2021—2022学年人教版数学九年级上册24.4 弧长和扇形面积 同步测试（word含答案）

11709400112141002021人教版九年级上册数学第二十四章 24.4 弧长和扇形面积 同步测试
（总分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（36分）
（3分）在半径为 1 的圆中，弧长等于 2π3 的弧所对的圆心角是 ??
A． 30? B． 60? C． 120? D． 150?
（3分）如果 ⊙O 的半径为 3，扇形的面积为 3π，则扇形的圆心角度数是 ??
A． 150? B． 120? C． 60? D． 45?
（3分）如图，有一圆 O 通过 △ABC 的三个顶点．若 ∠B=75?，∠C=60?，且 BC 的长度为 4π，则 BC 的长度为 ??
A．8 B．82 C．16 D．162
（3分）如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是 ??
A．π4 B．12+π4 C．π2 D．12+π2
（3分）半径为 6，圆心角为 120? 的扇形的面积是 ??
A．3π B．6π C．9π D．12π
（3分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=4，CD 是 ⊙O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交于点 C，若 ∠A=∠C，则 BD 的长为 ??
A． 13π B． 23π C． 43π D． 83π
（3分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，∠ABD=60?，CD=23，则阴影部分的面积为 ??
A． 23π B． π C． 2π D． 4π
（3分）已知圆锥的底面半径为 3?cm，母线长为 4?cm，则圆锥的全面积是 ??
A． 15π?cm2 B． 21π?cm2 C． 20π?cm2 D． 24π?cm2
（3分）如图，已知点 C，D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，弧 CD 的长为 13π，则图中阴影部分的面积为 ??
A． 16π B． 316π C． 124π D． 112π+34
（3分）已知扇形的圆心角为 45?，半径长为 12，则该扇形的弧长为 ??
A． 3π4 B． 2π C． 3π D． 12π
（3分）一个扇形的圆心角是 120?，面积为 3π?cm2，那么这个扇形的半径是 ??
A．1?cm B．3?cm C．6?cm D．9?cm
（3分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，M，N 是 AB（异于 A，B）上两点，C 是 MN 上一动点，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，∠BAC 的平分线交 CD 于点 E．当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C，E 两点的运动路径长的比是 ??
A． 2 B． π2 C． 32 D． 52
二、填空题（24分）
（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥底面圆的半径 r=2?cm，扇形的圆心角 θ=120?，则该圆锥的母线长 l 为 cm．
（3分）用半径为 30，圆心角为 120? 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ．
（3分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，连接 AC，BC，∠ACB 的平分线 CD 交 ⊙O 于点 D，若 ⊙O 的半径是 4，则 AD 的长是 ．
（3分）如图，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 的切线与直径 AB 的延长线交于点 D．若 AB=2，∠D=30?，则劣弧 AC 的长为 ．
（3分）如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B，C，D 均在圆上，若 AB=BC，CD=DE，连接 OB，OD，则图中阴影部分的面积为 ．
（3分）如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=2，以 B 为圆心，BC 为半径画弧，交 AD 于点 E，则图中阴影部分的面积是 ．
（3分）已知圆锥的底面半径是 2?cm，母线长为 3?cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
（3分）要在三角形广场的三个角处各修一个半径为 2?m 的扇形草坪，则三个扇形弧长的和为 m．
三、解答题（60分）
（10分）如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 切线交 AB 的延长线上于 D，且已知 ∠A=22.5?．
(1) 求 ∠D 的度数；
(2) 若弦 CF⊥AB，垂足为 E，且 CF=2，求图中阴影部分的面积．
（10分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作 ⊙O，分别交 AC，BC 于点 D，E．
(1) 求证：BE=CE；
(2) 当 ∠BAC=40? 时，求 ∠ADE 的度数；
(3) 过点 E 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 F，当 AO=EF=2 时，求图中阴影部分的面积．
（10分）如图，△ABC 内接于 ⊙O，且 AB=AC，BD 是 ⊙O 的直径，AD 与 BC 交于点 E，F 在 DA 的延长线上，且 BF=BE．
(1) 试判断 BF 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2) 若 BF=6，∠C=30?，求阴影的面积．
（10分）如图，以 AB 为直径的 ⊙O 经过 AC 的中点 D，DE⊥BC 于点 E．
(1) 求证：DE 是 ⊙O 的切线；
(2) 当 DE=1，∠C=30? 时，求图中阴影部分的面积．
（10分）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 DE=CE，⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线交于点 F．
(1) 求证：CD∥BF；
(2) 若 ⊙O 的半径为 6，∠A=35?，求 DBC 的长．
（10分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 ⊙O 的切线 DF，交 AC 于点 F．
(1) 求证：DF⊥AC；
(2) 若 ⊙O 的半径为 4，∠CDF=22.5?，求阴影部分的面积．
答案
一、选择题（36分）
1. 【答案】C
【解析】设圆心角为 n?
