江苏省无锡市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

无锡市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试
数学学科
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设向量false，false，则下列结论正确的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知复数false，则下列说法正确的是（ ）
A.false的虚部为false
B.false在复平面内对应的点在第二象限
C.false
D.false的共轭复数为false
3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少有一名男同学与都是男同学
B.至少有一名男同学与都是女同学
C.恰有一名男同学与恰有两名男同学
D.至少有一名男同学与至少有一名女同学
4.在false中，false，false，false，则此三角形解的情况是（ ）
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.设false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面，则（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，则false
D.若false，false，则false
7.如图，点false是正方体false的棱false的中点，则异面直线false与false所成角的余弦值是（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A.平均数为3 B.标准差为false
C.众数为2和3 D.85%分位数为4.5
10.下列说法正确的是（ ）
A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B.若false，false是互斥事件，则false，false
C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人
D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是false
11.下列结论正确的是（ ）
A.在false中，若false，则false
B.在false中，若false，则false是锐角三角形
C.若false，则三角形false为等腰三角形
D.在锐角三角形false中，false
12.对于给定的false，其外心为false，重心为false，垂心为false，则下列结论正确的有（ ）
A.false
B.false
C.过点false的直线false交false，false于false，false，若false，false，则false
D.false与false共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在false中，false，false，false，则其外接圆的面积为______.
14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”false，false底面false，false，false，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.
15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为false，false，false，已知三个社团他都能进入的概率为false，至少进入一个社团的概率为false，且false，则false的值是______.
16.如图，在四边形false中，false，false，false，false，将false沿false折起，使平面false平面false，构成三棱锥false，则在三棱锥false中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）
①平面false平面false
②直线false与平面false所成角是false
③平面false平面false
④二面角false余弦值为false
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量false，false，false，false.
（1）若四边形false是平行四边形，求false，false的值
（2）若false为等腰直角三角形，且false为直角，求false，false的值.
18.（12分）
已知复数false在复平面内对应的点位于第二象限，且满足false.
（1）求复数false；
（2）设复数false（false）满足：false为纯虚数，false，求false的值.
19.（12分）
在false中，角false、false、false对应的边分别是false、false、false，已知false.
（1）求角false的大小；
（2）若false的面积false，false，求false的值.
20.（12分）
某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过false的部分按0.5元false收费，超过false但不超过false的部分按0.8元false收费，超过false的部分按1.0元false收费.
（1）求某户居民用电费用false（单位：元）关于月用电量false（单位：false）的函数解析式
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求false，false的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.
21.（12分）
如图，在直三棱柱false中，false，false分别为false，false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）若平面false平面false，求证：false.
22.（12分）
夜晚，在侨中false栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点false，false，其中false指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出false长度为false，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的false，false两点，测得false，false，false，false，学习小组根据上述条件计算出false长度，并将其与false的实际长度false进行比较，若误差介于false米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.
（1）通过计算说明百度地图测距是否准确？（false）
（2）如图（2），小组在false处测得完美大厦主楼楼顶false在西偏北false方向上，在false处测得楼顶false在西偏北false方向上，且仰角false；通过计算得false，false，false，若百度地图测出的false是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.
无锡市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试
数学学科答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.【答案】C
解：对于A，false，false，故A选项错误；
对于B，false，故B选项错误；
对于C，false，所以false，故C选项正确；
对于D，false，所以两个向量false，false不平行，故D选项错误，
故选C.
2.【答案】D
解：∵false，
A.false的虚部为4，故A错误；
B.false对应的点为false，在第一象限，故B错误；
C.false，故C错误；
D.false的共轭复数为false，故D正确；
故选D.
3.【答案】C
解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，
在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B错误；
在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C正确；
在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
4.【答案】B
解：由正弦定理得：false，则false，
因为false，且false，所以false可以为锐角也可以为钝角，
因此三角形解的情况是两解.
故选B.
5.【答案】B
解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，
则另外两个三角形上的数字之和恰为false.
从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：
false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共10个，
设事件false“取出的两个数字之和为6”，
则事件false包含的基本事件有：false，false，共2个，
因此该图形为“和谐图形”的概率为false，故选B.
6.【答案】C
解：A.若false，false，则false；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A不正确；
B.若false，false，则false或false，故B不正确；
C.若false，false，则false；此命题正确，因为false，则一定存在直线false在false，使得false，又false可得出false，由面面垂直的判定定理知，false，故C正确；
D.若false，false，则false或false，false异面，故D不正确.
故选C.
7.【答案】A
解：如图，连接false，∵false，false，
∴四边形false为平行四边形，则false，
则false为异面直线false与false所成角，连接false.
设正方体的棱长为2，则false，false.
∴false.
即异面直线false与false所成角的余弦值是false.
故选A.
8.【答案】A
解：设球的半径为false，所以球的体积为false.
设圆锥的高为false，因为圆锥与球的体积相等，∴false，∴false.
