1 第1课时 认识一元二次方程
【基础练】
知识点
1 一元二次方程的概念
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是
( )
A.x2+=0
B.x(x-2)=x2+1
C.x2+12x-15=0
D.3x2-2xy-5y=0
2.若关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是 .?
知识点
2 一元二次方程的一般形式
3.方程-5=3x2化成一般形式为 .?
4.方程2x2-7x=5的二次项、一次项、常数项分别为
( )
A.7x,2x2,5
B.2x2,-7x,5
C.2x2,-7x,-5
D.2x2,7x,5
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x(2x-1)=1;
(2)(x+1)(x-1)=2x-4.
知识点
3 列一元二次方程
6.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的宽为x米,则可列方程为
( )
A.x(x-11)=180
B.2x+2(x-11)=180
C.x(x+11)=180
D.2x+2(x+11)=180
7.如图1所示,现有一张长19
cm,宽15
cm的长方形纸片,需要在四个角各剪去一个边长是多少厘米的小正方形才能将其做成底面积为81
cm2的无盖长方体纸盒?设需要剪去的小正方形的边长为x
cm,根据题意列出方程: .?
图1
【能力练】
8.若将关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后,其二次项系数为1,常数项为-2,则该方程中的一次项系数为
( )
A.5
B.3
C.-5
D.-3
9.如图2所示,有一矩形土地,该土地长为x米,宽为120米,建筑商将它分成了三部分:甲、乙、丙,甲和乙为正方形.现计划将甲建设成住宅区,将乙建设成商场,将丙开辟为公园.若已知丙地的面积为3200平方米,你能算出x的值吗?根据题意列出方程: .?
图2
10.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x-5=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?请求出此时方程的解;
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?请写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
11.若x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.小明的想法如下:满足条件的a,b必须满足你觉得小明的这种想法全面吗?若不全面,请你说明另外满足的条件.
答案
1.C [解析]
形如ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数,a≠0)的方程为一元二次方程,判定时需满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.故选项A,B,D都不是一元二次方程.
2.a≠1
3.3x2+5=0(答案不唯一)
4.C [解析]
方程2x2-7x=5化成一般形式为2x2-7x-5=0.
5.解:答案不唯一.(1)由原方程得到2x2-x-1=0,所以二次项系数为2,一次项系数为-1,常数项为-1.
(2)由原方程得到x2-2x+3=0,所以二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为3.
6.C
7.x2-17x+51=0 [解析]
需要剪去的小正方形的边长为x
cm,则无盖长方体纸盒底面的长为(19-2x)cm,宽为(15-2x)cm.根据题意,得(19-2x)(15-2x)=81.整理,得x2-17x+51=0.
8.A [解析]
方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式为(3-a)x2+(1+2a)x-2=0,则3-a=1,解得a=2,则1+2a=1+2×2=5.
9.x2-360x+32000=0
[解析]
根据题意,得(x-120)[120-(x-120)]=3200,即x2-360x+32000=0.
10.解:(1)根据一元一次方程的定义可知m2-9=0且m+3≠0,解得m=3.
此时化简方程为6x-5=0,解得x=.
(2)根据一元二次方程的定义可知m2-9≠0,
解得m≠±3.
这个方程的二次项系数为m2-9,一次项系数为m+3,常数项为-5.
11.解:不全面,还有或
或或第2课时 一元二次方程根的估算
【基础练习】
知识点
1 一元二次方程的解及应用
1.下列各数中,是方程x2=2x-1的解的是
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.若2是关于x的方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值为
( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
知识点
2 探索一元二次方程的近似解
3.小明在解决问题:“一块矩形铁片,面积为1
m2,长比宽多3
m,求铁片的长”时是这样做的:设铁片的长为x
m,列出的方程为x(x-3)=1,整理得x2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:
第一步:
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
?
?
所以, 第二步:
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.69
-0.36
?
?
所以, (1)请你帮小明填写空格,完成他未完成的部分;
(2)通过以上探索,估计出矩形铁片长的整数部分为 ,十分位为 .?
4.由下表的对应值,知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根的百分位上的数字是 .?
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
【能力练习】
5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,有a-b+c=0,则该方程必有一根是
( )
A.0
B.1
C.-1
D.±1
6.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n的值为
( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
7.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+|m|-1=0有一个根为0,则m的值是 .?
8.根据如下表格中的对应值,判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5(a≠0)的解x的范围是 .?
x
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ax2+bx+c
3.25
2
1.25
1
1.25
2
9.已知实数a是一元二次方程x2-2021x+1=0的一个根,则代数式2021-a-的值为 .?
10.如图3,某大学为改善校园环境,计划在一块长80
m,宽60
m的长方形场地的中央建立一个长方形网球场,网球场占地面积为3500
m2.网球场四周为宽度相等的人行道,若设人行道的宽为x
m.
(1)你能列出相应的关于x的方程吗?
(2)x可能小于0吗?说说你的理由;
(3)x可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由;
(4)你知道人行道的宽x是多少吗?说说你的求解过程.
图3
答案
1.C
2.B [解析]
因为2是关于x的方程x2-3x+k=0的一个根,所以22-3×2+k=0,解得k=2.故选B.
3.(1)-1 3 3 4 -0.01 0.36 3.3 3.4
(2)3 3
4.4
5.C [解析]
因为当x=-1时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以化为a×(-1)2+b×(-1)+c=0,即a-b+c=0,所以该方程必有一个根是-1.故选C.
6.D [解析]
把x=n代入方程,得n2+mn+2n=0.因为n≠0,
所以方程两边都除以n,得n+m+2=0,
所以m+n=-2.
7.-1 8.010.解:(1)人行道的宽为x
m,则网球场的长为(80-2x)m,宽为(60-2x)m.
根据题意,得(80-2x)(60-2x)=3500,
整理,得x2-70x+325=0.
(2)x不可能小于0.因为人行道的宽不可能是负数.
(3)x不可能大于40,也不可能大于30.因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,不符合实际,所以x不可能大于30,更不可能大于40.
(4)人行道的宽x是5
m.求解过程如下:
由(2)(3)可知0x
2
3
4
5
6
7
…
x2-70x+325
189
124
61
0
-59
-116
…
显然,当x=5时,x2-70x+325=0,故人行道的宽是5
m.
