2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.2矩形的性质与判定》同步优生辅导训练（word版含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使?ABCD成为矩形，则该条件不可以是（　　）
A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90° D．∠AOB＝90°
2．如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是矩形，点A（3，2），B（﹣3，2），C（﹣3，﹣2），则这个矩形的面积为（　　）
A．24 B．12 C．6 D．48
4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（　　）
A． B． C．2 D．2
5．如图，在?ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，作矩形DEBF，则其对角线EF的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
7．如图，在矩形ABCD中放置了一个直角三角形EFG，点E在BC上，点F在AD上，∠EFG被AD平分，若∠CEF＝35°，则∠EHF的度数为（　　）
A．55° B．125° C．130° D．135°
8．在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x+y的和是（　　）
A．360°、540°、720° B．360°、540°
C．540°、720° D．360°、720°
9．如图，矩形ABCD中，AB＝，四边形ABC1D1是平行四边形，点D1在BC边上且AD1＝AD，△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，则平行四边形ABC1D1的面积是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30°，则OG的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．3
11．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5，则AD的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，则DE的长为（　　）
A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8
13．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝6，点F是BC的中点，点E在AB上，且AE＝2，连接DF，CE，点G、H分别是DF，CE的中点，连接GH，则线段GH的长为（　　）
A．2 B． C． D．
14．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　 　．
15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　 　．
16．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，F是AD上一点，EF⊥FC，且EF＝FC，已知DF＝5cm，则AE的长为 　 　cm．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．
19．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是40厘米，矩形的周长是22厘米，则对角线AC的长为 　 　厘米．
20．如图，矩形ABCD的点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内绕原点逆时针旋转30°（如图②所示），若AB＝4，BC＝3，则图②中，点C的坐标为　 　．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
22．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为　 　．
23．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　 　．
24．如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝　 　．
25．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度数．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请证明．
27．如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，4），B点坐标为（1，1），将线段AB向右平移4个单位得到线段CD，若点P（m，m+1）在长方形ABCD的内部（包含边界）．求m的取值范围．
29．在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是边BC、AC的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，连接BE交AD于点F，连接OF，当∠ABC＝60°时，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四条线段，长度分别是线段OF长度的4倍．
30．如图，已知长方形ABCO中，边AB＝8，BC＝4，以点O为原点OA，OC所在直线为y轴和轴建立直角坐标系．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以2个单位长度/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，在它们移动的过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
31．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB，QP＝QD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求证：CD＝CP．
32．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
33．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
34．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
35．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点P从点B出发，以1cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P到达C点时，运动停止．
（1）如图1，设点P的运动时间为t秒，则S△DCP＝　 　．（用代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得在某一时刻阴影部分的两个直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
36．《几何原本》中有一种证明勾股定理的方法：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，分别以BC，AC，AB为边向外作正方形CBMN，正方形ACED，正方形ABHF，过点C作CG⊥FH，垂足为G，通过证明S正方形ACED＝S矩形AFGP，S正方形BCNM＝S矩形BHGP的方法来证明勾股定理．下面展示的是这种方法的不完整思路，请把内容补充完整．
证明：连接BD，CF，通过观察、推理，可以得到，△ADB≌　 　．
由AD∥CE得：
S正方形ACED与S△ADB的数量关系满足 　 　，
同理，可得，
S矩形AFGP与 　 　的数量关系和S正方形ACED与S△ADB的数量关系相同，
