《1.3正方形的性质与判定》优生辅导专题提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
优生辅导专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．下列关于?ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则?ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
2．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）
A． B． C．﹣1 D．
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题
6．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　．
7．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
8．如图E为正方形ABCD边BC延长线上一点，CE＝BD，AE交DC于F，则∠AFC＝　 　．
9．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°．
10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为　 　．
11．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为　 　m．
12．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
13．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　 　．
三．解答题
14．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
15．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
16．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF＝AE﹣BE；
（2）连接BF，若AD＝5，AF＝3，求BF的长．
17．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．
19．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与边CD相交于点G，与BC的延长线相交于点F．
（1）若AB＝2，BE＝CE，求CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，求证：G为边CD的中点．
20．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
参考答案
一．选择题
1．解：∵?ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A不符合题意；
∵?ABCD中，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项B符合题意；
∵?ABCD中，AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项C不符合题意；
∵?ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，
∴BE＝＝．
故选：C．
二．填空题
6．解：阴影部分的面积＝
7．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
8．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，
∵CE＝BD，
∴CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°，
∴∠E+∠CAE＝45°，
∴∠E＝×45°＝22.5°，
在△CEF中，∠AFC＝∠E+∠ECF＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为：112.5°．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
10．解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标（﹣，1），
故答案为（﹣，1）．
11．解：连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDB＝45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝GE．
在△AGD和△GDC中，
∴△AGD≌△GDC
∴AG＝CG
在矩形GECF中，EF＝CG，
∴EF＝AG．
∵BA+AD+DE+EF﹣BA﹣AG﹣GE
＝AD＝1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
＝4600（m）
故答案为：4600
12．解：如图作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为2+．
13．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
三．解答题
14．证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
15．证明：（1）∵?ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一）
即 BD⊥AC，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵?ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
16．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，
∵∠BAE+∠FAD＝90°，∠FAD+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE＝AF，
∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；
（2）∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF，BE＝AF＝3，
∵AD＝5，AF＝3，
∴DF＝，
∴EF＝4﹣3＝1，
∴BF＝．
17．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
∴BE＝DG．
∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，
即AB＝CE+DG．
18．证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠ABE＝2∠DCE，
∴∠ABE＝2∠DAE，
由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝3∠DAE，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB＝3∠DAE，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝4∠DAE，
∵∠ABE+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE＝180°，
∴4∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
19．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，BE＝CE，
∴BE＝EC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点．
20．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，
∴∠MNC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，
∵AD＝CD，
∴MN＝AD，
∵ME⊥AF，
∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，
∴∠DAF＝∠EMN，
在△DAF与△NME中，
，
∴△DAF≌△NME（ASA），
∴AF＝EM；
（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，
即∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠GAE＝∠AEB，
∴AG＝GE，
∴AF＝GE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴AF＝DF+BE．