科学命题同步练习之24.3正多边形和圆（含解析）

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科学命题同步练习之24.3正多边形和圆
一、选择题
已知正六边形的边长为
，则它的内切圆的半径为
A．
B．
C．
D．
如图，
是正五边形
的外接圆，则正五边形的中心角
的度数是
A．
B．
C．
D．
正方形
内接于
，若
的半径是
，则正方形的边长是
A．
B．
C．
D．
如图，已知
的周长等于
，则它的内接正六边形
的面积是
A．
B．
C．
D．
正六边形的周长为
，则它的面积为
A．
B．
C．
D．
一元钱硬币的直径约为
，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
A．
B．
C．
D．
二、填空题
有一个边长为
的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是
．
同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为
．
颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为
米的正六边形，那么这个地基的面积是
．
如图，正六边形
中，
是边
的中点，连接
，则
．
边长为
的等边三角形，记为第
个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第
个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第
个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第
个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第
个正六边形的边长是
．
三、解答题
如图，已知正三角形
内接于
，
是
的内接正十二边形的一条边长，连接
，若
，求
的半径．
在边长是
厘米的正方形内画一个最大的圆，求图中阴影部分的面积．（
取
）
如图，点
，
分别是正六方形
的边
，
上的点，且
，
交
于点
．
(1)
求证：．
(2)
求
的度数．
答案
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】由题意得，，
，
．
【知识点】正多边形与圆
2.
【答案】A
【解析】
是正五边形
的外接圆，
．
【知识点】正多边形与圆
3.
【答案】B
【知识点】正多边形与圆
4.
【答案】A
【解析】过点
作
于点
，连接
，，
，
的周长等于
，
的半径为：，
，，
是等边三角形，
，
，
．
．
故选
A．
【知识点】正多边形与圆
5.
【答案】D
【解析】如图，连接
，，过
作
于
，
，
，
是等边三角形，
正六边形
的周长为
，
，
，
，
，
，
该六边形的面积为：．
故选：D．
【知识点】正多边形与圆
6.
【答案】A
【知识点】正多边形与圆
二、填空题
7.
【答案】
【知识点】正多边形与圆
8.
【答案】
【解析】设
的半径为
，
的内接正方形
，
如图，过
作
于
，连接
，，
即
为正方形
的边心距，
四边形
是正方形，
是正方形
的外接圆，
为正方形
的中心，
，
，，
，，
，
设
的内接正
，
如图，过
作
于
，连接
，
即
为正
的边心距，
正
是
的外接圆，
，
，
．
【知识点】正多边形与圆
9.
【答案】
【解析】如图所示，连接
，，过点
作
于
．
六边形
是正六边形，
．
，
是等边三角形．
．
．
．
．
【知识点】正多边形与圆
10.
【答案】
【解析】如图，连接
，设
，
正六边形
，
，
为等腰三角形，
，，，
，
，
．
【知识点】正多边形与圆、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
11.
【答案】
【解析】如图
，连接
，，．
六边形
是正六边形，
，，，，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
分别为
，
中点，
，
，
六边形
是正六边形，
是等边三角形，
，
，
同理
，
即
，
等边三角形
的边长是
，
第一个正六边形
的边长是
，即等边三角形
的边长的
．
如图
，过
作
于
，过
作
于
，
则
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，（已证），
，
，
同理
，
，即第二个等边三角形的边长是
，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是
；
同理第第三个等边三角形的边长是
，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是
；
同理第四个等边三角形的边长是
，第四个正六边形的边长是
；
第五个等边三角形的边长是
，第五个正六边形的边长是
；
第
个正六边形的边长是
，
第七个正六边形的边长是
．
【知识点】正多边形与圆、平行四边形的判定、用代数式表示规律、斜边、直角边
三、解答题
12.
【答案】连接
，，，如图所示：
等边
内接于
，
为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即
的半径为
．
【知识点】等腰直角三角形、正多边形与圆
13.
【答案】圆的面积：
阴影部分的面积：
答：图中阴影部分的面积是
平方厘米．
【知识点】正方形的面积、圆的面积、正多边形与圆
14.
【答案】
(1)
易证
．
(2)
，
．
【知识点】正多边形与圆、全等三角形的性质与判定
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