2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.1菱形的性质与判定》同步优生辅导训练（word版含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，菱形ABCD中，点E在对角线AC的延长线上，连接BE、DE，
求证：∠BEC＝∠DEC．
2．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）当∠BAD＝90°时，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
3．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AD平分∠BAC，求证：四边形AEDF为菱形．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的面积．
5．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是否为菱形？请说明理由．
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是边AD上一点，连接OE，若OE＝DE，求OE的长．
7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是
E，F，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
8．已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
9．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝CD．
（1）求证：四边形BFEC是平行四边形；
（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF＝　 　时，四边形BFEC是菱形．
10．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．
11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠DAB和∠CAB的度数；
（2）如果AC＝4，求DE和AD的长．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
13．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
14．如图，在?ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
15．如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．
16．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．
17．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．
18．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
20．如图，在?ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，求证：四边形EMFN是菱形．
参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
∴∠BCE＝∠DCE，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠BEC＝∠DEC．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAD＝∠PAB，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（AAS），
∴PE＝PF；
（2）四边形AEPF是正方形，
理由如下：∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴四边形AEPF是矩形，
又∵PE＝PF，
∴四边形AEPF是正方形．
3．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠ADE＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
4．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴，
∵，
∴DH＝6，
∴，
∵四边形BEDF是菱形，
∴，
∴菱形BEDF的面积＝．
5．解：四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图，作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC?AE＝DC?AF，
∴BC＝DC，
∴?ABCD是菱形．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∴∠AOE+∠DOE＝90°＝∠OAE+∠ADO，
在Rt△OAD中，，
∵OE＝DE，
∴∠EOD＝∠EDO，
∴∠OAE＝∠AOE，
∴AE＝OE＝DE，
∴OE＝AD＝．
7．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA）；
（2）由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
8．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE．
9．（1）证明：在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE
又∵∠AFB+∠BFC＝180°，∠DCE+∠ECF＝180°，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴BF∥CE，
∴四边形BFEC是平行四边形；
（2）解：当AF＝时，四边形BFEC是菱形，理由如下：
过B作BG⊥CF于G，如图所示：
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵BG⊥AC，
∴△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝AC﹣AG＝5﹣＝，
∵AF＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝，
∴CG＝FG，
又∵BG⊥CF，
∴BF＝BC，
由（1）得：四边形BFEC是平行四边形，
∴平行四边形BFEC是菱形，
故答案为：．
10．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．
11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠CAB，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°；
（2）∵AC＝4，
∴AO＝CO＝2，
∵AB2﹣BO2＝AO2，
∴3BO2＝12，
∴BO＝2，
∴DB＝4＝AD＝AB，
∴AE＝BE＝2，
∴DE＝＝＝2．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△ADE是直角三角形，
理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，
∵DE2＝52＝25，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
即△ADE是直角三角形．
13．（1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BOC＝∠AOB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵AB＝2，BO＝DO，
∴BO＝DO＝AB＝1，
即BD＝1+1＝2，
∵∠AOB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴BE＝2BD＝4，
由勾股定理得：DE＝＝＝2．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
15．证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴∠ABD+∠ABE＝×180°＝90°，
即∠EBD＝90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OB＝OD，
∴平行四边形OBCD是菱形．
16．证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，
∴∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF．
17．证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝BN．
18．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
在△DCE和△BAF中，
，
∴△DCE≌△BAF（SAS），
∴DE＝BF．
19．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图所示：
由（1）得：四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝45°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHF＝∠DHC＝90°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴DF＝DH，
∵∠ACB＝30°，CD＝6，
∴DH＝CD＝3，
∴DF＝3，
即菱形BEDF的边长为3．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵E、F分别为AD、BC的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
在△AEM和△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（SAS），
∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，
∴∠EMN＝∠FNM，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）连接EF交AC于O，如图所示：
由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB∥EF，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠COF＝∠BAC＝90°，
∴EF⊥MN，
∴四边形EMFN是菱形．