江西省四校2011-2012学年高二下学期第三次月考数学（理）试题（零班）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答题卡上）
1、复数
A、 B、 C、 D、
2、若则的值为
A、 B、 C、 D、
3、已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为
A、或5 B、或5 C、 D、
4、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、280 B、292 C、360 D、372
5、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为
A、 B、 C、 D、
6、由曲线围成的封闭图形面积为
A、 B、 C、 D、
7、若执行如图所示的程序框图,则输出的结果是
A、 B、
C、 D、或
8、设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为
A、 B、 C、 D、4
9、已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，若，则=
A、1 B、 C、 D、2
10、用表示两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则的值为
A、 B、2 C、 D、1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 。
12、在锐角中，角A、B、C的对边分别为若的值是 。
13、过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A、B两点，A、B在轴上的正射影分别为D、C。若梯形ABCD的面积为，则= 。
14、若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列。例如，若数列是1,2,3,……,,…，则数列是0,1,2,…,, ….已知对任意的,,则= 。
15、选做题（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分。）
①在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 。
②对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
16、（本小题满分12分）
已知的内角为A、B、C的对边分别为，B为锐角，向量
（1）求B的大小；
（2）如果，求的最大值.
17、（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求证：
18、（本小题满分12分）
医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀，某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力参数K的频率颁布直方图：
（1）求这个样本的合格率、优秀率，并估计能力参数K的平均值；
（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名。
①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K为优秀的的人数为X，求随机变量X的分布列和期望。
19、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，平面，M，N分别为AB，SB的中点.
（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.
20、（本小题满分13分）
动圆与定圆内切，与定圆外切，A点坐标为
（1）求动圆的圆心的轨迹方程和离心率；
（2）若轨迹上的两点满足，求的值.
21、（本小题满分14分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当处取得极值时，若关于的方程上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，有
高二数学零班参考答案
一、选择（5分×10=50分） 1-5 AACCD 6-10 ACABD
二、填空（5分×5=25分）
（2）………………10分
……………………………………………12分
即，所以是以为首项，为公比的等比数列，
于是………………………………………………………………5分
（2）证明：数列为等差数列，公差
可得从而,
……………………10分
从而………………………………………………12分
18、解：（1）各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
这个样本的合格率为1－0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3。
能力参数K的平均值为25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05=43.………3分
②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人。
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则
……………10分
的分布列为
X 0 1 2
P
的期望值.……………………………………12分
如图所示，建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0,),M(1,,0),
N(0,,).……4分
，
则………………………6分
（2）由（1）得.设为平面的一个法向量，
则,取得.…………………………8分
.又为平面的一个法向量，
……………………………………………………12分
二面角的余弦值为
20、（1）如图，设动圆C的半径为R，
则，①
，②
①+②得，
由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，其轨迹方程为，离心率为……………………………………………………………………6分
，由④、⑤得
将代入③，得，将代入④，得所以，
所以.……………………………………………………13分
21、（1）
增区间： 减区间：……………………3分
（2）
令
为增函数，为减函数，为增函数……………………5分
则…………………………………………………7分
………………13分
………………………………………………14分