《第1章勾股定理》同步培优提升综合训练2（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册（含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》培优提升综合训练2（附答案）
1．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形
D．如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，其中斜边上的高为（　　）
A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
5．以下四组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3n，4n，5n（n为正整数） B．5，12，13
C．20，21，29 D．8，5，7
6．下列说法中正确的是（　　）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（　　）
A．24 B．12 C．28 D．30
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
9．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（　　）
A．12m B．13m C．16m D．17m
10．下列结论中，错误的有（　　）
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
12．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
13．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．
16．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．
17．如图所示，四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，AD＝26，CD＝24，∠B＝90°，该四边形的面积是 　 　．
18．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为　 　．
19．三角形的两边长分别为1和2，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长的平方是　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
21．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
参考答案
1．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝13cm，
故h＝24﹣13＝11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：C．
2．解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；
B、解得应为∠B＝90度，故错误；
C、化简后有c2＝a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；
D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．
故选：B．
3．解：∵在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AB＝13cm；
∴S△ABC＝×5×12＝30cm2；
∴×13CD＝30，
CD＝cm．
故选：C．
4．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
5．解：A、3n2+4n2＝5n2，是勾股数；
B、52+122＝132，是勾股数；
C、202+212＝292，是勾股数；
D、72+52≠82，不是勾股数；
故选：D．
6．解：∵∴a：b＝3：4，
设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6，b＝4k＝8，
∴△ABC的面积＝ab＝×6×8＝24．
故选：A．
7．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝20（cm）．
故选：D．
8．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
9．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
10．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；
故选：C．
11．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
12．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
13．解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDA＝90°，
由勾股定理得：BD＝6，
故选：C．
14．解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．
故答案为：24
15．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
16．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
17．解：在直角△ACB中，∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝82+62＝102，
∴AC＝10，
在△ACD中，
∵AC2+CD2＝100+576＝676，AD2＝262＝676，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×6×8+×10×24＝144．
故答案为：144．
18．解：∵32+42＝52，
∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最短边上的高为4，
故答案为：4．
19．解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm，
∴可设第三边为xcm，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝12+22＝5；
当x是直角边时，x2+12＝22，解得x2＝3．
故答案为：5或3．
20．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
21．解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
23．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．