3.2.2双曲线的简单几何性质课时强化练习——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线的简单几何性质课时强化练习——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 155.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-02 09:17:07 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章3.2.2双曲线的简单几何性质课时强化练习
【基础巩固练习】
双曲线x2?y2=1的焦点到其渐近线的距离为(??? )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
已知双曲线x2m+y2n=1(m≠n)的离心率为233，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为(??? )
A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π12
设F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为(? ?)
A. 2 B. 32 C. 3 D. 62
双曲线x2?y24=1的渐近线方程为??????????．
已知F1，F2为双曲线C:x2?y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2=??????????．
【能力提升练习】
已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线y=x?1与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为?23，则此双曲线的方程是(???? )
A. x23?y24=1 B. x24?y23=1 C. x25?y22=1 D. x22?y25=1
直线x=32被双曲线E：x2a2?y2=1(a>0)所截得线段的长度为22，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 5+12 C. 72 D. 213
设F1是双曲线C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点P，使得PF1与以A1A2为直径的圆相切于Q，且Q是线段PF1的中点，则C的渐近线方程为(? ?)
A. y=±33x B. y=±3x C. y=±12x D. y=±2x
已知双曲线x2?y24=1的左、右顶点为A,B，焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，若AN=NM，则k的值为(?)
A. ±233 B. ±1 C. ±33 D. ±223
已知F1，F2分别为双曲线C：x23?y29=1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H(xH,yH)，G(xG,yG)分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|yH|=3|yG|，则|HG|=(? )
A. 23 B. 3 C. 33 D. 4
（多选）已知动点P在双曲线C:x2?y23=1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(? ? )
A. 双曲线C的渐近线与圆(x?2)2+y2=3相切
B. 满足|PF2|=4的点P共有2个
C. 直线y=k(x?2)与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是?3D. 若|PF1|+|PF2|=8，则S△PF1F2=6
已知点F1、F2分别为双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M(x0,y0)?(x0<0)为C的渐近线与圆x2+y2=a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|=|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为??????????
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(2,0)，且双曲线的一条渐近线的斜率为3.过双曲线左焦点且垂直于x轴的直线交双曲线左支于A，B两点，双曲线上任意一点P满足OP=mOA+nOB(O为坐标原点)，则mn的最大值是________．
【解答题综合突破】
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，且过点(2,2)．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，已知△OAB的面积为43，求直线的斜率k．
已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x?y=0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：k1k2为定值．
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0?,?b>0)的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为34．
?(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求PQBF的值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】
解：根据题意，双曲线的方程为x2?y2=1，
其焦点坐标为(±2,0)，其渐近线方程为y=±x，
则其焦点到渐近线的距离d=|2|1+1=1；
故选A．
2.【答案】C
【解析】
解：因为双曲线的离心率为233，
所以e=ca=1+b2a2=233，
所以ba=33，
设双曲线的两条渐近线所夹的锐角为α，
则tanα=33，则，
所以双曲线的两条渐近线所夹的锐角为．
故选C．??
3.【答案】C
【解析】
解：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|?|PF2|=2a，
又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，则∠PF1F2为30°，
所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2?2|PF1||F2F1|cos?30°，
所以(2a)2=(4a)2+(2c)2?2×4a×2c×32，
化为e2?23e+3=0，解得e=3．
故选C．??
4.【答案】y=±2x
【解析】
解：由题意得，a=1，b=2，
双曲线x2?y24=1的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：y=±2x．
5.【答案】34
【解析】
解：∵由双曲线的定义有PF1?PF2=PF2=2a=22，
∴PF1=2PF2=42，
双曲线的标准方程为x22?y22=1，所以F2F2=22+2=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2=PF12+PF22?F1F222PF1?PF2=(42)2+(22)2?422×42×22=34?．
故答案为34．
6.【答案】D
【解析】
解：设双曲线方程为x2a2?y2b2=1．
将y=x?1代入x2a2?y2b2=1，整理得(b2?a2)x2+2a2x?a2?a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=2a2a2?b2，则x1+x22=a2a2?b2=?23．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是x22?y25=1．
故选D．
??
7.【答案】D
【解析】
直线x=32被双曲线E：x2a2?y2=1(a>0)所截得线段的长度为22，
由双曲线的对称性可知，点(32,2)在双曲线E上，
∴94a2?22=1，解得a2=34，而b2=1，
∴c2=a2+b2=74，
故e2=c2a2=73，即e=213，
故选D．??
8.【答案】C
【解析】
解：由于O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点，
则由中位线定理可得OQ//PF2，|OQ|=12|PF2|，
由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点Q，
则|OQ|=a，|PF2|=2a，
由双曲线的定义可得，|PF1|?|PF2|=2a，
即有|PF1|=4a，
由OQ⊥PF1，由勾股定理可得a2+(2a)2=c2，
即5a2=a2+b2，则4a2=b2，即ab=12．
∴C的渐近线方程为y=±abx=±12x．
故选：C．
??
9.【答案】A
【解析】
解：已知双曲线x2?y24=1的左、右顶点为A(?1,0)，B(1,0)，
焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
所以c2a2=a2?b2a2=1?b2a2=(32)2，b=1
得到b2a2=1?34=14，即a=2，
所以椭圆的方程为y24+x2=1，
过A作斜率为k的直线l：y=k(x+1)，
与双曲线联立y=k(x+1)x2?y24=1,
整理得(4?k2)x2?2k2x?(k2+4)=0，
设M(xM,yM)，
由韦达定理得到?1×xM=?k2+44?k2，则xM=k2+44?k2，
yM=k(xM+1)=8k4?k2，故M(k2+44?k2,8k4?k2)，
与椭圆联立y=k(x+1)y24+x2=1得(k2+4)x2+2k2x+k2?4=0，
设N(xN,yN)，
由韦达定理得到?1×xN=?4?k2k2+4，则xN=4?k2k2+4，yN=k(xN+1)=8kk2+4，
所以N(4?k2k2+4,8kk2+4)，
因为AN=NM，得到k2+44?k2?4?k2k2+4=4?k2k2+4+1，
解得k=±233，
故选A．??
10.【答案】D
【解析】
? 解：不妨设直线AB的斜率大于0.如图，连接HG，HF2，GF2，
设△AF1F2的内切圆与三边分别切于点D，E，F，
则|AF1|?|AF2|=|AD|+|DF1|?(|AE|+|EF2|)
=|DF1|?|EF2|=|F1F|?|FF2|，
2a=c+xH?(c?xH)，
即xH=a，同理可得xG=a，则HG⊥F1F2．
在Rt△F2FG中，|FG|=|FF2|tan?θ2=(c?a)tanθ2．
在Rt△F2FH中，．
又|yH|=3|yG|，所以|FH|=3|FG|．
即(c?a)tanπ2?θ2=3(c?a)tanθ2，
解得tanθ2=33，tanθ=3，易得θ=π3，
所以．
故选D．??
11.【答案】ACD
【解析】
解：由双曲线的标准方程得：a=1，b=3，c=a2+b2=2．
A.双曲线C的渐近线方程为±3x+y=0，圆(x?2)2+y2=3的圆心(2,0)到渐近线的距离为|±23|(±3)2+1=3，等于圆的半径，所以双曲线C的渐近线与该圆相切，故选项A正确；
B.|PF2|=4=|F1F2|，所以以F2为圆心以4为半径的圆与双曲线左支有两个交点，与双曲线右支也有两个交点，所以满足|PF2|=4的点P共有4个，故选项B错误；
C.由y=k(x?2)x2?y23=1得(3?k2)x2+4k2x?(4k2+3)=0，由题意得，这个关于x的一元二次方程有一个正根一个负根，所以3?k2≠0?4k2+33?k2<0，解得?3D.不妨设点P在双曲线右支上，由|PF1|+|PF2|=8|PF1|?|PF2|=2得|PF1|=5|PF2|=3，又|F1F2|=4，所以Δ?PF1F2满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2，所以Δ?PF1F2为直角三角形，其面积S△PF1F2=12×3×4=6，故选项D正确．
故选ACD．??
12.【答案】54
【解析】
解：如图，
因为双曲线的一条渐近线为y=?bax，
与圆x2+y2=a2联立解得M?a2c,abc，
则kF1M=abc?a2c+c=ab，
则直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|=b，
由双曲线定义可知：2a=|NF1|?|NF2|=|MN|+|MF1|?|NF2|.
∵|MN|=|NF2|+|OF2|，且|OF2|=c，
∴2a=b+c，∴b=2a?c，
∴b2=(2a?c)2=c2?4ac+4a2．
又b2=c2?a2，∴4ac?4a2=a2，∴4c=5a．
∴双曲线的离心率e=ca=54．
故答案为54．
13.【答案】116
【解析】
解：?因为双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(2,0)，所以a2+b2=4①．
双曲线的一条渐近线的斜率为3，所以ba=3②.
联立①②，解得a=1，b=3，所以双曲线方程为x2?y23=1．
又直线AB的方程为x=?2，与双曲线方程联立，
得x=?2,x2?y23=1,解得x=?2,y=3,或x=?2,y=?3.
所以A(?2,3)，B(?2,?3)．
设P(x,y)，则由OP=mOA+nOB，
可得(x,y)=m(?2,3)+n(?2,?3)，
所以x=?2(m+n)，y=3(m?n)．
又因为点P是双曲线上任意一点，
代入双曲线方程，可得4(m+n)2?9(m?n)23=1，
化简得m2+n2+14mn=1，
即m2+n2=1?14mn．
又因为m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，
即1?14mn≥2mn，当且仅当m=n时等号成立，
即16mn≤1，解得mn≤116．
所以当且仅当m=n时mn取最大值116．
故答案为116．
??
14.【答案】解：(1)依题意，可得?ca=52a2?4b2=1c2=a2+b2，解得a=1，b=2，c=5，
所以双曲线C的标准方程为x2?y24=1．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，由y=kx+14x2?y2=4，
可得(4?k2)x2?2kx?5=0，则k2≠4,
由Δ>0，可得4k2+4(4?k2)×5>0，
解得?5设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由根与系数的关系可得x1+x2=2k4?k2，x1x2=?54?k2，
|AB|=1+k2|x1?x2|=1+k2?(x1+x2)2?4x1x2
=1+k2?4k2(4?k2)2+204?k2=41+k2?5?k2(4?k2)2，
原点O到直线l的距离为d=11+k2，所以S△OAB=12|AB|?d=25?k2(4?k2)2，
由S△OAB=43，得25?k2(4?k2)2=43，
即4k4?23k2+19=0，解得k=±192，±1，
故直线l的斜率k=±192，±1.
