2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第21章 圆（上）》单元测试卷（word版有答案）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第21章
圆（上）》单元测试卷
一．选择题
1．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（　　）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
2．如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
3．下列说法，正确的是（　　）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．半圆是弧
D．过圆心的线段是直径
4．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（　　）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
5．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（　　）
A．5
B．7
C．12
D．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆
D．圆有且只有一个内接三角形
7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　）
A．5
B．
C．3
D．
8．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，则AB的长为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．3
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（　　）
A．
+
B．
+2
C．
+2
D．2+
10．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
二．填空题
11．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆心角是　
　．
12．如图，点A、B在⊙O上，且AB＝BO．∠ABO的平分线与AO相交于点C，若AC＝3，则⊙O的周长为　
　．（结果保留π）
13．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件　
　．
14．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　
　°．
15．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝　
　．
16．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是　
　．
17．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O　
　（填“上”、“内部”或“外部”）
18．已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为　
　时，过P、A、B不能作出一个圆．
19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是　
　．
20．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　
　．
三．解答题
21．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外．
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
22．如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；
（2）如果OC＝6，tanB＝，求BD的长．
23．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．
25．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
26．如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD＝R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
27．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　
　．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：因为圆上各点到圆心的距离相等，
所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，
所以自行车车轮要做成圆形．
故选：C．
2．解：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
故选：B．
3．解：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；
B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；
C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．
D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．
故选：C．
4．解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选：B．
5．解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC＝BC＝13，
∴AH＝BH＝AB＝5，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，
∵H为AB的中点，
∴OH＝AB＝5，
∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），
∴OC的最小值为12﹣5＝7．
故选：B．
6．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选：B．
7．解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AC＝AB＝2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
r＝，
故选：D．
8．解：连接OB，如图所示：
∵⊙O的半径为5，OD＝3，
∵AD＝DB，
∴OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝2BD＝8．
故选：A．
9．解：∵点A在一次函数y＝x图象上，
∴tan∠AOB＝，
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，
∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，
∵∠APB＝2∠AOB，∠APG＝∠APB，AH＝AB＝＝DG，
∴∠APH＝∠AOB，
∴tan∠APH＝tan∠AOB＝，
∴＝，
∴PH＝1，
∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，
∴PD＝＝＝，
OP＝PA＝＝＝2，
在△OPD中，OP+PD≥OD，
∴OD的最大值为OP+PD＝2+，
故选：B．
10．解：甲，∵＝，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故答案为：60°
12．解：∵OA＝OB，AB＝BO，
∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，
∵BC平分∠ABO，
∴OA＝2AC＝6，
∴⊙O的周长为2π?OA＝2π×6＝12π．
故答案为12π．
13．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
14．解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
15．解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
16．解：∵CD＝OD＝OE，
∴∠C＝∠DOC＝20°，
∴∠EDO＝∠E＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝20°+40°＝60°．
故答案为：60°．
17．解：∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
18．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），点B（0，2），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（2，﹣2）
19．解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM＝AB，
由勾股定理可得，AM＝4，所以AB＝8．
故答案为8．
20．解：∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝AB＝6，
∵BP：AP＝1：5，
∴BP＝AB＝×12＝2，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∴CD＝2PC＝4．
故答案为：4．
三．解答题
21．解：（1）当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外；
（2）当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
22．（1）证明：如图，∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD+∠DAB＝90°，
∵AC是Rt△OAB斜边上的高，
∴AC⊥OB，
∴∠ACD＝∠DAC+∠ADO＝90°，
∵图形G是圆O，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵tanB＝，
∴＝，
设AC＝3x，BC＝4x，则AB＝5x，
∴＝，OA＝，
Rt△AOC中，∵OC＝6，
∴，
解得：x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BD＝OC+BC﹣OD＝6+4×﹣＝．
23．解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°（2分）
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°（3分）
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°（4分）
又∵OA＝OC∴∠OAC＝＝15°（6分）
24．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°
∴∠A＝90°﹣∠B＝65度．
∵CA＝CD
∴∠CDA＝∠CAD＝65°
∴∠ACD＝50°
即弧AD的度数是50度．
25．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
26．解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD＝CD?AM＝CD?AE?sinα，S△BCD＝CD?BN＝CD?BE?sinα，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD＝CD?AE?sinα+CD?BE?sinα
＝CD?（AE+BE）sinα＝CD?AB?sinα＝m2?sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB＝CD＝知S四边形ACBD＝AB?CD?sinα＝R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB＝CD＝，OC＝OD＝OA＝OB＝R，
∴∠AOB＝∠COD＝90°．
而S四边形ABCD＝SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC＝R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD＝S△OCE
∴S△AOD+S△BOC＝S△OCE+S△BOC＝S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE＝BE?CH＝R?CH．
∴当CH＝R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1＝∠2＝90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD＝R2+R2＝2R2为最大值．
27．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，
AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．