《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边△ADE，则∠AEB＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．12.5°
2．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（　　）
A．10cm B．13cm C．15cm D．24cm
3．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　）
A．45° B．30° C．60° D．55°
4．如图，?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是（　　）
A．65° B．55° C．70° D．75°
5．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分
6．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（　　）
A．90° B．45°
C．30° D．22.5°
二．填空题
7．如图，正方形ABCD对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A′OC′D′的顶点，两个正方形边长都是2，则两者重合部分的面积是　 　．
8．如图正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为　 　．
9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为　 　．
10．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是　 　cm2．
11．如图两个正方形的面积分别是S1＝18，S2＝12，则直角三角形的较短的直角边长是　 　．
12．如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于　 　cm．
13．已知，E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，若DF＝1，则EC＝　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长是3cm，在AD的延长线上有一点E，当BE＝cm时，DE的长是　 　cm．
15．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　 　度．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　 　．
17．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，小正方形的各顶点均在大正方形的边或对角线上．若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1与S2的和为　 　．
18．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：
①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．
其中正确结论的序号是　 　．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当∠BAC＝　 　°时，四边形ADCE是一个正方形．
20．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF．求证：BF＝DF．
21．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数．
22．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC＝∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝　 　．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
24．如图，把△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE的位置，再将△ABC绕点C顺时针旋转60°到△FEC的位置，顺次连接A、F、E、D得到四边形AFED．
（1）试判断四边形AFED是何种特殊的四边形，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足一定条件时，四边形AFED能成为正方形吗？如果能，请直接写出需满足的条件；如果不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵三角形ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠AEB＝×（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故选：B．
2．解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC＝cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD＝cm，
所以菱形的边长＝cm．
故选：B．
3．解：设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF＝90°，
∵∠CEF＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝65°
故选：A．
5．解：A、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
由作图知，∠CAP＝∠DAC＝22.5°，
∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，
故选：D．
二．填空题
7．解：设AD交OA'于点E，CD交OC'于点F，
∵∠ADC＝∠EOF＝90°，四边形OEDF内角和为360°，
∴∠OED+∠OFD＝180°，
∵∠AEO+∠OED＝180°，
∴∠AEO＝∠OFD，
又∵∠OAE＝∠ODF＝45°，OA＝OD，
∴△OAE≌△ODF（AAS），
即重合面积为△ADO的面积＝S正方形ABCD＝×2×2＝1．
故答案为：1．
8．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝2，
∵正方形的边长为2，
∴BD＝，
∴BE＝BD﹣DE＝2，
故答案为2．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAF+∠EAD＝90°，
∵BF⊥a，DE⊥a，
∴∠AED＝∠AFB＝90°
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△AFB≌△DEA，
∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，
∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，
故答案为：8
10．解：∵正方形的一条对角线长为8cm，
∴面积是×8×8＝32cm2．
故答案为：32．
11．解：∵两个正方形的面积分别是S1＝18，S2＝12，
∴AB2＝18，AC2＝12，
∵△ABC是直角三角形，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝18﹣12＝6，
∴BC＝，
即直角三角形的较短的直角边长是，
故答案为：．
12．解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，连接OP，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝BD＝，OA⊥OB，
∵S△OPA+S△OPB＝S△OAB，
∴PE?OA+PF?OB＝OA?OB，
∴PE+PF＝OA＝cm．
故答案为．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠D＝90°，
在Rt△AFE和Rt△AFD中，，
∴Rt△AFE≌Rt△AFD（HL），
∴EF＝DF＝1，
∵EF⊥AC，
∴CE＝EF＝1，
故答案为：1．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABE中，∵AB＝3cm，BE＝cm，
∴AE＝＝＝2cm，
∴DE＝AE﹣AD＝（2﹣3）cm，
故答案为（2﹣3）．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故答案为：60．
16．解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
17．解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，
所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为6，
∴AC＝6，
∴两个小正方形的边长分别为×6＝2，
×6＝3，
∴S1与S2的和为（2）2+32＝8+9＝17．
故答案为：17．
18．解：过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠CBD＝45°，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴DF＝PF，又AN＝DF，
∴AN＝FP，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，
∴NP＝EP，
又∵AP＝PC，
四边形PECF为矩形，∴EF＝PC，
∴AP＝EF，故①正确；
在△ANP≌△FPE中
则△ANP≌△FPE（SSS），
∴∠PFE＝∠BAP，故④正确；
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM
∴∠PMF＝∠ANP＝90°
∴AP⊥EF，故②正确；
P是BD上任意一点，因而△APD不一定是等腰三角形，故③错误；
∵在Rt△PDF中，PD＞PF，
在矩形PECF中，PF＝EC，
∴PD＞EC，故⑤错误；
故答案为：①②④．
三．解答题
19．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
得到四边形ADCE为正方形，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形，
故答案为：90．
20．证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴∠DCA＝∠BCA，
在△CDF和△CBF中，
，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，即BF＝DF．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
在△DAF和△ABE中，，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF＝∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO＝∠BAE+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠ADF+DAO）＝90°．
22．证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，
∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC＝∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC＝∠ABE．
解：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB＝90°，
∴∠ANC+∠AON＝90°，
∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP＝90°，
∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，
∵Q为BC中点，BC＝6，
∴PQ＝BC＝3，
故答案为：3．
23．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
＝AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
24．解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°到△FEC的位置，
∴∠ACF＝60°，CA＝CF，
∴△ACF为等边三角形，AC＝AF，
又∵把△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE的位置，
∴AC＝DE，
∴DE＝AF，
同理可证AD＝EF，
∴四边形AFED是平行四边形；
（2）当∠BAC＝150°，且AB＝AC时，四边形AFED能成为正方形．
故答案为：．