∵1=nπr180，r=1，
∴nπ×1180=2π3，解得 n=120?．
【知识点】弧长的计算
2. 【答案】B
【解析】 S=nπr2360=nπ×9360=3π，
解得 n=120．
【知识点】扇形面积的计算
3. 【答案】B
【知识点】弧长的计算
4. 【答案】A
【解析】本题考查扇形面积的计算．∵AB 为直径，∴∠ACB=90?．
∵AC=BC=2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC 和 △BOC 都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=22AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC=90×π×12360=π4．
【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理及其推理
5. 【答案】D
【解析】根据扇形面积公式得 S=120360π×62=12π．
【知识点】扇形面积的计算
6. 【答案】B
【解析】如图，连接 OD，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90?，
∴∠COD+∠C=90?，
∵∠A=∠C，∠COD=2∠A，
∴∠COD=2∠C，
∴3∠C=90?，
∴∠C=30?，
∴∠COD=2∠C=60?，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴BD 的长为 60π×2180=23π．
【知识点】弧长的计算、切线的性质
7. 【答案】A
【解析】连接 OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=3，
故 S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，
又 ∵∠ABD=60?，
∴∠CDB=30?，
∴∠COB=60?，
∴OC=2，
∴S扇形OBD=60π×22360=2π3，即阴影部分的面积为 2π3．
【知识点】扇形面积的计算
8. 【答案】B
【解析】这个圆锥的底面圆的面积 =π?32=9π，
圆锥的侧面积 =12?2π?3?4=12π，
所以圆锥的全面积 =9π+12π=21πcm2．
【知识点】圆锥的计算
9. 【答案】A
【解析】连接 CD，OC，OD．
∵C，D 是以 AB 为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60?，AC=CD，
∵ 弧 CD 的长为 13π，
∴60π?r180=13π，解得：r=1，
又 ∵OA=OC=OD，
∴△OAC，△OCD 是等边三角形，
在 △OAC 和 △OCD 中，
OA=OC,OC=OD,AC=CD,
∴△OAC≌△OCDSSS，
∴S阴影=S扇形OCD=60π?12360=π6．
【知识点】扇形面积的计算
10. 【答案】C
【解析】根据弧长公式：l=45?π?12180=3π．
【知识点】弧长的计算
11. 【答案】B
【解析】设扇形的半径为 R，由题意：3π=120π?R2360，
解得 R=±3，
∵ R>0，
∴ R=3?cm，
∴ 这个扇形的半径为 3?cm．
【知识点】扇形面积的计算
12. 【答案】A
【解析】方法一：
如图，连接 EB．
设 OA=r．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90?，
∵E 是 △ACB 的内心，
∴∠AEB=135?，
∵∠ACD=∠BCD，
∴AD=DB，
∴AD=DB，
∴∠ADB=90?，
易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是 GF，点 C 的运动轨迹是 MN，
∵∠MON=2∠GDF，设 ∠GDF=α，则 ∠MON=2α，
∴MNGF=2α?π?r180α?π?2r180=2．
方法二：
如图所示，连接 AD，BD，
∵ 点 E 是 ∠ACB 的平分线与 ∠BAC 的平分线的交点，
∴∠ACD=∠BCD，∠CAE=∠BAE．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠BAE=∠ACD+∠CAE，即 ∠DAE=∠AED，
∴AD=ED，
∴ 点 E 在以 D 为圆心，以 AD 为半径的圆上．
又 ∵AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ∠ACB 的平分线，
∴AD=BD，
∴AD=BD．
设 ⊙ 的半径为 r，
∴AD=2r，
∴ 点 E 的运动路径长是 90π?2r180=22πr．
∵ 点 C 是 MN 上一动点，
∴ 点 C 的运动路径长是 πr，
∴C，E 两点的运动路径长的比是 πr:22πr=2:1．
【知识点】弧长的计算
二、填空题（24分）
13. 【答案】6
【解析】根据题意，得 120πl180=2π×2，解得 l=6．
【知识点】圆锥的计算
14. 【答案】10
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，
则 2πr=120π×30180，
解得：r=10，
故圆锥的底面半径为 10．
【知识点】圆锥的计算
15. 【答案】 2π
【知识点】弧长的计算
16. 【答案】 23π
【知识点】弧长的计算、切线的性质
17. 【答案】π
【解析】连接 OC．
因为 AB=BC，CD=DE，
所以 AB=BC，CD=DE，