圆锥的母线为：false，球的表面积为：false.
圆锥的侧面积为：false，圆锥侧面积与球面面积之比为false.
故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.【答案】AC
解：平均数为false，故A正确；
标准差为false，故B错误；
观察数据可得众数为2和3，故C正确；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.
则false，∴第85百分位数为5，故D错误.
故选AC.
10.【答案】BCD
解：对于A，∵他们各自解出的概率分别是false，false，则此题不能解出的概率为
false，则此题能解出的概率为false，故A错；
对于B，若false，false是互斥事件，则false，false，故B正确；
对于C，高级教师应抽取false人，故C正确；
对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是false，故D正确.
故选CD.
11.【答案】AD
解：A.在false中，由false，故A正确.
B.若false，则false，又因为false，
所以false为锐角，但false不一定为锐角三角形，故B错误.
C.∵false，∴false或false，
∴false或false，所以三角形false为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
D.在锐角三角形false中，∵false，∴false，
即false，同理：false，∴false，故D正确，
故选AD.
12.【答案】ACD
解：对于A，由垂径定理可知，外心false在false上的射影为线段false的中点，
所以false，故A正确；
对于B，若false，
由false，则false，即false，
同理false，false，即点false为false的垂心.
又false为false的垂心，则有false，故B不正确；
对于C，因为false、false、false三点共线，
故存在实数false，使得false，
又false为false的重心，故false，
所以false，则false，故C正确；
对于D，因为false，
所以false与false垂直，又false为false的垂心，则false与false垂直，
所以false与false共线，故D正确，
故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】false
解：在false中，false，false，故false，
由余弦定理可得，false，
则利用正弦定理可得：false的外接圆的直径为false，可得：
false的外接圆的半径为false，故false的外接圆的面积为false，故答案为：false.
false，则其外接圆的面积为______.
14.【答案】3；false
解：如图所示：
易知该“阳马”的侧棱长为false，
false，false，故最长的侧棱为3，
由条件易得：阳马false的外接球印是以false、false、false为棱长的长方体的外接球.
设其半径为false，则false，解得false，
所以外接球表面积false，故答案为3；false.
15.【答案】false
解：由题知三个社团都能进入的概率为false，即false，
又因为至少进入一个社团的概率为false，即一个社团都没能进入的概率为false.
即false，整理得false.
故答案为false.
16.【答案】②③④
解：在四边形false中，由已知可得false，
假设平面false平面false，又平面false平面false，
且平面false平面false，可得false平面false，
有false，与false矛盾，则假设错误，故①错误；
在四边形false中，由已知可得false，
又平面false平面false，且平面false平面false，则false平面false，
false为直线false与平面false所成角是false，故②正确；
由判断②时可知，false平面false，则false，
又false，false，则false平面false，
而false平面false，则平面false平面false，故③正确；
由判断③时可知，false平面false，则false为二面角false的平面角，
设false，则false，
由false，得false，得false，故④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）因为false，false，false，false，
所以false，false，
由false，得false，false.………………5分
（2）因为false，false，false为直角，
所以false，false.
又false，所以false.
联立false，解得false或false.………………10分
18.解：（1）∵false，∴false，
又复数false在复平面内对应的点位于第二象限，∴false；…………4分
（2）∵false（false），∴false，
∵false为纯虚数，∴false，且false，
由false，得false，
联立可得false，false或false，false，∴false.…………12分
19.解：（1）由false，得false，
即false，解得false或false（舍去）.
因为false，所以false.………………6分
（2）由false，得到false，又false，解得false，
由余弦定理得false，故false.
又由正弦定理得false.…………12分
20.解：（1）当false时，false；
当false时，false；
当false时，false.
所以false与false之间的函数解析式为false…………4分
（2）由（1）可知，当false时，false，即用电量低于400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知false
解得false，false.…………8分
（3）设75%分位数为false，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为false，
用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数false在false内，
所以false，解得false，
即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分
21.证明：（1）在直三棱柱false中，
四边形false是平行四边形，所以false.
在false中，false，false分别为false，false的中点，故false，
所以false.又false平面false，false平面false，
所以false平面false.…………6分
（2）如图，在平面false内，过false作false于false，
因为平面false平面false，平面false平面false，
false平面false，又false平面false，所以false，
在直三棱柱false中，false平面false，false平面false，
所以false.
因为false，false平面false，false平面false，
所以false平面false.
因为false平面false，所以false.…………12分
22.【答案】解：（1）设false，等腰false中，false，
在false中，false，false，false，可得false.
由正弦定理得false，解得false；
在false中，由余弦定理得false，
∵false，∴false，
∵false，∴百度地图测距是准确的.…………4分
（2）由已知false，在false中，false，
设false，false，
由余弦定理得，false，false，
false，
故false，解得false，所以false，false，
在false中，false，
故false，
故测算完美大厦主楼的高度约为false.…………12分