2021-2022学年人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习（word版含答案）

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系

一、选择题（共7小题；共35分）
1. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2?2k+1x?k2+2k?1=0 的根的情况为 ??
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定

2. 关于 x 的一元二次方程 m?1x2+5x+m2?3m+2=0 的常数项为 0，则 m 的值等于 ??
A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 0

3. 若方程 2xkx?4?x2+6=0 没有实数根，则 k 的最小整数值是 ??
A. 2 B. 1 C. ?1 D. 不存在

4. 下列关于 x 的一元二次方程的四个说法中，正确的是 ??
A. x2+4x+5=22 有实数根 B. x2+4x+5=32 有实数根
C. x2+4x+5=53 有实数根 D. x2+4x+5=aa≥1 有实数根

5. 已知 α，β 是关于 x 的一元二次方程 x2+2m+3x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1α+1β=?1，则 m 的值是 ??
A. 3 B. 1 C. 3 或 ?1 D. ?3 或 1

6. 关于 x 的一元二次方程 a?1x2?2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ??
A. 2 B. 1 C. 0 D. ?1

7. 已知实数 a，b 分别满足 a2?6a+4=0，b2?6b+4=0，且 a≠b，则 ba+ab 的值是 ??
A. 7 B. ?7 C. 11 D. ?11
二、填空题（共5小题；共25分）
8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2?x?3=0 的两个实数根分别为 α，β，则 α+3×β+3= ?．

9. 若关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+3=0 有实数根，则 k 的非负整数值是 ?．

10. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2?4x+3=0 的两根，则 x1+x2?x1x2= ?．

11. 若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程 x2?6x+4=0 的两个实数根，则矩形 ABCD 的周长为 ?．

12. 如果关于 x 的方程 x2+3x?k=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ?．
三、解答题（共7小题；13题10分，14-15题各12分，16-19题各14分，共90分）
13. 阅读材料：为解方程 x2?12?5x2?1+4=0，我们可以将 x2?1 看作一个整体，然后设 x2?1=y，那么原方程可化为 y2?5y+4=0?①，解得 y1=1，y2=4．当 y=1 时，x2?1=1，则 x2=2，即 x=±2；当 y=4 时，x2?1=4，则 x2=5，即 x=±5，故原方程的解为 x1=2，x2=?2，x3=5，x4=?5．解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程 ① 的过程中，利用 ? 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程 x4?x2?6=0．

14. 解方程 xx?1=2，有学生给出如下解法：
∵ xx?1=2=1×2=?1×?2，
∴ x=1,x?1=2 或 x=2,x?1=1 或 x=?1,x?1=?2 或 x=?2,x?1=?1.
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x=2 或 x=?1．
∴ x=2 或 x=?1．
请问：这个解法对吗?试说明你的理由．

15. 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2?mx+2m?1=0 的两个实数根，若 x12+x22=23, 求 m 的值．

16. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2?4k+1x+3k+3=0（k 是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1
17. 关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+m2?1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围．
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

18. 已知 x1，x2，是一元二次方程 x2?2x+k+2=0 的两个实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在实数 k，使得等式 1x1+1x2=k?2 成立?如果存在，请求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2?2k+1x+12k2?2=0．
（1）求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1?x2=3，求 k 的值．
答案
1. C 【解析】在 x2?2k+1x?k2+2k?1=0 中，a=1，b=?2k+1，c=?k2+2k?1，
∴ Δ=b2?4ac=?2k+12?4×1×?k2+2k?1=8+8k2>0，
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
2. B
3. A
4. D
5. A
6. C
7. A 【解析】∵ a2?6a＋4=0，b2?6b+4=0 且 a≠b，
∴ a+b=6，ab=4．
∴ ba+ab=b2+a2ab=a+b2?2abab=36?2×44=7．
8. 9
9. 1
10. 1
【解析】因为 x1，x2 是一元二次方程 x2?4x+3=0 的两根，
所以 x1+x2=4，x1x2=3．
则 x1+x2?x1x2=4?3=1．
故答案是：1．
11. 12
12. k>?94
【解析】根据题意得 Δ=32?4?k>0，
解得 k>?94．
13. （1） 换元
??????（2） 设 x2=y，那么原方程可化为 y2?y?6=0，
解得 y1=3，y2=?2．
当 y=3 时，x2=3，解得 x=±3；
当 y=?2 时，x2=?2 不符合题意，舍去．
故原方程的解为 x1=3，x2=?3．
14. 方程的根 x=2 或 x=?1 是对的，但方法错误．
理由：两个数的积是2，这两个数的情况有无数种，不一定只是所列出的这几种 .
15. 依题意，x1+x2=m，x1?x2=2m?1，
∵x12+x22=x1+x22?2x1?x2=23，
∴m2?22m?1=23，
解得 m=7 或 ?3．
检验：当 m=7 时，原方程为 x2?7x+13=0，
Δ=?72?4×1×13<0，
∴m=7（不合题意，舍去）．
当 m=?3 时，原方程为 x2+3x?7=0，
Δ=32?4×1×?7>0，
∴m=?3．
16. （1） Δ=4k+12?4k3k+3=2k?12，
∵ k 是整数，
∴ k≠12，2k?1≠0，
∴ Δ=2k?12>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
??????（2） 解方程得 x=4k+1±2k?122k，
∴ x=3 或 x=1+1k，
∵ k 是整数，
∴ 1k≤1，1+1k≤2<3．
又 ∵ x1 ∴ x1=1+1k，x2=3，
∴ y=3?1+1k?2=2?1k?2=?1k．
17. （1） 由题意知，Δ=2m+12?4m2?1=4m+5>0，
解得 m>?54．
??????（2） 当 m=1 时，原方程为 x2+3x=0，即 xx+3=0，
∴x1=0，x2=?3．
（m 取其他符合题意的值也可以）
18. （1） ∵ 一元二次方程 x2?2x+k+2=0 有两个实数根，
∴b2?4ac=?22?4k+2≥0，
解得 k≤?1．
??????（2） 存在．
由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=2，x1x2=k+2 ，
∵1x1+1x2=k?2，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k?2，
解得 k=±6，经检验 k=±6 是 2k+2=k?2 的根．
又由（1）知 k≤?1，
∴k=?6．
19. （1） Δ=2k+12?4×12k2?2=2k2+4k+9=2k+12+7.
∵ 无论 k 为何实数，2k+12≥0，
∴Δ=2k+12+7>0．
∴ 无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
??????（2） 由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=2k+1，x1x2=12k2?2．
∵x1?x2=3，
∴x1?x22=9，
∴x1+x22?4x1x2=9，
∴2k+12?4×12k2?2=9，
化简得：k2+2k=0，解得 k=0,?2．