【点拨】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，属于较难题．
(1)由已知列出方程组?ca=52a2?4b2=1c2=a2+b2，解出即可得解．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，与双曲线方程联立并利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，表示出|AB|=1+k2|x1?x2|，O到直线l的距离为d=11+k2，然后计算△OAB的面积即可．
15.【答案】解：(1)由题意知，b=2，
因为一条渐近线为y=2x，所以ba=2，解得a=1，
则双曲线C的标准方程为x2?y24=1．
(2)易知A(?1,0)，B(1,0)，设直线l:x=ny+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x2?y24=1x=ny+2，整理得(4n2?1)y2+16ny+12=0，
得y1+y2=?16n4n2?1，y1y2=124n2?1
设直线MA的斜率k1=y1x1+1，设直线NB的斜率k2=y2x2?1，
k1k2=y1x1+1y2x2?1=y1(ny2+1)y2(ny1+3)=ny1y2+y1ny1y2+3y2
又ny1y2=?34(y1+y2)，
所以k1k2=?34(y1+y2)+y1?34(y1+y2)+3y2=?13．
【点拨】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于较难题．
(1)根据条件求出a，b，即可得双曲线方程；
(2)易知A(?1,0)，B(1,0)，设直线l方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求证k1k2为定值．
16.【答案】(1)双曲线C的离心率为2，可得c=2a，
所以b=c2?a2=3a，
所以双曲线C:x2a2?y23a2=1，渐近线方程为3x±y=0．
设Mx0,y0，则x02a2?y023a2=1，即3x02?y02=3a2．
因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为34，
所以3x0+y02?3x0?y02=34，即3x02?y024=34，
得3a24=34,a2=1，
所以双曲线C的方程为x2?y23=1．
(2)由(1)得F(2,0)，
设直线l的方程为x=my+2，m≠0，Px1,y1，Qx2,y2，
则由x2?y23=1,x=my+2,得3m2?1y2+12my+9=0的两根为y1，y2，
所以y1+y2=?12m3m2?1，设线段PQ中点E为x0,y0，
则y0=y1+y22=?6m3m2?1，x0=my0+2=?6m23m2?1+2=?23m2?1，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为y+6m3m2?1=?mx+23m2?1，
令y=0，则x=?83m2?1，即B?83m2?1,0，
所以BF=2+83m2?1=6m2+13m2?1．
由3m2?1y2+12my+9=0，
得y=?12m±144m2?363m2?123m2?1=?6m±3m2+13m2?1，
所以PQ=1+m2y1?y2
=1+m2?6m+3m2+13m2?1??6m?3m2+13m2?1=6m2+13m2?1，
所以PQBF=6m2+13m2?16m2+13m2?1=1，即PQBF的值为1．
【点拨】本题考查双曲线的性质，标准方程以及与直线的位置关系，难度较大，属于较难题．
(1)由双曲线C的离心率为2，可得c=2a，所以b=c2?a2=3a，设Mx0,y0，由双曲线方程得3x02?y02=3a2，渐近线方程为3x±y=0.再由点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为34求出a2，即可得解；
(2)由(1)得F(2?,?0)，设直线l的方程为x=my+2，m≠0，P(x1?,?y1)?,?Q(x2?,?y2)，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示PQ与BF，从而得到PQBF的值．
【基础巩固练习】
双曲线x2?y2=1的焦点到其渐近线的距离为(??? )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
已知双曲线x2m+y2n=1(m≠n)的离心率为233，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为(??? )
A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π12
设F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为(? ?)
A. 2 B. 32 C. 3 D. 62
双曲线x2?y24=1的渐近线方程为??????????．
已知F1，F2为双曲线C:x2?y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2=??????????．
【能力提升练习】
已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线y=x?1与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为?23，则此双曲线的方程是(???? )
A. x23?y24=1 B. x24?y23=1 C. x25?y22=1 D. x22?y25=1
直线x=32被双曲线E：x2a2?y2=1(a>0)所截得线段的长度为22，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 5+12 C. 72 D. 213
设F1是双曲线C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点P，使得PF1与以A1A2为直径的圆相切于Q，且Q是线段PF1的中点，则C的渐近线方程为(? ?)
A. y=±33x B. y=±3x C. y=±12x D. y=±2x
已知双曲线x2?y24=1的左、右顶点为A,B，焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，若AN=NM，则k的值为(?)
A. ±233 B. ±1 C. ±33 D. ±223
已知F1，F2分别为双曲线C：x23?y29=1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H(xH,yH)，G(xG,yG)分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|yH|=3|yG|，则|HG|=(? )
A. 23 B. 3 C. 33 D. 4
（多选）已知动点P在双曲线C:x2?y23=1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(? ? )
A. 双曲线C的渐近线与圆(x?2)2+y2=3相切
B. 满足|PF2|=4的点P共有2个
C. 直线y=k(x?2)与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是?3
已知点F1、F2分别为双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M(x0,y0)?(x0<0)为C的渐近线与圆x2+y2=a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|=|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为??????????
