5.2.3简单复合函数的导数-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共17张PPT)

(共17张PPT)
5.2.3简单复合函数的导数
复习
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数）
，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx
，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx
，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax
(a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex
，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax
(a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx
，则
复习
导数运算法则
1.[f(x)±g(x)]'=f
'(x)±g
'(x)
2.[f(x)·g(x)]'=f
'(x)g(x)+f(x)g
'(x)
特别的，[cf(x)]'=c
'f(x)+cf
'(x)=cf
'(x)
探究
求函数y＝(2x＋3)2的导数
解：以yx'表示对x求导
y＝(2x＋3)2＝4x2＋12x＋9
yx'＝(4x2)'＋(12x)'＋(9)'＝8x＋12
y＝(2x＋3)2可以看成是由y＝u2及u＝2x＋3复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(u2)'＝2u,
ux'＝2,
2u＝2(2x＋3)
则yx'＝8x＋12＝2×2u＝yu'×ux'
故yx'＝yu'×ux'
探究
探究
求函数y＝sin2x的导数
解：以yx'表示对x求导
y＝sin2x＝2sinxcosx
yx'＝(2sinxcosx)'＝2[(sinx)'cosx＋sinx(cosx)'
]＝2(cos2x-sin2x)=2cos2x
y＝sin2x可以看成是由y＝sinu及u＝2x复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(sinu)'＝cosu,
ux'＝2,
cosu＝cos2x
则yx'＝2cos2x＝2×cosu＝yu'×ux'
故yx'＝yu'×ux'
探究
思考
如何求函数y＝ln(2x－1)的导数
解：y＝ln(2x－1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x－1复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(lnu)'＝
,
ux'＝2,
则yx'＝yu'×ux'=
×2=
探究
新知
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f
(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f
(u)和u＝g(x)的复合函数，
记作y＝f
(g(x))
以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1)
（2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
(1)y=log2u及u=x+1
(2)y=u3及u=3x+5
(3)y=eu及u=－0.05x+3
练习
新知
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f
(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f
(u)和u＝g(x)的复合函数，
记作y＝f
(g(x))
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f
(g(x))的导数和函数y＝f
(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为y′x＝yu'×ux'
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
例6
求以下函数的导数
（1）y＝(3x+5)3;（2）y＝e－0.05x＋1
解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数
根据复合函数求导法则，有
yx'＝yu'×ux'=(u3)'×(3x+5)'=3u2×3=9(3x+5)2.
(2)y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数
根据复合函数求导法则，有
yx'＝yu'×ux'=(eu)'×(－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1.
例题
复合函数求导的步骤
分解：选定中间变量，正确分解复合关系
↓
求导：步骤求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注
意中间变量对自变量求导,即先求yu'，再求ux'.
↓
回代：计算yu'·ux'，并把中间变量转化为自变量的函数
归纳
练习
P81
课本
练习1
练习
P81
课本
练习1
练习
P81
课本
练习1
例题
例7
某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm)
,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式
.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义。
解：函数
是y=18sinu与
的复合函数
则
当t=3时，
它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s
小结
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f
(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f
(u)和u＝g(x)的复合函数，
记作y＝f
(g(x))
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f
(g(x))的导数和函数y＝f
(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为y′x＝yu'×ux'
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
3.复合函数求导的步骤：分解→求导→回代
作业
P81
课本
练习
2、3