1，
y = y0 + λu2 + μv2，
z = z0 + λu3 + μv3.其中λ，μ为参数.
平面坐标形式点位方程为： x-x0 y-y0 z-z0
u1 u2 u3
v1 v2 v3 = 0.1.3.4 平面的三点式、截距式方程
在空间直角坐标系中，设给定不共线的三点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，3，则通过P1，P2，P3三点的平面是唯一确定的，设P(x，y，z)是平面上任意一点，则平面的向量形式三点式方程为：
(r – r1，r2 - r1，r3 - r1) = 0， (3.1.11)
其中r= ，ri= ，i=1，2，3.
平面坐标形式三点式方程为 x - x1 y - y1 z - z1
x2 - x1 y2- y1 z2 - z1
x3 - x１ y3 - y1 z3 - z1= 0作为平面的三点式方程的特例，设已知三点为平面与三条坐标轴的交点：A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，则平面的坐标形式截距式方程为：
.其中a，b，c分别称为平面在x轴，y轴与z轴上的截距.
1. 空间四点可以确定几个平面。3. 空间四条平行直线可以确定几个平面
1. 空间四点可以确定几个平面。2. 三条直线两两相交可确定几个平面3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。请把答案写的详细一些,
空间四点可以确定几个平面。2. 三条直线两两相交可确定几个平面3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。请把答案写的详细一些,谢谢! 1. 空间四点可以确定几个平面。分2种情况：设空间四点分别为A，B，C，D。（1）ABC，ABD，BCD 共3个，（2）ABCD，一个 2. 三条直线两两相交可确定几个平面。分2种情况：设直线AB，CD，EF，交与一点O ，（1）AB与 CD AB与EF CD与EF；（2）一个 3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。分3种情况：6个，3个，1个 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。设直线PQ与直线外不在同一条直线上三点A，B，C。分2种情况（1）PQ与A； PQ 与B ；PQ与 C；共3个； （2） PQ 与A，B； PQ与C；共2个（3） PQ与A，C；PQ与B也是2个；（4）PQ与B，C； PQ与A；共2个 1 4题都分多种情况，要分别讨论，请您分别仔细思考。回答
1.先取三点，确定一个平面了， 再在平面外取一点，与下面三点组成的三角形三边分别确定三个平面。 总共可以确定四个平面。 2.1个或3个 3.1个，4个或6个 4.3个或4个
对不起，弄错了。以下资料供参考。 空间点、直线、平面之间的位置关系例题解析 人教实验版A 一. 本周教学内容： 空间点、直线、平面之间的位置关系 二. 重点： 1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。 2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面 6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行 7. 平面与平面的位置关系：相交、平行 【典型例题】 [例1] 下列结论中正确的有（ ）个 （1）过空间三点的平面有且只有一个 （2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 （3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个 （4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 解析：（2）（3）（4）正确。 [例2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？ （2）空间四条平行直线可确定几个平面？ （3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案： （1）1个或3个 （2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个 [例3] 在平面 外三边所在直线分别交平面 于D、E、F，求证：D、E、F三点共线。 证明：如图A、B、C确定平面 ∴ ，同理E、F ∴ D、E、F三点共线
1.三点确定一个平面,空间四点可以确定4个平面. 2.三条直线两两相交,三个交点组成一个平面.三条直线在一个平面上. 3.2条平行线组成一个平面,空间四条平行可组成6个平面. 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定3个平面.
1. 空间四点可以确定几个平面总共可以确定四个平面 2. 三条直线两两相交可确定几个平面两两相交的三条直线可以确定1个平面或3个平面. 当三条直线两两相交交于同一点且共面或三条直线两两相交交于三个不同点时，确定一个平面；当三条直线两两相交交于同一点且不共面时，确定三个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。 1个，4个或6个 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。 1个，3个或4个
三条重合：无数个
有两条重合：一个
三条不重合：
1.同一平面：一个
2.不再同一平面：三个
3条直线交于1点,最多能确定 个平面;3条直线交于2点，最多能确定 个平面，3条直线交于3点，
3条直线交于1点,最多能确定 3个平面;
3条直线交于2点，最多能确定 2个平面，
3条直线交于3点，最多能确定 1 个平面
一、内容提要
本卷检测关于直线与平面的公理，判断直线与直线、平面与平面直线与平面的平行，垂直关系的定理以及应用性质定理（特别是三垂线定理及其逆定理）的准确性，深刻性、灵活性。正确地进行空间角、距离、图形面积的计算。实现已知元素。向未知元素的有效转化的能力。恰切地折迭与展平以透视对几何体的空间想象能力。严格地进行演绎推理，并理解反证法的思路及证题方法。系统掌握各种命题中的文字语言、符号语言、图形语言的运用与沟通。
二、例题分析
