2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.1菱形的性质与判定》优生辅导专题提升训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
优生辅导专题提升训练（附答案）
1．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
2．如图，菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，则BD的长度为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，AE＝2BE，DE＝5，则菱形的边长为（　　）
A．3 B．2 C．5 D．
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
5．如图，阴影部分是一个菱形剪去一个平行四边形后所剩下的，要想知道阴影部分的周长，需要测量线段（　　）的长度．
A．AB与BC B．AB与DE C．AF D．AB
6．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（　　）
①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
8．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，菱形ABCD中，点M、N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝4，NM＝8，ME＝8，则AN等于（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；
其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝48，则OE的长为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为　 　．
13．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝120°，E是AD中点，当点P在对角线BD上移动时，△PAE周长的最小值为　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G，若CG＝1，则S四边形BCDG＝　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
16．如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．
17．如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF＝CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠CAB的平分线交CD于点E，交CB于点F，过点F作FG⊥AB于点G，连接GE．求证：四边形CEGF是菱形．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG．
（1）求证：△AED≌△DFB；（2）求∠BGD的度数；（3）求证：DG+BG＝CG．
20．已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）四边形AEPM是菱形吗？说明理由；
（2）若AD＝15，AP为多少时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝12，
∴BD＝2OB＝24，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
设BE＝x，则AE＝2x，
∴AD＝AB＝AE+BE＝3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝x，
∵DE＝5，
∴x＝5，
∴x＝，
∴AB＝3，
即菱形的边长为3，
故选：A．
4．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：B．
5．解：如图，延长AB，ED交于点H，
∵四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，CD＝BH，
∵四边形AFEH是菱形，
∴AF＝EF＝EH＝AH，
∴阴影部分的周长＝AB+BC+CD+DE+EF+EF＝4AF，
故需要测量AF的长度，
故选：C．
6．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝＝ab＝3．
故选：B．
7．解：设GF和AC的交点为点P，如图：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确，
∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE，
∴GF∥BE，
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①正确，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④正确．
∵BG＝FE，GF＝BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；
故选：B．
8．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
故选：C．
9．解：设AN＝x，则AM＝AN+MN＝x+8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAM＝∠FAN，
∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM＝∠AFN，
∴x＝8，
∴AN＝8．
故选：B．
10．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴HF＝BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝48＝，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，AO＝CO，
∴OE＝AC＝6，
故答案为6．
12．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴GF＝BG＝5，则AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，
解得：CF＝6．
故答案是：6．
13．解：如图：
连接EC，与BD的交于点P，连接AC，此时△PAE周长的最小．
∵∠BCD＝120°，
∴△ACD为等边三角形，
∵E是AD中点，
∴AE＝1，
∴CE＝，
∵PA＝PC，
∴△PAE周长＝CE+AE＝1+．
故答案为1+．
14．解：过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD，交GD的延长线于N．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵AB＝BD，
∴AB＝BD＝AD＝CD＝BC，
∴△ABD为等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，∠ADC＝120°，
在△ADE和△DBF中，
，
∴△ADE≌△DBF（SAS），
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠FBC＝60°+∠DBF，∠NDC＝180°﹣（120°﹣∠ADE）＝60°+∠ADE，
∴∠NDC＝∠FBC，
在△CDN和△CBM中，
，
∴△CDN≌△CBM（AAS），
∴CM＝CN，
在Rt△CBM与Rt△CDN中，
，
∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL），
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S四边形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，
∴GM＝CG＝，CM＝CG＝，
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××＝，
故答案为：．
15．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
∴在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH．
∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴四边形EFGH是菱形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，AB∥FC
∵AE＝EB，DF＝CD，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，
∴∠EAM＝∠FDM，
在△AEM和△DFM中，
，
∴△EAM≌△FDM，
∴AM＝DM＝AE，
∵∠MAN＝∠EAN，
∴AN⊥ME即AC⊥EF．
（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的延长线于K．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，AD＝AB＝4，
∴∠KAM＝∠ABC＝60°
在RT△AMK中，∵∠MKA＝90°，AM＝2，∠KMA＝30°，
∴AK＝1，KM＝，
在RT△KMB中，∵∠K＝90°，KM＝，KB＝5，
∴BM＝＝2，
∴△PEB周长的最小值＝PE+PB+EB＝PM+PB+EB＝BM+EB＝2+2．
18．证明：∵AF平分∠BAC，∠ACB＝90°，FG⊥AB于点G，
∴CF＝GF，∠CAF＝∠BAF，
∵CD⊥AB，
∴CD∥GF，
∵∠CFE+∠CAF＝90°，∠AED+∠BAF＝90°，
∴∠CFE＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴CE＝GF，
∴四边形CEGF是平行四边形，
又∵CE＝CF，
∴四边形CEGF是菱形．
19．（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD．
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A＝∠BDF＝60°．
在△AED和△DFB中，
∴△AED≌△DFB（SAS）；
（2）解：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠DGB＝∠DEB+∠EBG，∠DEB＝∠A+∠ADE，
∴∠DGB＝∠A+∠ADE+∠EBG＝∠A+∠ABD＝120°；
（3）延长FB到点M，使BM＝DG，连接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝120°﹣∠ADE，∠CBM＝120°﹣∠DBF．
∴∠CBM＝∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD＝CB，
在△CDG和△CBM中，
∵，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG＝∠BCM，CG＝CM，
∴∠GCM＝∠DCB＝60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG＝GM＝BG+BM＝BG+DG．
20．（1）解：四边形AEPM是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠EPA，
∴∠CAD＝∠EPA，
∴EA＝EP，
∴四边形AEPM为菱形．
（2）解：AP＝10时，S菱形AEPM＝S四边形EFBM
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，AO＝PO，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
则S菱形AEPM＝EP?EN＝EF?EN＝S四边形EFBM．
则EP＝EF＝FP，
∵EM∥BC，
∴PO＝PD，
∴AO＝PO＝PD，
∴AP＝AP＝10．