第2课时 列分式方程解决实际问题
【基础练习】
知识点
列分式方程解决实际问题
1.[2020·福建]
我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是
( )
A.3(x-1)=
B.=3
C.3x-1=
D.=3
2.[2020·荆州]
八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为x
km/h,则可列方程为
( )
A.=20
B.=20
C.=
D.=
3.[2020·长沙]
随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同,设更新技术前每天生产x万件,依据题意得
( )
A.=
B.=
C.=
D.=
4.[2020·宜宾]
学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本x元,则列方程正确的是
( )
A.=
B.=
C.=
D.=+8
5.[2020·绥化]
某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍,结果比原计划少用2天,设原计划每天加工零件x个,可列方程:
.?
6.[2020·襄阳]
在襄阳市创建全国文明城市的工作中,市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后,现在每天用水量是原来每天用水量的,这样120吨水可多用3天,求现在每天用水量是多少吨.
7.[2020·常德]
第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆.
【能力提升】
8.[2020·扬州]
某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.
进货单
商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.
9.[2020·贵港]
在今年新冠肺炎防疫工作中,某公司购买了A,B两种不同型号的口罩,已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元/个,且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同.
(1)A,B两种型号口罩的单价各是多少元/个?
(2)根据疫情发展情况,该公司还需要增加购买一些口罩,增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买A型口罩的数量最多是多少个?
10.[2020·连云港]
甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共捐款100000元,乙公司共捐款140000元,下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
图2
(1)甲、乙两公司各有多少人?
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种防疫物资,A种防疫物资每箱15000元,B种防疫物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案?请设计出来(注:A,B两种防疫物资均需购买,并按整箱配送).
第2课时 列分式方程解决实际问题
1.A 2.C 3.B 4.B
5.=+2 [解析]
原计划每天加工零件x个,则实际每天加工零件1.5x个,所以原计划的工作时间=(天),实际的工作时间=(天),根据“结果比原计划少用2天”可列方程=+2.
6.[解析]
本题考查了列分式方程解应用题,解题的关键是找出题中的等量关系,注意解分式方程要验根.
解:设原来每天用水量为x吨,则现在每天用水量是x吨.根据题意,得
=3,即=3,解得x=10.
经检验,x=10是原方程的解,且符合实际,则x=8.
答:现在每天用水量是8吨.
7.解:设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆.
由题意,得=140,解得x=4.
经检验,x=4是原分式方程的解,且符合题意.
15x=15×4=60.
答:该地4G的下载速度是每秒4兆,5G的下载速度是每秒60兆.
8.解:设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件.
依题意,得=40,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
∴(1+50%)x=60,=80,=120.
答:甲商品的进价为60元/件,乙商品的进价为40元/件,购进甲商品120件,购进乙商品80件.
9.解:(1)设A型口罩的单价为x元/个,则B型口罩的单价为(x-1.5)元/个.
根据题意,得=,
解得x=4.
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意.
所以x-1.5=2.5.
答:A型口罩的单价为4元/个,B型口罩的单价为2.5元/个.
(2)设增加购买A型口罩的数量是m个.
根据题意,得2.5×2m+4m≤3800.
解不等式,得m≤422.
因为m为正整数,所以正整数m的最大值为422.
答:增加购买A型口罩的数量最多是422个.
10.[解析]
(1)人均捐款数=捐款总数÷总人数.由题意设乙公司有x人,则甲公司有(x-30)人,再根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍列出方程,从而求出甲、乙两公司的人数.
(2)假设购买A种防疫物资m箱,购买B种防疫物资n箱,根据题意列出一个二元一次方程,用含n的式子表示出m,并且根据n≥10,从而求出m与n的正整数值.
解:(1)设乙公司有x人,则甲公司有(x-30)人.由题意,得
×=,解得x=180.
经检验,x=180是原方程的解,且符合题意.
x-30=150.
答:甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买A种防疫物资m箱,购买B种防疫物资n箱.由题意,得
15000m+12000n=100000+140000,
整理得m=16-n.