[例1]下列命题：（1）空间不同3点确定一个平面；（2）有3个公共点的两个平面必重合；（3）空间两两相交的三条直线确定一个平面；（4）三角形是平面图形；（5）平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；（6）垂直同一直线的两直线平行；（7）一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；（8）两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是____________。
解析：
由公理3知，不共线的3点才能确定一个平面，所以知命题（1）、
（2）均错，（2）中有可能出现两平面只有一条公共线（当这3个
公共点共线时）。（3）空间两两相交的3条直线有3个交点或一个
交点，若为3个交点，则这3线共面，若只有一个交点，则可能确定
一个平面或3个平面，（5）中平行四边形及梯形由公理3的推论及
公理1可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图1，在正方体ABCD—A B C D 中，直线
BB ⊥AB，BB ⊥CD，但AB与CD不平行，所以（6）错，AB∥CD，BB ∩AB=B，但BB 与CD不相交，所
以（7）错；四边形AD B C中，AD =D B =B C=CA= ，但它不是平行四边形，所以（8）也错。
[例2]如图2，已知直线a∥b∥c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面。
解析：
与共点线问题类似，证明线共面常见方法亦为：先由
部分直线确定平面，再证其他直线都在这个面内；
另一种方法为统一法，先由部分直线确定平面，再
由其他直线确定平面，再证这些平面重合。
证明：因为a∩d=A,所以a与d确定一平面a，则d a，因为B∈d，所以B∈a，在a内过B点作直线b
∥a,而b∥a,所以b∥b ,又因为b与b 有一个公共点B，故b与b 重合，所以b a，同理可证c a,所以a、b、c、d四线共面。
[例3]已知a和b是两条异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使得α∥β。
解析：
这也是种存在性的题目，它的解法通常是先作出这对
平面，再证这对平面满足要求，就是所要的平面。
证明：在直线a上任取一点P，过P作b ∥b,在直线b上任
取一点Q，过Q作a ∥a,设a、b 确定一个平面α,a 、b
确定平面β，因为a ∥a,aa,所以a ∥α，同理b∥α,
又a 、bβ,所以α∥β,所以过a和b分别存在两个平面
α和β，使α∥β。
三、检测题
（一）选择题
1．设a、b是异面直线，那么（ ）
A.必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、b
B.必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、b
C.过直线a存在唯一平面平行于直线b
D.过直线a存在唯一平面垂直于直线b
2．已知直线l⊥平面α，直线m β,有四个命题：
①α∥βl⊥m ②l∥mα⊥β ③α⊥βl∥m ④l⊥mα∥β
A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在△ABC所在平面外，PC=17，P到AC、BC的距离PE=PF=13，则P到平面ABC的距离为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4．与空间不共面的四点距离相等的平面有（ ）
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
5．m、n是互不垂直的异面直线，平面α、β分别过m、n，则下列关系中不可能是（ ）
A.m∥β B.α∥β C.m⊥β D.α⊥β
6．二面角α－l－β的平面角为120°，A、B∈l，AC α，BD β，AC⊥l，BD⊥l,若AB=AC=BD=1，则CD的长为（ ）
A. B. C.2 D.
7．二面角α-AB-β的平面角为θ1，射线AC α，且∠CAB=θ2，AC与平面β所成角为θ，则为θ1、
θ2、θ之间一定满足关系式（ ）
A.Sin2θ1+sin2θ2=sin2θ
B.cos2θ1+cos2θ2=cos2θ
C.sinθ1·sinθ2=sinθ
D.cosθ1·cosθ2=cosθ
8．过点A与平面α成定角θ（0<θ≤90°）的直线有（ ）
A.一条
B.二条
C.无数
D.一条或无数条
9．在直角坐标系中，已知A（3，2）、B（-3，-2），沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A
-oy-B后，∠AOB=90°，则cosα的值是（ ）
A. B.- C. D.-
10．平面M与平面N相交成锐角θ，M上一个圆在N上的射影是离心率为 的椭圆，则角θ等于（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
11．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是AC为A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是（ ）
A.90° B.60° C.30° D.0°
12．若a与b是异面直线，则下列判断正确的是（ ）
A.与a、b都垂直的直线只有一条
B.一定存在过a且与b垂直的平面
C.过a、b外任一点，可作一个平面与a、b都平行
D.分别过a、b可作两个平面互相垂直
（二）填空题：
13.AB是异面直线a、b的公垂线，A∈a,B∈b,M∈a,N∈b,若AB=4cm，AM=3cm,BN=4cm,MN= cm，则a与b所成的角为 .
14.DP垂直于正六边形ABCDEF于D，若正六边形边长为a，PD=a,则P到BC的距离为 .
15.在棱长均为a的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各表面四边形的锐角均为60°，则二面角A1-AD-C的余弦值为 .
16.二面角α-l-β内有一点A到α、β的距离分别为2cm、5cm，二面角α-l-β的大小为60°，M∈α，N∈β，则△AMN的周长的最小值为 .
(三)解答题:
17.异面直线a、b，a⊥平面α，b⊥平面β，α∩β=l a、b的公垂线段为AB.且AB与l不重合，求证：AB∥l
18.平面α与β相交于直线l，直线AB、CD分别在α、β内，且分别与l交于A、C两点，∠BAC＝∠ACD，问直线AB与CD的位置关系怎样？证明你的结论.