所以 ∠AOB=∠BOC，∠COD=∠DOE．
因为 ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180?，
所以 ∠AOB+∠DOE=90?．
因为直径 AE=4，
所以图中阴影部分的面积为 90?π?22360?=π．
【知识点】扇形面积的计算
18. 【答案】 22?1?π2
【解析】解：因为矩形 ABCD 中，AB=2，BC=2，
所以 AD=BC=2，CD=AB=2，∠A=90?，
因为 BE=BC=2，
在 Rt△ABE 中，AE=BE2?AB2=22?22=2，
所以 AB=AE，
所以 ∠ABE=∠EBC=45?，所以
S阴=S四边形BCDE?S扇形BEC=12×2+2?2×2?45?π?22360=22?1?π2,
故答案为 22?1?π2．
【知识点】扇形面积的计算
19. 【答案】 6π
【解析】底面半径是 2?cm，则底面周长 =4π?cm，圆锥的侧面积 =12×4π×3=6π?cm2．
【知识点】圆锥的计算
20. 【答案】 2π
【解析】设 △ABC 的三个内角的度数分别为 α，β，γ，
则 α+β+γ=180?，
三个扇形的弧长和为：
a×π×2180+β×π×2180+γ×π×2180=2π．
故答案为：2π．
【知识点】弧长的计算
三、解答题（60分）
21. 【答案】
(1) 略．
(2) 略．
【知识点】切线的性质、垂径定理、扇形面积的计算
22. 【答案】
(1) 连接 AE．
∵ AB 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠AEB=90?，
∴ AE⊥BC．
∵ AB=AC，
∴ BE=CE．
(2) 由（1）得 ∠BAE=12×40?=20?，
∴ ∠ABE=70?，
∴ ∠ADE=∠EBF=180??70?=110?．
(3) 连接 OE．
∵ EF 切 ⊙O 于点 E，
∴ OE⊥EF．
∵ AO=EF=OE=2，
∴ ∠BOE=45?，
∴S阴影=S△OEF?S扇形OBE=12×2×2?45×π×22360=2?π2.
【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理推论、切线的性质、圆内接四边形的性质
23. 【答案】
(1) BF 与 ⊙O 的位置关系是相切．
证明：
∵∠D 和 ∠C 都对弧 AB，
∴∠C=∠D．
∵BD 是直径，
∴∠DAB=90?．
∴∠D+∠ABD=90?．
∴∠C+∠ABD=90?．
∵∠DAB=90?，
∴BA⊥EF．
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA．
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA．
∵∠C+∠ABD=90?，
∴∠FBA+∠ABD=90?．
∴∠FBD=90?，
∵OB 是半径，
∴BF 是 ⊙O 的切线．
(2) 连接 OA．
∵∠C=∠D=30?=∠FBA，
∴ 在 Rt△ABF 中，BF=6，AF=BF=3．
由勾股定理得 AB=33．
在 Rt△DBA 中，∠D=30?，
∴BD=2AB=63，OB=33，∠BOA=2∠C=60?．
∵ 在 Rt△ABD 中，BD=63，AB=33，由勾股定理得：AD=9．
∵BO=OD，
∴S△BOA=S△AOD=12S△ABD=12×12×33×9=2734．
∴S阴影=S扇形OBA?S△OAB=60π×332360?2734=9π2?2734．
【知识点】扇形面积的计算、切线的判定
24. 【答案】
(1) 连接 OD．
∵AB 是 ⊙O 的直径，D 是 AC 的中点，
∴OD 是 △ABC 的中位线．
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE．
∵ 点 D 在圆上，
∴DE 为 ⊙O 的切线．
(2) ∵∠C=30?，DE=1，∠DEC=90?，
∴DC=2．
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30?．
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30?，
∴∠AOD=120?，
∴OA=233，
∴ 阴影部分面积 S=120?π×2332360?12×2×33=4π9?33．
【知识点】扇形面积的计算、切线的判定
25. 【答案】
(1) 证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF 是 ⊙O 的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
(2) 连接 OD，OC，
∵∠A=35?，
∴BOD=2∠A=70?，
∴COD=2∠BOD=140?，
∴DBC 的长 =140π×6180=14π3．
【知识点】切线的性质、垂径定理、弧长的计算
26. 【答案】
(1) 连接 OD，
因为 OB=OD，
所以 ∠ABC=∠ODB，
因为 AB=AC，
所以 ∠ABC=∠ACB，
所以 ∠ODB=∠ACB，
所以 OD∥AC，
因为 DF 是 ⊙O 的切线，
所以 DF⊥OD，
所以 DF⊥AC．
(2) 连接 OE，
因为 DF⊥AC，∠CDF=22.5?，
所以 ∠ABC=∠ACB=67.5?，
所以 ∠BAC=45?，
因为 OA=OE，
所以 ∠AOE=90?，
因为 ⊙O 的半径为 4，
所以 S扇形AOE=4π，S△AOE=8，
所以 S阴影=4π?8．
【知识点】切线的性质、扇形面积的计算