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(2,0)，且双曲线的一条渐近线的斜率为3.过双曲线左焦点且垂直于x轴的直线交双曲线左支于A，B两点，双曲线上任意一点P满足OP=mOA+nOB(O为坐标原点)，则mn的最大值是________．
【解答题综合突破】
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，且过点(2,2)．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，已知△OAB的面积为43，求直线的斜率k．
已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x?y=0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：k1k2为定值．
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0?,?b>0)的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为34．
?(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求PQBF的值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】
解：根据题意，双曲线的方程为x2?y2=1，
其焦点坐标为(±2,0)，其渐近线方程为y=±x，
则其焦点到渐近线的距离d=|2|1+1=1；
故选A．
2.【答案】C
【解析】
解：因为双曲线的离心率为233，
所以e=ca=1+b2a2=233，
所以ba=33，
设双曲线的两条渐近线所夹的锐角为α，
则tanα=33，则，
所以双曲线的两条渐近线所夹的锐角为．
故选C．??
3.【答案】C
【解析】
解：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|?|PF2|=2a，
又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，则∠PF1F2为30°，
所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2?2|PF1||F2F1|cos?30°，
所以(2a)2=(4a)2+(2c)2?2×4a×2c×32，
化为e2?23e+3=0，解得e=3．
故选C．??
4.【答案】y=±2x
【解析】
解：由题意得，a=1，b=2，
双曲线x2?y24=1的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：y=±2x．
5.【答案】34
【解析】
解：∵由双曲线的定义有PF1?PF2=PF2=2a=22，
∴PF1=2PF2=42，
双曲线的标准方程为x22?y22=1，所以F2F2=22+2=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2=PF12+PF22?F1F222PF1?PF2=(42)2+(22)2?422×42×22=34?．
故答案为34．
6.【答案】D
【解析】
解：设双曲线方程为x2a2?y2b2=1．
将y=x?1代入x2a2?y2b2=1，整理得(b2?a2)x2+2a2x?a2?a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=2a2a2?b2，则x1+x22=a2a2?b2=?23．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是x22?y25=1．
故选D．
??
7.【答案】D
【解析】
直线x=32被双曲线E：x2a2?y2=1(a>0)所截得线段的长度为22，
由双曲线的对称性可知，点(32,2)在双曲线E上，
∴94a2?22=1，解得a2=34，而b2=1，
∴c2=a2+b2=74，
故e2=c2a2=73，即e=213，
故选D．??
8.【答案】C
【解析】
解：由于O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点，
则由中位线定理可得OQ//PF2，|OQ|=12|PF2|，
由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点Q，
则|OQ|=a，|PF2|=2a，
由双曲线的定义可得，|PF1|?|PF2|=2a，
即有|PF1|=4a，
由OQ⊥PF1，由勾股定理可得a2+(2a)2=c2，
即5a2=a2+b2，则4a2=b2，即ab=12．
∴C的渐近线方程为y=±abx=±12x．
故选：C．
??
9.【答案】A
【解析】
解：已知双曲线x2?y24=1的左、右顶点为A(?1,0)，B(1,0)，
焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
所以c2a2=a2?b2a2=1?b2a2=(32)2，b=1
得到b2a2=1?34=14，即a=2，
所以椭圆的方程为y24+x2=1，
过A作斜率为k的直线l：y=k(x+1)，
与双曲线联立y=k(x+1)x2?y24=1,
整理得(4?k2)x2?2k2x?(k2+4)=0，
设M(xM,yM)，
由韦达定理得到?1×xM=?k2+44?k2，则xM=k2+44?k2，
yM=k(xM+1)=8k4?k2，故M(k2+44?k2,8k4?k2)，
与椭圆联立y=k(x+1)y24+x2=1得(k2+4)x2+2k2x+k2?4=0，
设N(xN,yN)，
由韦达定理得到?1×xN=?4?k2k2+4，则xN=4?k2k2+4，yN=k(xN+1)=8kk2+4，
所以N(4?k2k2+4,8kk2+4)，
因为AN=NM，得到k2+44?k2?4?k2k2+4=4?k2k2+4+1，
解得k=±233，
故选A．??