19.如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，其中侧面ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，底面BCD是BC为斜边，且∠DCB＝60°的直角三角形.
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求两直线AC、BD所成角的大小.
20.在底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠C＝ ，AA1=AC,D是CC1的中点.
（1）求证：平面AB1D⊥平面AB1B;
（2）求二面角B-B1D-A的大小.
21.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝a，CD=3a ,将△BAD沿BD折起，使之与平面BCD成
60°的二面角，求此时A、C两点之间的距离.
22.如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）求证：PB⊥平面AMN
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tgθ表示△AMN的面积，当tgθ取何
值时，△AMN的面积最大，最大面积是多少？
答案
1、C
2、A
3、A
4、D
5、C
6、C
7、C
8、D
9、C
10、A
11、D
12、D
13、60°
14、 a
15、
16、2 cm
17、分析：本题涉及直线与平面，直线与直线垂直的条件较多，应充分运用这些条件，构造辅助平面r，使AB、l都垂直于r即可。
证明：过点B作a' ∥a,即a' ∩b=B, a'与b确定平面r.
∵AB为a、b的公垂线，∴AB⊥平面r ∵α∩β=l a⊥α， b⊥β
∴a⊥l, b⊥l b' ⊥l ∴l⊥平面r 已证AB⊥l ∴AB∥l
18、分析：两直线的位置关系有三种，根据公理，可推翻AB、CD共面的结论。此类问题宜用反证法。
直线AB与CD异面（反证法）证明：假设直线AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ.则不共线的三点A、
B、C在γ内.又AB α，α∩β=AC，从而AC α，∴A、B、C在α内.由公理3知α、γ重合. 同理β与γ重合，从而α与β重合.
这与已知α与β相交于直线l矛盾. 故直线AB与直线CD异面.
19、分析：本题应利用面ABD⊥面BCD，分析其性质，再结合其它条件，推导出所需要的充分条件，求异面直线所成的角用平移法，并要加以计算.
证明：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD 平面BCD，CD⊥BD，
∴由面面垂直的性质定理得CD⊥平面ABD，而ABC 平面ABD， ∴CD⊥AB.
又由已知△ABD为等腰直角三角形且AB⊥AD ∴AB⊥平面ACD，而AB 平面ABC.
∴由面面垂直的判定定理得平面ABC⊥平面ACD.
解：（2）如图，以BD、CD为邻边作矩形BDCE，连结AE.
∵在矩形BDCE中CD∥BE， 由（1）CD⊥平面ABC
∴BE⊥平面ABC， ∴BE⊥AB， 于是Rt△ACD≌Rt△ABE.
∵BD∥CE. ∴AC与BD所成的角等于CE与AC所成的角.
∴∠ACE=arccos ∴AC与BD所成角的大小为arccos .
注：如果取AB、AD、BC的中点E、F、G，解三角形EFG也可得结证，但计算相对较繁.
20、分析：证明面面垂直应转化为线面垂直，求二面角的大小在不易作出其平面角的情况下，可用射影面积公式解之.
证明：（1）分别取AB、A1B1的中点E、F.连结EF交AB1于G.则G为EF的中点，
连结C1F、CE、DG.由于该直棱柱底面为等腰直角三角形，∠C=60°.
∴CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB1A1. 又易知C1F⊥平面ABB1A1，
∴CE∥C1F，四边形CEFC1为矩形.又D、G分别为CC1、EF的中点.
∴DG∥CE，DG⊥平面ABB1A1.而DG 平面AB1D ∴面AB1D⊥平面ABB1A1.
（2）连结B1C.由三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱知△AB1D在平面BCC1B1上的
射影为△B1CD.
设二面角B-B1D-A为大小为α, 则由射影面积公式得：
21、分析：对于此种折迭问题应明确折迭前后"变"与"不变"的元素，并进行空间想象、实施推理计算。
折迭后的∣AC∣长应通过余弦定理解之.
解：如图，在平面图形中；连结BD.在DC上取点E，使DE=a，连结AE，
并作CF垂直于AE的延长线于F.作CG⊥DB的延长线于G. 设BD与AE交于点O，则BD= a，
AO=OE= a.
CE=2a=2DE,EF=2OE,oF=2OD ∴OF=CG= a,CF= a,BG= a.
易知AO⊥BD，OF⊥BD ∴∠AOF是二面角A-BD-C的平面角. ∠AOF=60°.
由作法知CF∥BD，又CF⊥OF ∴CF⊥平面AOF.
在AOF中，由余弦定理得AF２＝AO２＋OF２－2AO·OFcos60°= a２
∴A、C之间的距离为 a.
22、分析：证明直线与平面垂直，需要转化为证线线垂直（如（1）（2），证明中要反复运用线面垂直的判定与性质，由线面垂直，推线线垂直，再由线线垂直推线面垂直。
证明：（1）∵PA⊥面ABC
∴PA⊥BC 又∵BC⊥AC PA∩AC＝A
∴BC⊥平面PAC
（2）∵BC⊥面PAC（已证） AN 面PAC ∴BC⊥AN 又AN⊥PC
∴AN⊥平面PBC AN⊥PB 又PB⊥AM ∴PB⊥平面AMN
（3）在Rt△PAB中，PA＝AB＝4 ∴PB＝4 ∵AM⊥PB
∴AM＝2 PM＝BM＝2 易证PB⊥MN 则MN＝PM·tgθ=2 tgθ.