∴S正方形ACED＝S矩形AFGP即b2＝S矩形AFGP．
同理，连接AM，CH，通过推理可得，a2＝　 　．
∴S正方形ACED+S正方形BCNM＝S正方形ABHF．
∴a2+b2＝c2．
参考答案
1．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝CB．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴S△ABD＝S△CDB＝＝＝10；
∵S△BED＝S△ADE+S△ABD＝24，
∴S△ADE＝S△BDE﹣S△ABD＝24﹣10＝14．
故选：C．
3．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，点A（3，2），B（﹣3，2），C（﹣3，﹣2），
∴AB＝3+3＝6，BC＝2+2＝4，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝6×4＝24，
故选：A．
4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴a?+b?＝1，ab＝m，
∴a+b＝＝＝，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2，
故选：C．
5．解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
∴DB＝8，
∵矩形DEBF，
∴EF＝DB＝8，
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF＝35°，
∵∠EFG被AD平分，
∴∠GFH＝∠CEF＝35°，
∵∠G＝90°，
∴∠GHF＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EHF＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
8．解：分三种情况：
①一条直线将矩形分为两个三角形，如图1所示：
则x+y＝180°+180°＝360°；
②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，如图2所示：
则x+y＝180°+360°＝540°；
③一条直线将矩形分为两个四边形，如图3所示：
则x+y＝360°+360°＝720°；
综上所述，x+y的和是360°或540°或720°，
故选：A．
9．解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12+AB2＝AD12，
∴（2x）2+（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×，
故选：C．
10．解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG＝AE＝AG＝GE，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG＝x＝OE，
∴AE＝2x，AO＝x，
∵O是AC的中点，
∴AC＝2AO＝x，
在Rt△ABC中，
BC＝AC＝x，
由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
∴，
解得x＝2．
∴OG＝2，
故选：B．
11．解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，
，
∵AB：AD＝2：1，
∴AD＝AE＝EB＝BC，
∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，
∴∠DEC＝90°，
BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．
∵H为CD中点，
∴CH＝CB，∠GHB＝90°，
在Rt△HCB中，BH＝5，
∴CH＝CB＝5，
故选：A．
12．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，如图所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵△ABE的面积＝BE×AD'＝AB×AD，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵BD'＝＝＝8，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵BD''＝＝8，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18；
综上所知，DE的长为2或18，
故选：A．
13．解：如图，连接CG并延长，交AD于M，连接ME，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FDM，
∵点F是BC的中点，点G是DF的中点，
∴CF＝BC＝3，DG＝GF，
在△CGF和△MGD中，
，
∴△CGF≌△MGD（SAS），
∴DM＝CF＝3，CG＝MG，
∴AM＝3，
∴ME＝＝＝，
∵CG＝MG，点H是CE的中点，
∴GH＝ME＝，
故选：D．
14．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
15．解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA＝6，AB＝OC＝2，
∴∠BOA＝30°，
∴∠OBA＝60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，
∴∠B1OH＝60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝2，
∴点B1的坐标为（﹣2，6），
故答案为：（﹣2，6）．
16．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
由作图知，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
过E作EF⊥AC于F，
∴EF＝BE＝1，
∴AC＝2CF＝2，
∴AB＝，BC＝3，
∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝3，
故答案为：3．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥FC，
∴∠EFC＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°＝∠DCF+∠DFC，
∴∠AFE＝∠DCF，
在△AFE和△DCF中，
，
∴△AFE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF＝5cm，
故答案为5．
18．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝＝13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝＝＝3．
故答案为：3．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AC＝BF，AO＝OC，OD＝OB，
∴AO＝OC＝OD＝OB，
∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是40厘米，
∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB＝40厘米，
即8OA+2AB+2BC＝40厘米，
∵矩形ABCD的周长是22厘米，
∴2AB+2BC＝22厘米，
∴8OA＝18厘米，
∴OA＝2.25厘米，
即AC＝BD＝2OA＝4.5厘米．
故答案为：4.5．
20．解：如图2，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，
根据题意可知：∠DOM＝30°，OD＝3，
∴DM＝3?tan30°＝，OM＝3÷cos30°＝2，
∴CM＝4﹣，
