2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.2矩形的性质与判定》同步优生辅导训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
4．如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连接CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．5
8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．45° B．30° C．20° D．15°
二．填空题
9．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　 　．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．
11．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
12．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为　 　cm．
13．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，延长AD到E，使DE＝BD，连接BE．若∠EBC＝27°，则∠ABD＝　 　度．
14．如图，在?ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的大小为　 　度．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF垂直平分OB，交OB于点E，若AB＝6，则CF的长为　 　．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为　 　．
三．解答题
17．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
18．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连接DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连接OE，求OE的长．
21．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
2．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝CB．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴S△ABD＝S△CDB＝＝＝10；
∵S△BED＝S△ADE+S△ABD＝24，
∴S△ADE＝S△BDE﹣S△ABD＝24﹣10＝14．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
6．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
7．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO＝OC，
∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，
∴AE＝CE，
∵矩形的周长为20，
∴AD+DC＝AB+BC＝10，
∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，
故选：A．
8．解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
二．填空题
9．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
10．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝＝13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝＝＝3．
故答案为：3．
11．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
12．解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．
∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．
故答案为：24．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝∠E＝27°，
∵DE＝BD，
∴∠DBE＝∠E＝27°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE﹣∠EBC＝36°，
故答案为：36．
14．解：∵四边形AEFG是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∵∠CEF＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝65°
故答案为：65．
15．解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°
∵AF垂直平分OB，
∴AB＝AO，BE＝EO，AF⊥BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，BE＝EO，
∴∠BAO＝60°，∠BAF＝∠CAF＝30°
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝30°
∴∠FAC＝∠ACF＝30°，BC＝AB＝6，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，
∴CF2＝（6﹣CF）2+36
∴CF＝4
故答案为：4
16．解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE＝OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD＝2，DE＝2，
∴OE＝2，即OF＝EF＝，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF＝＝1，即DC＝2，
则S菱形ODEC＝OE?DC＝×2×2＝2．
故答案是：2．
三．解答题
17．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
18．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
20．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形；
（2）解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝DE＝AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝．
21．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