由AN⊥平面PBC AN⊥MN ∴AN＝
当且仅当1－tg2θ=tg2θ, tgθ= 时，S△AMN有最大值2.
一、内容提要
1．序言：
⑴平面图形：由同一个平面内的点、线所构成。
空间图形：有空间的点、线、面所构成。也可看作空间点的集合。可见，平面图形是空间图形的一部分。
⑵立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。
2．平面的性质：
⑴公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
⑵公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
⑶公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、要点内容
1．“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。几何里的平面是无限延展的。这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。它可以联系直线是无限延伸的去理解。当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢？
2．通常把平面画成平行四边形（有时也根据需要画成三角形或其他平面图形）。画相交平面时，一定要画出它们的交线。立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。
3．公理和推论中的“有且只有一个”的含义是：“有”说明图形是存在的；“只有一个”说明图形是唯一的。“有且只有一个”和“确定”是同义词。
4．本节使用了 等符号。它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。如A∈α，读作“点A在直线a上”；α∩β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。
5．公理及其推论的作用。
（1） 公理1的作用：①证明点在平面内； ②证明直线在平面内。
（2） 公理2的作用：①确定两个平面的交线； ②证明三点共线或证明点在直线上； ③确定直线和平面交点的位置。
公理3及其推论的作用：①作辅助平面； ②证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
评注：
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．
分析：
四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．
d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．
∴α、β、γ重合．
∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
MQα即bα.
同理Cα
∴a、b、c、d四线共面．
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
解：连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。
∵M∈直线AD′，AD′平面ABC′D′，
∴M∈平面ABC′D′；
又M∈直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
∴M∈平面A′B′CD。
所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
评注：
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。
第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
解: 选（D）。
这五个点中的任意三点确定一个平面。从A、B、C、D、E五个点中任取三点，按照以下顺序取法，①A、B、C，②A、B、D，③A、B、E，④A、C、D，⑤A、C、E，⑥A、D、E，⑦B、C、D，⑧B、C、E，⑨B、D、E，
⑩C、D、E。
所以确定平面个数为10。
[例2]如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面外一点，平面PAG和平面ABC的交线与BC边交于E。判断点E在BC边上的位置，并说明理由。
解：点E是BC边的中点。
∵平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
∴这两个平面交线为AG。
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。
评注：
（1）不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。
（2）解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。
评注：
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上；或先经过某两点作一直线，再证明其它点也在这条直线上。
第三阶梯
[例2]如图，已知点A是△BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：
FC=2：3，DH：HA=2：3。求证：EF、GH、BD交于一点。
证明：连接EG、EF，
∵E、G分别是BC、AB的中点，∴GE∥AC，
又DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC，∴GE∥HF，
故G、E、F、H四点共面。
又∵EF与GH不平行且共面，
∴EF与GH相交，设交点为O。
∴O 平面ABD，O 平面BCD，
∴O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
∴EF、GH、BD交于一点。
评注：
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。
评注：
证明直线共面通常有两种方法：（1）先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内；
（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。
四、检测题
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）其中命题和叙述方法都正确的是．（ ）.
2．下列推断中，错误的是（ ）
3．一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，
求证：点D1、E、F、B共面．
5．两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点．
答案：
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．
5.分析：要证点P是两平面的公共点．
已知：如图，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．
∵β∩γ＝b，
∴p∈β．
同理，p∈α．
又∵α∩β=a，
∴p∈a
一、内容提要
1．序言：
⑴平面图形：由同一个平面内的点、线所构成。
空间图形：有空间的点、线、面所构成。也可看作空间点的集合。可见，平面图形是空间图形的一部分。
⑵立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。
2．平面的性质：
⑴公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
⑵公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
⑶公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、要点内容
1．“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。几何里的平面是无限延展的。这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。它可以联系直线是无限延伸的去理解。当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢？
2．通常把平面画成平行四边形（有时也根据需要画成三角形或其他平面图形）。画相交平面时，一定要画出它们的交线。立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。
3．公理和推论中的“有且只有一个”的含义是：“有”说明图形是存在的；“只有一个”说明图形是唯一的。“有且只有一个”和“确定”是同义词。
4．本节使用了 等符号。它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。如A∈α，读作“点A在直线a上”；α∩β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。
5．公理及其推论的作用。
（1） 公理1的作用：①证明点在平面内； ②证明直线在平面内。
（2） 公理2的作用：①确定两个平面的交线； ②证明三点共线或证明点在直线上； ③确定直线和平面交点的位置。
公理3及其推论的作用：①作辅助平面； ②证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
评注：
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．
分析：
四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．
d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．
∴α、β、γ重合．
∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
MQα即bα.
