山东省济南外国语学校2012届高三5月份适应性训练（数学文）

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济南外国语学校2012届高三5月适应性训练
文科数学试题
本试题卷共5页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合，则实数a的取值范围是
A．{1} B．（—，0）
C．d（1，+） D．（0，1）
3．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是
4．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象( )
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
5．给出下面的类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a、b R，则a一b =0a =b”类比推出“a、b∈C，则a一b=0a=b”
②“若a、b、c、d∈R，则复数a+bi =c+dia=c,b=d"类比推出“若a、b、c、d∈Q，则“a
+b=c+da=c,b=d"
③“若a、bR，则a一ba >b"类比推出“a、b∈C，则a一b>0a>b”
④“若xR，则|x| <1一1其中类比结论正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，D,C,B三点在地面同一直线上，DC=a，从C,D两点测得A点的仰角分别是，（<），则点A离地面的高度AB等于
7．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是
A．13 ,12 B．13 ,13 C．12 ,13 D．13 ,14．
8．已知函数零点依次为a，b,c，则
A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a
9．已知S,A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA=AB=l，BC=，则球O的表面积等于
A．4 B．3 C．2 D．
10．已知双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为,则该双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11.如图是2012年某高校自主招生面试环节中,7位评委对某考生打出的分 数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为____ ，方差为____ .
12. 某单位为了了解用电量y（度）与气温茗（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据，得线性回归方程= -2x十口．当气温为一4℃时，预测用电量的度数约为 。
13. 设有算法如图：如果输入A=144, B=39,则输出的结果是 .
14．设则a= ；
。
15.如果数列，，，…，，…是首项为1，公比为的等比数列，
则等于
16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为.已知，点为直线上的动点，则的最小值为 .
17．定义：为的真子集，，若，则称对加减法封闭。
有以下四个命题，请判断真假：
①自然数集对加减法封闭；②有理数集对加减法封闭；
③若有理数集对加减法封闭，则无理数集也对加减法封闭；
④若为的两个真子集，且对加减法封闭，则必存在，使得；
四个命题中为“真”的是 ；（填写序号）
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a＝5，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD＝，CD＝4，AD＝．
（Ⅰ）若∠ADE＝，求证：CE⊥平面PDE；
（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为eq \f(2,7)时，求三棱锥A-PDE的侧面积．
20．（本小题满分13分）
某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组 频数 频率
（3.9，4.2] 3 0.06
（4.2，4.5] 6 0.12
（4.5，4.8] 25 x
（4.8，5.1] y z
（5.1，5.4] 2 0.04
合计 n 1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
21．（本小题满分14分）
设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax．
（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知x1＝（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a－c＝1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k1＝1时，求S△AOB的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：为定值．
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，满分50分．
1—5：ADDAB 6-10:ABADA
二、填空题：每小题5分，满分35分．
11．85 ，1.6 12. 68 13. 3 14． 7，6
15． 32 16．3 17．②④
三、解答题：本大题共5小题，共65分．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－，得
sin(B＋C)＝＝eq \r(,1－(－)2)＝eq \f(5,14)，
∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C) cosB＋sin(B＋C) sinB
＝－×＋eq \f(5,14)×eq \f(,2)＝．…………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得sinC＝＝eq \r(,1－()2)＝eq \f(4,7)，sinA＝sin(B＋C)＝eq \f(5,14)．
在△中，由正弦定理＝，得
eq \f(5, eq \f(5,14))＝eq \f(c,eq \f(4,7))，∴ c＝8，
故△ABC的面积为S＝acsinB＝×5×8×eq \f(,2)＝10．…………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD＝，∠ADE＝，
∴AE＝AD·tan∠ADE＝·eq \f(,3)＝1．
又AB＝CD＝4，∴BE＝3．
在Rt△EBC中，BC＝AD＝，∴tan∠CEB＝＝eq \f(,3)，∴∠CEB＝．
又∠AED＝，∴∠DEC＝，即CE⊥DE．
∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF＝eq \f(2,7)．
在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得
AE＝eq \f(2,7)·，解得AE＝2．
∴S△APD＝PD·AD＝××＝eq \f(,2)，
S△ADE＝AD·AE＝××2＝，
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE＝2，PA＝＝＝，
∴S△APE＝PA·AE＝××2＝．
∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧＝eq \f(,2)＋＋．…………………………（12分）
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n，由＝0.04，得n＝50．
∴x＝＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝＝＝0.28．……………（6分）
（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，在（5.1，5.4]的2人为d，e．
由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e }，{b，c}，{b，d}，{b，e }，{c，d}，{c，e }，{d，e }，共10种．
设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{b，c}，{d，e }，共4种．
∴P(A)＝＝．
故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．…………………………（13分）
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）．
求导数，得f ′(x)＝－a＝．
①若a≤0，则f ′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函数，无极值；
②若a＞0，令f ′(x)＝0，得x＝．
当x∈（0，）时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈（，＋∞）时，f ′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴当x＝时，f(x)有极大值，极大值为f()＝ln－1＝－lna－1．
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a＞0时，f(x)的递增区间为（0，），递减区间为（，＋∞），极大值为－lna－1．…（8分）
（Ⅱ）∵x1＝是函数f(x)的零点，
∴f ()＝0，即－a＝0，解得a＝eq \f(1,2)＝eq \f(,2e)．
∴f(x)＝lnx－eq \f(1,2)x．
∵f(e)＝－＞0，f(e)＝－＜0，∴f(e)f(e)＜0．
由（Ⅰ）知，函数f(x)在（2，＋∞）上单调递减，
∴函数f(x)在区间（e，e）上有唯一零点，
因此x2＞e．………………………………………………………………（14分）
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(＝，,a－c＝1。))解得
∴b2＝a2－c2＝5，
故椭圆Γ的方程为＋＝1．………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（－2，0），∴直线AB的方程为y＝x＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,＋＝1．))消去y并整理，得14x2＋36x－9＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝| x1－x2|＝·＝．
设O点到直线AB的距离为d，则d＝eq \f(|0－0＋2|,)＝．
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝eq \f(15,7)．…………………………………（8分）
（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），
由已知，直线AR的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝y＋1，,＋＝1．))消去x并整理，得eq \f(5－x1,y)y 2＋y－4＝0．
则y1y3＝－eq \f(4y,5－x1)，∵y1≠0，∴y3＝，
∴x3＝y3＋1＝·＋1＝．
∴C（，）．同理D（，）．
∴k2＝eq \f(－,－)＝
＝．
∵y1＝k1(x1＋2)，y2＝k1(x2＋2)，
∴k2＝＝＝，
∴＝为定值．……………………………………………………………（14分）
B=0？
C=A除以B的余数
A=B
B=C
输出A
输入非零正整数A,B
开始
结束
否
是