第一章　勾股定理单元分类训练 2021——2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

第一章　勾股定理
类型之一　勾股定理及其验证
1.已知一个直角三角形的斜边长为20,一条直角边长为16,那么另一直角边长为(　　)
A.160 B.11 C.12 D.96
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(　　)
图1
3.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为12 cm,则△ABC的面积是(　　)
A.126 cm2或66 cm2
B.66 cm2
C.120 cm2
D.126 cm2
4.如图2,所有阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形.若正方形B,C,D的面积依次为4,3,9,则正方形A的面积为　　　　.?
图2
5.如图3,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,E是AC上一点,且DE=DA.若AB=15,BC=20.
(1)求BD的长;
(2)求EC的长.
图3
类型之二　直角三角形的判定
6.满足下列条件的△ABC(∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c),不是直角三角形的是(　　)
A.b2=c2-a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
7.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a,b,c满足a2+c2=b2,则∠　　　　=90°.?
8.如图4,BD为△ABC的中线,AB=10,AD=6,BD=8,△ABC的周长是　　　　.?
图4
9.如图5所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(A,B,P是网格线的交点).?
图5
10.如图6,四边形ABCD中,CD⊥AD,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24,求四边形ABCD的面积.
图6
类型之三　勾股定理的应用
11.如图7,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面.若知道红莲移动的水平距离为6尺,则此处的水深是(　　)
图7
A.3.5尺 B.4尺
C.4.5尺 D.5尺
12.一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,它发现在其正上方的点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按图8所示的路线,绕到虫子后面吃掉它.已知树干的底面周长为20 cm,A,B两点间的距离为15 cm,则螳螂绕行的最短路程为　　　　cm.?

图8 图9
13.装修工人购买了一根装饰用的木条,乘电梯到商场5楼进行安装.如图9,如果电梯的长、宽、高分别是3 m,2.25 m,2 m,那么装修工人买的木条的最大长度是　　　　m.?
14.如图10,正方形纸片ABCD的边长为3,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都落在点G处.已知BE=1.
(1)求EF的长;
(2)求△AEF的面积.
图10
类型之四　综合与实践
15.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图11,有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为300 km,400 km,已知AB=500 km,以台风中心为圆心,周围250 km以内为受影响区域.
(1)求∠ACB的度数;
(2)海港C受台风影响吗?为什么?
(3)若台风的速度为20 km/h,当台风中心运动到点E处时,海港C刚好受到影响,当台风中心运动到点F时,海港C刚好不受影响,即CE=CF=250 km,则台风影响该海港持续的时间有多长?
图11
答案
1.C　2.D
3.A　[解析] 当∠B为锐角时,如图①.
在Rt△ABD中,
BD2=AB2-AD2=132-122=52,
所以BD=5 cm.
在Rt△ADC中,
CD2=AC2-AD2=202-122=162,
所以CD=16 cm,所以BC=21 cm,
所以S△ABC=12BC·AD=12×21×12=126(cm2);
当∠B为钝角时,如图②.
在Rt△ABD中,
BD2=AB2-AD2=132-122=52,
所以BD=5 cm.
在Rt△ADC中,
CD2=AC2-AD2=202-122=162,
所以CD=16 cm,
所以BC=CD-BD=16-5=11(cm),
所以S△ABC=12BC·AD=12×11×12=66(cm2).
综上,△ABC的面积为126 cm2或66 cm2.
故选A.
4.2　[解析] 由题意,得S正方形A+S正方形B=S正方形E,S正方形D-S正方形C=S正方形E,所以S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C.因为正方形B,C,D的面积依次为4,3,9,所以S正方形A+4=9-3,所以S正方形A=2.
5.解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
所以AB2+BC2=AC2.
因为BC=20,AB=15,所以AC=25.
因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,
所以12AB·BC=12AC·BD,所以BD=12.
(2)在Rt△ABD中,由勾股定理,得DA2=AB2-BD2=152-122=81,
所以DA=9.
因为DE=DA,所以AE=2DA=18,
所以EC=AC-AE=25-18=7.
6.D　7.B
8.32　[解析] 因为AB=10,AD=6,BD=8,
所以AB2=AD2+BD2=100,
所以△ABD是直角三角形且AD⊥BD.
又BD为△ABC的中线,
所以AB=BC=10,AD=CD=6,
所以△ABC的周长=AB+BC+AC=2AB+2AD=20+12=32.
9.45　[解析] 如图,延长AP交格点于点D,连接BD.设小正方形的边长均为1.
因为PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,
所以PD2+BD2=PB2,
所以∠PDB=90°,
所以∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.
10.解:如图,连接AC.
在Rt△ACD中,AD=8,CD=6,
所以AC2=AD2+CD2=82+62=100,所以AC=10.
在△ABC中,因为AC2+BC2=102+242=262=AB2,
所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,
所以四边形ABCD的面积为S△ABC-S△ACD=12×10×24-12×6×8=96.
11.C　[解析] 如图,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,则AC为红莲的高.
设此处的水深为h尺.
在Rt△ABC中,AB=h,AC=h+3,BC=6,
由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,
即(h+3)2=h2+62,
解得h=4.5.
故选C.
12.25　[解析] 把这段树干的侧面展开,如图所示:
则线段AB的长即为所求的最短路程,
其中BC=15 cm,AC=20 cm.
在Rt△ACB中,
AB2=BC2+AC2=152+202=252,
所以AB=25(cm).
故螳螂绕行的最短路程是25 cm.
13.4.25
14.解:(1)由题意得,EG=BE=1,FG=DF,
CE=BC-BE=3-2=1.
设DF=x,则FG=x,FC=3-x,EF=x+1.
在Rt△CEF中,由勾股定理,得22+(3-x)2=(x+1)2,
解得x=1.5,
即FG=DF=1.5,
所以EF=EG+FG=2.5.
(2)由折叠的性质可知AG=AB=3,∠AGE=∠B=90°,
所以△AEF的面积=12EF·AG=12×2.5×3=3.75.
15.解:(1)因为AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,
所以AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2,
所以△ABC是直角三角形,
所以∠ACB=90°.
(2)海港C受台风影响.
理由:过点C作CD⊥AB于点D.
因为△ABC是直角三角形,
所以12AC·BC=12AB·CD,
所以CD=240 km.
因为以台风中心为圆心,周围250 km以内为受影响区域,
所以海港C受台风影响.
(3)因为CE=CF,CD⊥AB,
所以DE=12EF.
在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,
所以DE=70 km,
所以EF=140 km.
因为台风的速度为20 km/h,
所以140÷20=7(h).
答:台风影响该海港持续的时间为7 h.