同理Cα
∴a、b、c、d四线共面．
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
解：连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。
∵M∈直线AD′，AD′平面ABC′D′，
∴M∈平面ABC′D′；
又M∈直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
∴M∈平面A′B′CD。
所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。
评注：
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。
第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
解: 选（D）。
这五个点中的任意三点确定一个平面。从A、B、C、D、E五个点中任取三点，按照以下顺序取法，①A、B、C，②A、B、D，③A、B、E，④A、C、D，⑤A、C、E，⑥A、D、E，⑦B、C、D，⑧B、C、E，⑨B、D、E，
⑩C、D、E。
所以确定平面个数为10。
[例2]如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面外一点，平面PAG和平面ABC的交线与BC边交于E。判断点E在BC边上的位置，并说明理由。
解：点E是BC边的中点。
∵平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
∴这两个平面交线为AG。
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。
评注：
（1）不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。
（2）解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。
评注：
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上；或先经过某两点作一直线，再证明其它点也在这条直线上。
第三阶梯
[例2]如图，已知点A是△BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：
FC=2：3，DH：HA=2：3。求证：EF、GH、BD交于一点。
证明：连接EG、EF，
∵E、G分别是BC、AB的中点，∴GE∥AC，
又DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC，∴GE∥HF，
故G、E、F、H四点共面。
又∵EF与GH不平行且共面，
∴EF与GH相交，设交点为O。
∴O 平面ABD，O 平面BCD，
∴O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
∴EF、GH、BD交于一点。
评注：
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。
评注：
证明直线共面通常有两种方法：（1）先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内；
（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。
四、检测题
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）其中命题和叙述方法都正确的是．（ ）.
2．下列推断中，错误的是（ ）
3．一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，
求证：点D1、E、F、B共面．
5．两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点．
答案：
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．
5.分析：要证点P是两平面的公共点．
已知：如图，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．
∵β∩γ＝b，
∴p∈β．
同理，p∈α．
又∵α∩β=a，
∴p∈a
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 平面的基本性质与推论
2. 空间中的平行关系
二. 教学目的
1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。
2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
三. 教学重点、难点
【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。
【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。
四. 知识分析
（一）平面的基本性质与推论
1. 平面的基本性质
（1）关于公理1
①三种数学语言表述：
文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
图形语言表述：如图1所示
图1
符号语言表述：
②内容剖析：
公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。
③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。
（2）关于公理2
①公理2的三种数学语言表述：
文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
图形语言表述：如图2所示
图2
符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.
②内容剖析：
公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。
公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。
③公理2的作用：
作用一是确定平面；
作用二是可用其证明点、线共面问题。
（3）关于公理3
①公理3的三种数学语言表述：
文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言表述：如图3所示。
图3
符号语言表述：
②公理3的剖析：
公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。
③公理3的作用：
其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
2. 平面的基本性质的推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
请同学们想一想：
三个推论的图形语言如何表示呢？
三个推论的符号语言如何表述呢？
三个推论有何作用呢？
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
已知：直线
求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。
【证明】（1）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。
图4
又（公理1）
平面α是过相交直线a，b的平面。
（2）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 α、β了，这与公理3矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。
综上知，过直线a、b有且只有一个平面。
3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质
（1）点与平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在α内，记作；
（2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面α内，记作 ;直线 m 不在平面α内，记作；
（3）平面α与平面 β相交于直线a，记作 ；
（4）直线 m 和 n 相交于点A，记作。
4. 学习时应注意的几个问题
学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力．在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法—斜二测画法。
要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。
5. 几种常见题型的解法
（1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。
（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。
（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。