∵∠NCM＝30°，
∴MN＝，
则ON＝OM+MN＝，
∴图2中C点的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
21．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
22．解：∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
∴矩形CODE的面积为4×2＝8，
∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6
∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，
如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有
x×x÷2＝2，
解得x＝±2（负值舍去）．
故矩形CODE向右平移的距离为2．
故答案为：2．
23．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
24．解：①当DP＝AD时，
∵矩形ABCD，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∵△PAD是等腰三角形，
∴DP＝AD＝5，
在Rt△PCD中，
PC＝＝4，
∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．
②当AD＝AP时，
∴AP＝AD＝5，
在Rt△ABP中，
由勾股定理得，
BP＝＝4，
③当AP＝DP时，
过P作PE⊥AD于点E，
∴AE＝AD＝2.5，
∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形ABPE是矩形，
∴BP＝AE＝2.5．
综上所述，BP＝1或4或2.5．
25．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝8：5，
∴∠AOB：∠ABO＝8：5，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝5：8：5，
∴∠ABO＝50°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣50°＝40°．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点．
∴AF＝DF＝AD，BE＝CE＝BC，
∴AF＝CE，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形AECF是矩形，证明如下：
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
27．证明：（1）连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，
∴BD＝＝＝4，
∴BO＝DO＝2，
∴AO＝＝＝，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
∴AO＝EO＝，
∴DE＝﹣2．
28．解：∵A点坐标为（1，4），B点坐标为（1，1），将线段AB向右平移4个单位得到线段CD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝3，BC＝4，
由题意可得：，
解得：0≤m≤3，
点P（m，m+1）在直线y＝x+1上，当1≤m≤3时，直线y＝x+1落在长方形ABCD的内部（包含边界），
所以m的取值范围是1≤m≤3．
29．（1）证明：∵点D、O分别是边BC、AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，BD＝CD，
∴OD∥AB，
∴DE∥AB，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：长度分别是线段OF长度的4倍的线段为：AB、BC、AC、DE，理由如下：
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，四边形ADCE是矩形，
∴BF＝EF，OD＝OE，AC＝DE，
∴OF是△BDE的中位线，
∴BD＝2OF，
∵AB＝AC＝DE＝BC＝2BD，
∴AB＝AC＝DE＝BC＝4OF．
30．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，AB＝OC＝8，AO＝BC＝4，BC∥AO，
∴点A（0，4），点B（8，4），点C（8，0）；
（2）四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化，理由如下：
设运动时间为t秒，则OQ＝t，CP＝2t，
∴AQ＝4﹣t，
∴S△ABQ＝×AB×AQ＝×8×（4﹣t）＝16﹣4t，
S△BCP＝×PC×BC＝×2t×4＝4t，
∴S四边形OPBQ＝S矩形ABCO﹣S△ABQ﹣S△BCP＝32﹣（16﹣4t）﹣4t＝16，
∴四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化．
31．证明：（1）∵PQ⊥CP，
∴∠QPC＝90°，
∴∠QPA+∠BPC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠QPA＝∠PCB，
∴∠BPC+∠PCB＝90°，
∴∠B＝180°﹣（∠BPC+∠PCB）＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接CQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠CPQ＝90°，
∴在Rt△CDQ和Rt△CPQ中
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴CD＝CP．
32．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB中点，
∴AN＝BN＝2，AM＝MD，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，
∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，
∴BC＝＝＝4．
33．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
34．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
35．解：（1）点P从点B出发，以1cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝tcm，
则PC＝（6﹣t）（cm）；
∴S△DCP＝CP?CD＝（6﹣t）×4＝（12﹣2t）（cm2），
故答案为（12﹣2t）cm2．
（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝4cm，
∴PC＝4cm，
∴BP＝6﹣4＝2（cm），
即t＝2，
∴CQ＝BP＝2cm，
∴v×2＝2，
解得：v＝1；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝3，
即t＝3，
∴CQ＝BA＝4cm，
∴v×3＝4，
解得：v＝．
综上所述：当v＝或1时△ABP与△PQC全等．
36．证明：连接BD，CF，
∵四边形ADEC，四边形ABHF是正方形，
∴AB＝AF，AD＝AC，∠DAC＝∠BAF，
∴∠DAB＝∠CAF，
在△ADB和△ACF中，
，
∴△ADB≌△ACF（SAS）．
∴S△ADB＝S△ACF，
由AD∥CE得：S正方形ACED与S△ADB的数量关系满足S正方形ACED＝2S△ADB，
同理可得，S矩形AFGP＝2S△ACF，
∴S正方形ACED＝S矩形AFGP，即b2＝S矩形AFGP．
同理，连接AM，CH，通过推理可得，a2＝S矩形BHGP．
∴S正方形ACED+S正方形BCNM＝S正方形ABHF．
∴a2+b2＝c2．
故答案为：△ACF，2S△ADB，S△ACF，S矩形BHGP．