高二数学教案：9.2空间的平行直线与异面直线(3)(1)
文档属性
| 名称 | 高二数学教案：9.2空间的平行直线与异面直线(3)(1) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 49.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-05-25 12:31:40 | ||
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文档简介
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【课 题】空间的平行直线与异面直线(3)
【教学目标】
1、掌握两异面直线所成的角的概念；
2、会用平移转换法求异面直线所成的角.
3、理解并掌握空间两直线互相垂直的概念。
4、初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.
【教学重点】
异面直线所成角的定义、范围、计算.
【教学难点】
1、 复习引入
（1）复习平行公理；
（2）异面直线的概念；
1、 讲解新课
（一）异面直线所成的角
异面直线所成角的定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈（0,］;
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
（二）两直线互相垂直
当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
1、 例题讲解
【例1】 设图中正方体的棱长为a.
（1）求直线BA′和CC′所成角的大小；
（2）求直线BA′和B′D′所成角的大小；
解：（1）∵CC′∥BB′
∴BB′和BA′所成的锐角，
即∠A′BB′就是异面直线BA′和CC′所成的角（解题过程中，这句表述不能少）.
∵∠A′BB′=45°,∴BA′与CC′所成的角是45°.
（2）60°
【例2】 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且，AB=CD=3，EF=，求AB与CD所成角 的大小.
解：取BD中点G，则BG∥AB，EG=AB=.
GF∥CD，GF=CD=.
∴EG与GF的夹角即为所求.
cos∠EGF==
∴所成角的余弦为，所成角为arccos.
【例3】 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a,E和F分别是A1B1和BB1的中点。求：(1)EF和AD1所成的角的正弦值；(2)AC1和B1C所成角的余弦值.
解：⑴即为所求的角；
AD1===BC1 A1B==
A1C1==2
∴cos∠A1BC1==
∴sin∠A1BC1=
(图1) (图2)
(2)延长D1A1到F使A1F=D1A1,则AF∥DA1∥CB1.所求角为AF与AC1的夹角.
AF=B1C=
AC1==3a
FC1=
cos∠FAC1=
∴AC1与B1C所成角的余弦值为.
1、 课堂练习
1、 一、选择题
2、 下列命题中，正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：C
3、 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：B
4、 直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：C
5、 异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：D
6、 若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（ ）
A.1 B.最多为1
C.2 D.1或2
答案：B
7、 已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（ ）
A.平行或相交 B.异面
C.平行或相交或异面 D.相交或异面
答案：C
8、 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（ ）
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案：D
二、填空题
9、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_______条.
答案：6
10、 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
（1）MN与PQ的位置关系是_______，它们所成的角是_______.
（2）MN与B1D的位置关系是_______，它们所成的角是_______.
答案：（1）相交 60° （2）异面 90°
11、 在空间四边形ABCD中，对角线AC=BD=2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若MN=a，则AC和BD所成的角为_______，MN和AC所成的角为_______.
答案： 90° 45°
12、 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD=AA1=，AB=2，那么
（1）AA1与BC1所成角的度数是_______；
（2）DA1与BC1所成角的度数是_______；
（3）BC1与D1M所成角的余弦是_______.
答案：（1）45° （2）90° （3）
13、 在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC=6，BD=4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN=_______，MN与BD所成角的正切值为_______.
答案：
14、 空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_______.
答案：
15、 如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点.且,若BD=6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_______.
答案： 8 cm
1、 小结
1、 课外练习
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【课 题】空间的平行直线与异面直线(3)
【教学目标】
1、掌握两异面直线所成的角的概念；
2、会用平移转换法求异面直线所成的角.
3、理解并掌握空间两直线互相垂直的概念。
4、初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.
【教学重点】
异面直线所成角的定义、范围、计算.
【教学难点】
1、 复习引入
（1）复习平行公理；
（2）异面直线的概念；
1、 讲解新课
（一）异面直线所成的角
异面直线所成角的定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈（0,］;
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
（二）两直线互相垂直
当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
1、 例题讲解
【例1】 设图中正方体的棱长为a.
（1）求直线BA′和CC′所成角的大小；
（2）求直线BA′和B′D′所成角的大小；
解：（1）∵CC′∥BB′
∴BB′和BA′所成的锐角，
即∠A′BB′就是异面直线BA′和CC′所成的角（解题过程中，这句表述不能少）.
∵∠A′BB′=45°,∴BA′与CC′所成的角是45°.
（2）60°
【例2】 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且，AB=CD=3，EF=，求AB与CD所成角 的大小.
解：取BD中点G，则BG∥AB，EG=AB=.
GF∥CD，GF=CD=.
∴EG与GF的夹角即为所求.
cos∠EGF==
∴所成角的余弦为，所成角为arccos.
【例3】 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a,E和F分别是A1B1和BB1的中点。求：(1)EF和AD1所成的角的正弦值；(2)AC1和B1C所成角的余弦值.
解：⑴即为所求的角；
AD1===BC1 A1B==
A1C1==2
∴cos∠A1BC1==
∴sin∠A1BC1=
(图1) (图2)
(2)延长D1A1到F使A1F=D1A1,则AF∥DA1∥CB1.所求角为AF与AC1的夹角.
AF=B1C=
AC1==3a
FC1=
cos∠FAC1=
∴AC1与B1C所成角的余弦值为.
1、 课堂练习
1、 一、选择题
2、 下列命题中，正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：C
3、 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：B
4、 直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：C
5、 异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：D
6、 若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（ ）
A.1 B.最多为1
C.2 D.1或2
答案：B
7、 已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（ ）
A.平行或相交 B.异面
C.平行或相交或异面 D.相交或异面
答案：C
8、 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（ ）
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案：D
二、填空题
9、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_______条.
答案：6
10、 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
（1）MN与PQ的位置关系是_______，它们所成的角是_______.
（2）MN与B1D的位置关系是_______，它们所成的角是_______.
答案：（1）相交 60° （2）异面 90°
11、 在空间四边形ABCD中，对角线AC=BD=2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若MN=a，则AC和BD所成的角为_______，MN和AC所成的角为_______.
答案： 90° 45°
12、 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD=AA1=，AB=2，那么
（1）AA1与BC1所成角的度数是_______；
（2）DA1与BC1所成角的度数是_______；
（3）BC1与D1M所成角的余弦是_______.
答案：（1）45° （2）90° （3）
13、 在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC=6，BD=4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN=_______，MN与BD所成角的正切值为_______.
答案：
14、 空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_______.
答案：
15、 如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点.且,若BD=6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_______.
答案： 8 cm
1、 小结
1、 课外练习
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