（二）平面中的平行关系
1. 平行直线
（1）空间两条直线的位置关系
①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②平行：在同一平面内，没有公共点。
（2）初中几何中的平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
【说明】此结论在空间中仍成立．
（3）公理4（空间平行线的传递性）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。
【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。
2. 等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。
（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。
（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。
3. 空间图形的平移
如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。
注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变。
图形平移有如下性质：
（1）平移前后的两个图形全等；
（2）对应角的大小平移前后不变；
（3）对应两点的距离平移前后不变；
（4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；
（5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。
4. 证明空间两直线平行的方法
（1）利用定义
用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点。
（2）利用公理4
用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b。
5. 直线与平面平行
（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为
（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符号表示为：
（Ⅰ）该定理常表述为：“线线平行，则线面平行。”
（Ⅱ）用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
①直线a不在平面α内，即 。
②直线b在平面α内，即。
③两直线a、b平行，即a // b。
这三个条件缺一不可。
（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行。
符号表示：若 ,则a // b, 即“线面平行，则线线平行”。
【说明】
a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理
b. 定理中有3个条件：
①直线a和平面α平行，即a //α；
②平面α、β相交，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即 。
三者缺一不可。
（4）线面平行定理的应用
应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外相互平行的直线。
应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。
6. 两个平面的位置关系
同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分：
① 如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合；
② 如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；
③ 如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行。
由此可知两个不重合的平面的位置关系：
（1）平行——没有公共点；
（2）相交——至少有一个公共点（或有一条公共直线）。
7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
已知：、，，∥，∥（如图所示）
求证：∥
证明：用反证法
假设
∥，，∥
同理有∥
由公理4知∥，这与相矛盾。
∥
注意：（1）此定理用符号表示为
（2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于。
（3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。”
8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
已知：，平面，（如图所示）
求证：
证明：
没有公共点，而，，、没有公共点
又、，
注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用。
（2）面面平行的性质还有：
①
这条性质同时是线面平行的一种判定方法。
②夹在两平行平面间的两条平行线段相等。
③对三个平面
这是平面平行的传递性。
9. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。
【典型例题】
例1. 用符号表示下列语句，并画出图形。
（1）三个平面相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC。
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。
（3）直线a和b相交于平面内一点M。
解析：（1）符号语言表示：
，，
图形表示：如图①
（2）符号语言表示：
平面ABD平面BDC=BD，
平面ABC平面ADC=AC
图形表示：如图②
（3）符号语言表示：，。图形表示：（如下图中三个图）。
点评：理解数学符号的含义，学会并养成用符号语言和图形语言表示文字叙述语句的习惯，这在解题中会带来许多方便。
例2. 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面。
解析：
已知：，，
求证：直线，，，共面。
方法一：，、确定一个平面
，
，，故
又，、确定一个平面，同理可证
且，
过两条相交直线、有且只有一个平面，故与重合
即直线，，，共面。
方法二：由方法一得，，共面，也就是说在、确定的平面内
同理可证在、确定的平面内
过和只能确定一个平面
，，，共面
点评：先将已知和求证改写成符号语言，要证明诸线共面，一种方法是先由、确定一个平面，由公理1证明、也在此平面内；另一种方法是先由、确定一个平面，、确定另一平面，再证两平面重合。
例3. 已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P、Q、R三点。
求证：P，Q，R三点在同一条直线上。
解析：如图所示，，
，，
是平面与平面ABC的交线，
，
且平面ABC，
，P，Q，R三点共线。
点评：要证明P，Q，R三点共线，只需证明P，Q，R三点在平面和平面ABC的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点也在该直线上。
例4. 如图，两个三角形ABC和的对应顶点的连线、交于同一点O，且
（1）求证：，，；
（2）求的值。
解析：用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似。
（1）与交于点O，且
同理 ，
（2），且和、和方向相反
同理
因此 ，且
点评：判断或证明线线平行常用的方法有：
（1）用平面几何中证明两条直线平行的方法；
（2）利用公理4（若a∥c，c∥b，则a∥b）；
（3）利用线面平行性质定理（若，则a∥b）；
（4）利用面面平行的性质定理（若α∥β，，则a∥b）。
例5. 已知四面体ABCD中，M、N分别是和的重心。
求证：（1）面ABD；（2）面CMN
分析：首先根据条件画出图形，如图所示，证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要证面ABD，只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可。根据M、N分别为的重心的条件，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH。若有，则结论可证，或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F，连接EF，若有，，结论可证。
解析：（1）如图所示，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH、MN
∵M、N分别为的重心
∴MN∥GH
又面ABD，面ABD
∴MN∥面ABD
（2）连接AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF
同理MN∥EF
又E、F分别为BC、CD的中点
∴BD∥EF
∴BD∥MN
又面CMN，CMN
∴BD∥面CMN
点评：证明线面平行的常用方法有两种，其一是利用定义，一般借助反证法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是从结论入手，用反推的思想方法分析出解题思路，然后完成证明过程。
例6. 已知AB、CD是夹在两个平行平面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点。
求证：平面
解析：分AB、CD是否共面两种情况。
（1）若AB、CD在同一平面内，则平面ABCD与、的交线分别为BD、AC
又因为，所以。又M、N分别为AB、CD的中点，
所以，又平面，所以平面。
（2）若AB、CD不共面，如图，过A作交于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED。
因为，所以AE、CD确定平面AEDC
则平面AEDC与、的交线分别为ED、AC
因为，所以
又P、N分别为AE、CD中点
所以，从而
同理可证 ，所以
所以平面
又平面MPN，所以
点评：（1）本题容易疏忽AB、CD是否共面，把AB、CD看成同一平面内的线段，直接用平面几何知识得证。
（2）本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广。
例7. 如图，在正方体中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点。
求证：平面平面。
解析：连接MF
因为M、F分别是、的中点，且四边形是正方形
所以，
又，
所以四边形AMFD是平行四边形
所以AM∥DF
因为平面EFDB，平面EFDB
所以AM∥平面EFDB
同理可证：AN∥平面EFDB
又AM、AN平面AMN，
所以平面AMN∥平面EFDB
点评：证明面面平行的关键是在一个平面里找到都与另一个平面平行的两条相交直线。
【模拟试题】
1. 直线a、b、c交于一点，经过这3条直线的平面（ ）
A. 有0个 B. 有1个
C. 有无数个 D. 可以有0个，也可以有1个
2. 过不共面的4个点中的3个点的平面共有（ ）
A. 0个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
3. 下列推理，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 线α与β重合
4. 空间两个角的两边对应平行，其中一个角等于60°，则另一个角的大小为（ ）
A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120°
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线m平行于平面α内的无数直线，则m //α
B. 若直线则a //α
C. 若直线a // b，bα，则a //α
D. 若直线a // b，bα，直线a就平行于平面α内的无数条直线
6. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 直线在平面内 D. 不能确定
7. 下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平面α内有无数条直线与平面β平行，则α//β
8. AB、ADα，CB、CDβ，E ∈AB, F∈BC, G∈CD, H∈DA, 若直线EH与FG相交于P，则P点必在直线___________上。
9. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M, N 分别是棱A1B1， B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____________
10. 在△ABC中，AB＝AC=6，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，，则MN＝______________
11. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
12. 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O//平面A1C1D。
13. 已知两条直线a，b异面，，且a//β，b//α，求证：α//β
【试题答案】
1～7：DCCDDAB
8. BD 9. 10. 4
11. 已知：直线l1、l2、l3、l4两两相交且不共点（如图）
求证：直线l1、l2、l3、l4在同一平面内
证明：因为直线l1与l2相交，所以由推论2知l1与l2确定一个平面α
又直线l3与l1、l2都相交，不妨设l1∩l3于点C，l3∩l2于点D，则
因为C∈l3、D∈l3,所以由公理1知l3α，同理，直线l3α
所以直线l1、l2、l3、l4在同一平面内
12. 连结B1、D1，交A1C1于点O1，连结O1D，则B1O1与OD平行且相等，从而四边形B1O1DO是平行四边形，所以OB1//O1D。
又因为OB1平面A1C1D，O1D平面A1C1D，
所以B1O//平面A1C1D
13. 在平面α内的直线a上任取一点A。
因为a、b异面，所以Ab。
过A，b确定平面γ交α于c，
同理在b上任取一点B，过B、a确定平面δ交β于d
可得d // a，又b // α，d // α，
所以α//β
第三章平面与直线 平面与直线是最基本的几何对象。本章把坐标法和向量法结合起来研究空间中平面与直线的方程，点、直线、平面之间的相关位置以及相关的度量问题。§3.1 平面的方程
在空间中确定一个平面的条件是，不在同一直线上的三点，或一条直线和此直线外一点，或两条相交直线，或两条平行直线.为了便于使用向量法，则采用“一点和一个非零向量确定一个平面”作为讨论的出发点.
3.1.1 平面的点法式、一般式方程
在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一点P０和一个非零向量n，则通过P０点，并与向量n垂直的平面被唯一确定.
对任意的点P，记r= ，r0= ，显然由点P在这平面上的充分必要条件可得
?(r - r0)·n=0 （3.1.1）
称为平面的向量形式点法式或点向式方程，n称为平面的法向量.
平面向量形式一般式方程
?r·n + d = 0 (3.1.2)
其中d = - r0·n.
注 对于平面的向量形式方程(3.1.1)或(3.1.2)，若在空间直角坐标系［O；i，j，k］中给出相关的向量和点的坐标，就可以得到平面的坐标形式方程.
设平面经过点P0（x0，y0，z0），并与非零向量n={A，B，C}垂直，P(x，y，z)是平面上任意点，则由式(3.1.1)和（3.1.2）式可得
平面的坐标形式点法式方程：
A(x - x0) + B(y - y0) + C( z - z0) = 0. (3.1.3)
平面坐标形式的一般式方程：
Ax + By + Cz + D = 0 ， (3.1.4)
其中 D=-(Ax0 + By0 + Cz0).
定理 在空间直角坐标系［O；I,j,k］中，平面的方程是关于x，y，z的三元一次方程
Ax + By + Cz + D = 0；
反之，任意一个关于x，y，z的三元一次方程表示一个平面.
注 考察特殊情形的三元一次方程可以表示特殊的平面：
(1)若D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+Cz=0，这时平面通过坐标原点.反之，若平面经过坐标原点，则方程(3.1.4)中的D=0.
(2)若C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+D=0，这时平面平行于z轴.反之，若平面平行于z轴，则方程(3.1.4)中的C=0.类似地，Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面；By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面.
(3)若B=C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+D=0，这时平面平行于Oyz坐标平面.类似地，By+D=0表示的平面平行于Ozx坐标平面，Cz+D=0表示的平面平行于Oxy坐标平面.
(4)若C=D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By=0，这时平面通过z轴.类似地，Ax+Cz=0表示通过y轴的平面，By+Cz=0表示通过x轴的平面.
(5)若B=C=D=0，则方程(3.1.4)变为x=0，这时平面表示Oyz坐标平面.类似地，y=0表示Ozx坐标平面，z=0表示Oxy坐标平面.
3.1.2 平面的法线式方程
在空间直角坐标系中，设给定平面，P0(x0，y0，z0)是其上一点，从坐标原点O向给定平面作垂线，垂足为N，当给定平面不通过坐标原点O时， 就是此平面的一个法向量，它的单位向量记作n0；当给定平面通过坐标原点O(即N≡O)时，任意取定平面的一个法向量，它的单位向量也记作n0.从而，对于此平面上的任意点P(x，y，z)，有 ·n0= 0，此处n0 ={cosα，cosβ，cosγ}，其中α，β，γ为法向量n0的方向角.令
r= ，r0= ，得平面的向量形式法线式方程：
rn0 – p = 0 (3.1.5)
其中p = r0n0 .