10.【答案】D
【解析】
? 解：不妨设直线AB的斜率大于0.如图，连接HG，HF2，GF2，
设△AF1F2的内切圆与三边分别切于点D，E，F，
则|AF1|?|AF2|=|AD|+|DF1|?(|AE|+|EF2|)
=|DF1|?|EF2|=|F1F|?|FF2|，
2a=c+xH?(c?xH)，
即xH=a，同理可得xG=a，则HG⊥F1F2．
在Rt△F2FG中，|FG|=|FF2|tan?θ2=(c?a)tanθ2．
在Rt△F2FH中，．
又|yH|=3|yG|，所以|FH|=3|FG|．
即(c?a)tanπ2?θ2=3(c?a)tanθ2，
解得tanθ2=33，tanθ=3，易得θ=π3，
所以．
故选D．??
11.【答案】ACD
【解析】
解：由双曲线的标准方程得：a=1，b=3，c=a2+b2=2．
A.双曲线C的渐近线方程为±3x+y=0，圆(x?2)2+y2=3的圆心(2,0)到渐近线的距离为|±23|(±3)2+1=3，等于圆的半径，所以双曲线C的渐近线与该圆相切，故选项A正确；
B.|PF2|=4=|F1F2|，所以以F2为圆心以4为半径的圆与双曲线左支有两个交点，与双曲线右支也有两个交点，所以满足|PF2|=4的点P共有4个，故选项B错误；
C.由y=k(x?2)x2?y23=1得(3?k2)x2+4k2x?(4k2+3)=0，由题意得，这个关于x的一元二次方程有一个正根一个负根，所以3?k2≠0?4k2+33?k2<0，解得?3
故选ACD．??
12.【答案】54
【解析】
解：如图，
因为双曲线的一条渐近线为y=?bax，
与圆x2+y2=a2联立解得M?a2c,abc，
则kF1M=abc?a2c+c=ab，
则直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|=b，
由双曲线定义可知：2a=|NF1|?|NF2|=|MN|+|MF1|?|NF2|.
∵|MN|=|NF2|+|OF2|，且|OF2|=c，
∴2a=b+c，∴b=2a?c，
∴b2=(2a?c)2=c2?4ac+4a2．
又b2=c2?a2，∴4ac?4a2=a2，∴4c=5a．
∴双曲线的离心率e=ca=54．
故答案为54．
13.【答案】116
【解析】
解：?因为双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(2,0)，所以a2+b2=4①．
双曲线的一条渐近线的斜率为3，所以ba=3②.
联立①②，解得a=1，b=3，所以双曲线方程为x2?y23=1．
又直线AB的方程为x=?2，与双曲线方程联立，
得x=?2,x2?y23=1,解得x=?2,y=3,或x=?2,y=?3.
所以A(?2,3)，B(?2,?3)．
设P(x,y)，则由OP=mOA+nOB，
可得(x,y)=m(?2,3)+n(?2,?3)，
所以x=?2(m+n)，y=3(m?n)．
又因为点P是双曲线上任意一点，
代入双曲线方程，可得4(m+n)2?9(m?n)23=1，
化简得m2+n2+14mn=1，
即m2+n2=1?14mn．
又因为m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，
即1?14mn≥2mn，当且仅当m=n时等号成立，
即16mn≤1，解得mn≤116．
所以当且仅当m=n时mn取最大值116．
故答案为116．
??
14.【答案】解：(1)依题意，可得?ca=52a2?4b2=1c2=a2+b2，解得a=1，b=2，c=5，
所以双曲线C的标准方程为x2?y24=1．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，由y=kx+14x2?y2=4，
可得(4?k2)x2?2kx?5=0，则k2≠4,
由Δ>0，可得4k2+4(4?k2)×5>0，
解得?5
由根与系数的关系可得x1+x2=2k4?k2，x1x2=?54?k2，
|AB|=1+k2|x1?x2|=1+k2?(x1+x2)2?4x1x2
=1+k2?4k2(4?k2)2+204?k2=41+k2?5?k2(4?k2)2，
原点O到直线l的距离为d=11+k2，所以S△OAB=12|AB|?d=25?k2(4?k2)2，
由S△OAB=43，得25?k2(4?k2)2=43，
即4k4?23k2+19=0，解得k=±192，±1，
故直线l的斜率k=±192，±1.
【点拨】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，属于较难题．
(1)由已知列出方程组?ca=52a2?4b2=1c2=a2+b2，解出即可得解．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，与双曲线方程联立并利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，表示出|AB|=1+k2|x1?x2|，O到直线l的距离为d=11+k2，然后计算△OAB的面积即可．
15.【答案】解：(1)由题意知，b=2，
因为一条渐近线为y=2x，所以ba=2，解得a=1，
则双曲线C的标准方程为x2?y24=1．
(2)易知A(?1,0)，B(1,0)，设直线l:x=ny+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x2?y24=1x=ny+2，整理得(4n2?1)y2+16ny+12=0，
得y1+y2=?16n4n2?1，y1y2=124n2?1
设直线MA的斜率k1=y1x1+1，设直线NB的斜率k2=y2x2?1，
k1k2=y1x1+1y2x2?1=y1(ny2+1)y2(ny1+3)=ny1y2+y1ny1y2+3y2
又ny1y2=?34(y1+y2)，
所以k1k2=?34(y1+y2)+y1?34(y1+y2)+3y2=?13．
【点拨】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于较难题．
(1)根据条件求出a，b，即可得双曲线方程；
(2)易知A(?1,0)，B(1,0)，设直线l方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求证k1k2为定值．
16.【答案】(1)双曲线C的离心率为2，可得c=2a，
所以b=c2?a2=3a，
所以双曲线C:x2a2?y23a2=1，渐近线方程为3x±y=0．
设Mx0,y0，则x02a2?y023a2=1，即3x02?y02=3a2．
因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为34，
所以3x0+y02?3x0?y02=34，即3x02?y024=34，
得3a24=34,a2=1，
所以双曲线C的方程为x2?y23=1．
(2)由(1)得F(2,0)，
设直线l的方程为x=my+2，m≠0，Px1,y1，Qx2,y2，
则由x2?y23=1,x=my+2,得3m2?1y2+12my+9=0的两根为y1，y2，
所以y1+y2=?12m3m2?1，设线段PQ中点E为x0,y0，
则y0=y1+y22=?6m3m2?1，x0=my0+2=?6m23m2?1+2=?23m2?1，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为y+6m3m2?1=?mx+23m2?1，
令y=0，则x=?83m2?1，即B?83m2?1,0，
所以BF=2+83m2?1=6m2+13m2?1．
由3m2?1y2+12my+9=0，
得y=?12m±144m2?363m2?123m2?1=?6m±3m2+13m2?1，
所以PQ=1+m2y1?y2
=1+m2?6m+3m2+13m2?1??6m?3m2+13m2?1=6m2+13m2?1，
所以PQBF=6m2+13m2?16m2+13m2?1=1，即PQBF的值为1．
【点拨】本题考查双曲线的性质，标准方程以及与直线的位置关系，难度较大，属于较难题．
(1)由双曲线C的离心率为2，可得c=2a，所以b=c2?a2=3a，设Mx0,y0，由双曲线方程得3x02?y02=3a2，渐近线方程为3x±y=0.再由点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为34求出a2，即可得解；
(2)由(1)得F(2?,?0)，设直线l的方程为x=my+2，m≠0，P(x1?,?y1)?,?Q(x2?,?y2)，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示PQ与BF，从而得到PQBF的值．