又因为n≥10,且m,n为正整数,
所以
答:有2种购买方案:购买8箱A种防疫物资、10箱B种防疫物资,或购买4箱A种防疫物资、15箱B种防疫物资.15.3 第1课时 分式方程及其解法
【基础练习】
知识点
1 分式方程
1.下列各式中,是分式方程的是
( )
A.+3
B.=
C.=4
D.=(其中a为不等于0和1的常数)
知识点
2 分式方程的解法
2.把分式方程=转化为一元一次方程时,方程两边需同乘
( )
A.x
B.x-2
C.x+4
D.x(x+4)
3.解分式方程-1=,去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,则下列结论:①x=1是原分式方程的解;②x=1不是原分式方程的解;③x=1是方程x(x+2)-(x-1)(x+2)=3的解;④原分式方程无解.其中,正确的结论有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.在解分式方程=2+时,琪琪同学的解法如下:
解:方程两边同时乘(x-3),得x=2+3,……①
解得x=5.……②
经检验,x=5是原分式方程的解.……③
问题:
(1)你认为琪琪同学的解法在第 步出现了错误(填序号),错误的原因
是 ;?
(2)请你解这个方程.
5.
解下列分式方程:
(1)=;
(2)[2020·镇江]=+1;
(3)[2020·常州]=2;
(4)[2020·陕西]=1.
【能力提升】
6.[2020·枣庄]
对于实数a,b,定义一种新运算“?”为:a?b=,这里等式右边是实数运算.例如:1?3==-.则方程x?(-2)=-1的解是
( )
A.x=4
B.x=5
C.x=6
D.x=7
7.当a= 时,关于x的方程=1的解与方程=3的解相同.?
8.解分式方程:=.
9.如图1,点A,B在数轴上,它们对应的数分别为-2,,且点A,B到原点O的距离相等,求x的值.
图1
10.符号“ ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为 =ad-bc.请你根据上述规定求出等式 =1中x的值.
11.关于x的方程x+=c+的解为x1=c,x2=;x-=c-的解为x1=c,x2=;x+=c+的解为x1=c,x2=;x+=c+的解为x1=c,x2=……
(1)请你根据上述方程及其解的特征,猜想关于x的方程x+=c+(m≠0)的解是什么;
(2)求关于y的方程y+=a+的解.
15.3 第1课时 分式方程及其解法
1.C
2.D [解析]
∵该分式方程只含有两个分母(x+4)和x,且这两个分母不能分解因式,
∴两个分母的积x(x+4)便是最简公分母.
∴分式方程两边同乘x(x+4)便能转化为一元一次方程.故选D.
3.C [解析]
去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1.
①当x=1时,最简公分母(x-1)(x+2)=0,则x=1不是原分式方程的解,此结论错误;
②x=1不是原分式方程的解,此结论正确;
③x=1是方程x(x+2)-(x-1)(x+2)=3的解,此结论正确;
④原分式方程无解,此结论正确.
故选C.
4.解:(1)① 常数项2漏乘(x-3)
(2)方程两边同时乘(x-3),得x=2(x-3)+3.
解得x=3.
检验:当x=3时,x-3=0,因此x=3不是原分式方程的解.所以原分式方程无解.
5.解:(1)方程两边同乘(x+2)(x-2),得
x+2=4,解得x=2.
检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0,
所以x=2不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
(2)方程两边同乘(x+3),得2x=1+x+3,
解得x=4.
检验:当x=4时,x+3≠0,
所以原分式方程的解为x=4.
(3)方程两边同乘(x-1),得x-2=2(x-1),
解得x=0.
检验:当x=0时,x-1≠0.
所以原分式方程的解为x=0.
(4)去分母,得(x-2)2-3x=x(x-2).
去括号,得x2-4x+4-3x=x2-2x.
移项、合并同类项,得-5x=-4.
系数化为1,得x=.
检验:当x=时,x(x-2)≠0.
所以原分式方程的解是x=.
6.B [解析]
根据题意,得=-1.
去分母,得1=2-(x-4).
解得x=5.
经检验:x=5是分式方程的解.
故选B.
7. [解析]
由方程=3得x-4=3x,解得x=-2.经检验x=-2是方程=3的解.又因为关于x的方程=1的解与方程=3的解相同,因此x=-2也是方程=1的解,所以=1,解得a=.当a=时,a-1≠0,故a=满足条件.
8.解:原方程可化为=,
两边同时乘(2x+1)(2x-1),得x+1=3(2x-1)-2(2x+1),
即x+1=6x-3-4x-2.
解得x=6.
经检验,x=6是原分式方程的解.
∴原方程的解是x=6.
9.解:根据题意得=2.
去分母,得x=2(x+1).
去括号,得x=2x+2,
解得x=-2.
经检验,x=-2是原方程的解.
故x的值为-2.
10.解:由二阶行列式的运算法则得
=1.
解得x=4.
经检验,x=4是该分式方程的解.
所以x的值为4.
11.解:(1)x1=c,x2=.
(2)y+=a+可变形为y-1+=a-1+,所以y-1=a-1或y-1=.
所以原方程的解为y1=a,y2=.