平面的坐标形式法线式方程：
xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0. (3.1.6)
注 1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-p≤0，p表示坐标原点到平面的距离.
2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的.
3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号.
4）设给定平面的坐标形式一般式方程为
Ax + By + Cz + D = 0，
为了将其化为法线式方程，只要将?(称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程
，
并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.
3.1.3 平面的参数式方程
在空间直角坐标系中，设给定一点P0(x0，y0，z0)和两个不共线的向量u={u1，u2，u3}， v={v1，v2，v3}，则通过P0点，并与u，v两个向量平行的平面是唯一确定的.从而可推出平面的向量形式参数方程：
r=r0 + λu + μv. (3.1.7)
及平面的向量形式点位式方程：
(r - r0，u，v) = 0 (3.1.8)
其中P为平面上的任意一点，r= ，r0= 分别为P，P0两点的定位向量，λ，μ为参数，u，v称为平面的方位向量.
平面坐标形式参数方程为：
?x = x0 + λu1+ μv1，
y = y0 + λu2 + μv2，
z = z0 + λu3 + μv3.其中λ，μ为参数.
平面坐标形式点位方程为： x-x0 y-y0 z-z0
u1 u2 u3
v1 v2 v3 = 0.1.3.4 平面的三点式、截距式方程
在空间直角坐标系中，设给定不共线的三点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，3，则通过P1，P2，P3三点的平面是唯一确定的，设P(x，y，z)是平面上任意一点，则平面的向量形式三点式方程为：
(r – r1，r2 - r1，r3 - r1) = 0， (3.1.11)
其中r= ，ri= ，i=1，2，3.
平面坐标形式三点式方程为 x - x1 y - y1 z - z1
x2 - x1 y2- y1 z2 - z1
x3 - x１ y3 - y1 z3 - z1= 0作为平面的三点式方程的特例，设已知三点为平面与三条坐标轴的交点：A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，则平面的坐标形式截距式方程为：
.其中a，b，c分别称为平面在x轴，y轴与z轴上的截距.
1. 空间四点可以确定几个平面。3. 空间四条平行直线可以确定几个平面
1. 空间四点可以确定几个平面。2. 三条直线两两相交可确定几个平面3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。请把答案写的详细一些,
空间四点可以确定几个平面。2. 三条直线两两相交可确定几个平面3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。请把答案写的详细一些,谢谢! 1. 空间四点可以确定几个平面。分2种情况：设空间四点分别为A，B，C，D。（1）ABC，ABD，BCD 共3个，（2）ABCD，一个 2. 三条直线两两相交可确定几个平面。分2种情况：设直线AB，CD，EF，交与一点O ，（1）AB与 CD AB与EF CD与EF；（2）一个 3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。分3种情况：6个，3个，1个 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。设直线PQ与直线外不在同一条直线上三点A，B，C。分2种情况（1）PQ与A； PQ 与B ；PQ与 C；共3个； （2） PQ 与A，B； PQ与C；共2个（3） PQ与A，C；PQ与B也是2个；（4）PQ与B，C； PQ与A；共2个 1 4题都分多种情况，要分别讨论，请您分别仔细思考。回答
1.先取三点，确定一个平面了， 再在平面外取一点，与下面三点组成的三角形三边分别确定三个平面。 总共可以确定四个平面。 2.1个或3个 3.1个，4个或6个 4.3个或4个
对不起，弄错了。以下资料供参考。 空间点、直线、平面之间的位置关系例题解析 人教实验版A 一. 本周教学内容： 空间点、直线、平面之间的位置关系 二. 重点： 1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。 2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面 6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行 7. 平面与平面的位置关系：相交、平行 【典型例题】 [例1] 下列结论中正确的有（ ）个 （1）过空间三点的平面有且只有一个 （2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 （3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个 （4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 解析：（2）（3）（4）正确。 [例2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？ （2）空间四条平行直线可确定几个平面？ （3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案： （1）1个或3个 （2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个 [例3] 在平面 外三边所在直线分别交平面 于D、E、F，求证：D、E、F三点共线。 证明：如图A、B、C确定平面 ∴ ，同理E、F ∴ D、E、F三点共线
1.三点确定一个平面,空间四点可以确定4个平面. 2.三条直线两两相交,三个交点组成一个平面.三条直线在一个平面上. 3.2条平行线组成一个平面,空间四条平行可组成6个平面. 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定3个平面.
1. 空间四点可以确定几个平面总共可以确定四个平面 2. 三条直线两两相交可确定几个平面两两相交的三条直线可以确定1个平面或3个平面. 当三条直线两两相交交于同一点且共面或三条直线两两相交交于三个不同点时，确定一个平面；当三条直线两两相交交于同一点且不共面时，确定三个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。 1个，4个或6个 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。 1个，3个或4个