第1章勾股定理 优生辅导专题提升训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》
优生辅导专题提升训练（附答案）
1．四边形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3＝4S2，则CD＝（　　）
A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
2．已知四个三角形分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和； ②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为7，24，25； ④三边之比为5：12：13．其中能判定是直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．13 B．26 C．34 D．47
4．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm
5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．15
6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25 B．19 C．13 D．169
7．下列各组数能构成勾股数的是（　　）
A．2，， B．32，42，52 C．，， D．12，16，20
8．如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管AB的长为（　　）
A．40m B．45m C．30m D．35m
9．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．9米 B．15米 C．21米 D．24米
10．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
11．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
13．如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为　 　cm．
14．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值为　 　．
16．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝　 　．
17．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．
19．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
参考答案
1．解：过点B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，
∴AB＝DM，AD＝BM，
又∵∠ADC+∠BCD＝90°，
∴∠BMC+∠BCM＝90°，即△MBC为Rt△，
∴MC2＝MB2+BC2，
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
∴AD2＝，BC2＝，
∴MC2＝MB2+BC2＝AD2+BC2＝+＝，
∵S1+S3＝4S2，
∴MC2＝4AB2，MC＝2AB，
CD＝DM+MC＝AB+2AB＝3AB．
故选：B．
2．解：①设两个较小的角为x，则2x+2x＝180°，则三角分别为45°，45°，90°，故是直角三角形；
②设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；
③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
④因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．
所以有三个直角三角形，故选：C．
3．解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
4．解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，
AC＝24，CB′＝7，
在Rt△ACB′，AB′＝25，
所以它爬行的最短路程为25cm．
故选：D．
5．解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
答：蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
6．解：由条件可得：，解之得：．所以（a+b）2＝25，
故选：A．
7．解：A、22+（）2＝（）2，但不是正整数，故选项不合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；
C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；
D、122+162＝202，能构成直角三角形，是整数，故选项符合题意；
故选：D．
8．解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝24m，OB＝18m，
∴AB＝30（m）．
故选：C．
9．解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝15米．
所以大树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
10．解：∵DE＝b﹣a，AE＝b，
∴S四边形ABCD＝4S△ADE+a2＝4××（b﹣a）?b+a2
＝b2+（b﹣a）2．
故选：A．
11．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝13cm，
故h＝24﹣13＝11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：C．
12．解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD＝5
∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝5﹣3＝2，BG＝4﹣A′G
在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2+A′B2可得，A′G＝．
则AG＝．
故选：C．
13．解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2＝4πcm；
又∵圆柱高为9πcm，
∴小长方形的一条边长是3πcm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5πcm；
∴AC+CD+DB＝15πcm；
故答案为：15π．
14．解：
延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，
故答案为：45°．
15．解：①如图（1），当∠BQP＝90°时，则∠BPQ＝30°，BP＝2BQ，
∵BP＝12﹣3t，BQ＝t，
∴12﹣3t＝2t，
解得：t＝；
②如图（2）当∠QPB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，
若0＜t＜4，
则t＝2（12﹣3t）．
t＝，
若4＜t≤6时，
则t＝2（3t﹣12），
t＝；
故答案为、、．
16．解：设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，
∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，
∴根据勾股定理得：AC＝＝10，
设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，
可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
则BD＝3．
故答案为：3．
17．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
18．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
19．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB＝PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB＝80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
20．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
21．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．